1、第11讲导数在研究函数中的应用最新考纲1了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 知 识 梳 理1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增(2)若f(x)0，右侧f(x)0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值极小值函数yf(x)在点x0处连续且f(x0)0，若在点x0附近左侧
2、f(x)0，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值辨 析 感 悟1导数与单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性()(3)(2012辽宁卷改编)函数yx2ln x的单调递减区间
3、为(0,1()2导数与极值的关系问题(4)函数的极大值不一定比极小值大()(5)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(6)(2012陕西卷改编)函数f(x)xex在x1处取得极小值()3关于闭区间上函数的最值问题(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值()(8)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(9)(2014郑州调研改编)函数f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是e1.()感悟提升1一点提醒函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念极大值与极小值没有必然的大小关系，如(4)2两个条件一是f(x)0在(a，b)
4、上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件如(1)二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件如(5)3三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论不可想当然认为极值就是最值，如(8).学生用书第40页考点一利用导数研究函数的单调性【例1】 (2013广东卷改编)设函数f(x)(x1)exkx2.(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x0，)上是增函数，求实数k的取值范围解(1)当k1时，f(x)(x1)exx
5、2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)令f(x)0，即x(ex2)0，xln 2或x0.令f(x)0，即x(ex2)0，0x0)，f(x).令f(x)0，解得x1或(舍去)当x(0,1)时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，f(x)无极大值规律方法 (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值【训练2】 已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3
6、ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解(1)f(x)3x22axb.又1和1是函数f(x)的两个极值点，解得，a0，b3.(2)由(1)知，f(x)x33x，g(x)x33x2.由g(x)0，得(x1)2(x2)0，g(x)0的根为x2或1.当x2时，g(x)0；当2x0.x2是函数g(x)的极小值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极小值点为2，无极大值点.学生用书第41页考点三利用导数求函数的最值【例3】 (2012重庆卷)已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16.(1)求a，b
7、的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值审题路线(1)a，b的值；(2)求导确定函数的极大值求得c值求得极大值、极小值、端点值求得最值解(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x2或2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)9c 极大值 极小值 9c由表知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知，16c28，
8、解得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得【训练3】 设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)f(x)2x2，求g(x)在定义域上的最值解(1)f(x)12ax(x0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，即解
9、得a1，b3.(2)由(1)知，f(x)xx23ln x，其定义域为(0，)，g(x)2xx23ln x，x0，则g(x)12x.当0x0；当x1时，g(x)0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值突破：由理解区间长度的意义，转化为求不等式f(x)0的解集由求I的长度最小值，即求以a为自变量的区间长度d(a)，a1k,1k构成的函数的最小值，利用导数求解解(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1x0)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka1时，
10、(1k)2a20，d(a)单调递增；当11，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，故d(1k)f(a) Df(x)a时，f(x)0；当xa时，f(x)0.当xa时，函数f(x)取得最小值，则f(x)f(a)答案A4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0解析若c0，则有f(0)0，所以A正确函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形
11、如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，所以B正确；由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(，x0 )单调递减是错误的，D正确选C.答案C5(2013福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的
12、图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；D正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案D二、填空题6若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析由f(x)0，x22xa0，x1，又f(x)在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.答案37函数f(x)的单调递减区间是_解析f(x)，令f(x)0得ln x10，且ln x0.0x1或1xe，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)答案(0,1)，(1，e)8已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则
13、t的取值范围是_解析由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014杭州质检)函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g
14、(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解析由函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，可得a0，所以g(x)在(1，)上为增函数答案D2(2013湖北卷)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则()Af(x1)0，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)Cf(x1)0，f(x2)Df(x1)0，f(x2)解析f(x)ln x12ax(x0)，依题意ln x12ax0有两个正实数根x1，x2(x1x2)设g(x)ln x12ax；则g(x)2a，显然当a0时不合题意，必有a0.令g(x)0，得x，于是g(x)在上是
15、增函数，在上是减函数，所以g(x)在x处取得极大值，所以fln0，即1,0a，且应有x1x2.于是f(x1)x1ln x1axx1(2ax11)axaxx1x1(ax11)0.又x时f(x)0，x(x2，)时f(x)0，所以x2是f(x)的极大值点，所以f(x2)f(1)a.答案D二、填空题3设直线xt，与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_解析当xt时，f(t)t2，g(t)ln t，y|MN|t2ln t(t0)y2t.当0t时，y0；当t时，y0.y|MN|t2ln t在t时有最小值答案三、解答题4(2014兰州模拟)已知函数f(x)
16、x2axln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)在上的最大值和最小值；(2)当函数f(x)在上单调时，求a的取值范围解(1)a3时，f(x)2x3，令f(x)0，解得x或1.当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，所以函数f(x)在区间上仅有极大值点x1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在上的最大值是f(1)2.又f(2)f(2ln 2)2ln 20，故f(2)f，故函数在上的最小值为f(2)2ln 2.(2)f(x)2xa，令g(x)2x，则g(x)2，则函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，由g3，g(2)，g2，故函数g(x)在的值域为.若要f(x)0在上恒成立，即a2x在恒成立，只要a2；若要f(x)0在上恒成立，即a2x在上恒成立，只要a ，即a的取值范围是(，2 .学生用书第42页
