1、浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式解法求得集合，由交集定义得到结果.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2.若函数的单调递减区间是，则a的值为（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】C【解析】【分析】去绝对值符号可知单调递减区间为，由此构造方程求得结果.【详解】当时，单调递减区间为，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据函数的单调区间求解参数值的问题，属于基础题.3.点从（1,0）出发，沿单位
2、圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标.【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点， ，故选A.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用以及三角函数的定义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知；由可知，进而得到结果.【详解】，且，又，即，.故选：.【点睛】本题考查比较指数幂、对数值的大小关系，属于基础题.5.函数的导数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将多项式展开，
3、根据幂函数求导法则，计算出导数即可【详解】展开函数解析式,得 求导得所以选C【点睛】本题考查了导数的基本运算，注意像这种多项式，可展开后依次求导即可，属于基础题6.函数的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于点对称C. 关于y轴对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】【分析】利用代入验证的方式，对比正弦函数的图象与性质可得结果.【详解】对于，当时，原点不是函数的对称中心，错误；对于，当时，是函数的对称中心，正确；对于，当时，轴不是函数的对称轴，错误；对于，当时，不是函数对称中心，错误.故选：.【点睛】本题考查正弦型函数的对称中心和对称轴的辨析，关键是熟练应用代入检验的方式，结合正弦函数的图象与
4、性质来判断.7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律依次判断恒成立；通过反例反向可知不恒成立.【详解】对于，恒成立；对于，若反向，则，不恒成立；对于，由向量数量积的运算律知：，恒成立；对于，由向量数量积的运算律知：，恒成立.故选：.【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到平面向量数量积的定义和运算律、向量模长运算等知识，属于基础题.8.函数的图像不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当时，分别在、和三种情况下确定函数图象，可知正确，从而确定结果.【详解】当时，若，则在上单调递
5、增，且时，正确；若，则，符合对号函数特点，正确；若，则，正确；由上述可知，在上不可能单调递减，错误.故选：.【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过分类讨论的方式确定函数的单调性，进而确定结果.9.设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，分别在、和五种情况下得到的范围，通过数形结合的方式确定的解的个数，找到三个解得情况，进而得到的范围.【详解】由解析式可得函数图象如下图所示：令，则，当时，则只有一个解，不合题意；当时，有一个解；至多有一个解，不合题意；当时，有一个解；有两个解，符合题意；当时，则只有一个解
6、，不合题意；当时，无解，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，涉及到分段函数图象的应用；解决此类问题通常采用数形结合的方式，将问题转化为两函数交点个数的问题，通过分类讨论的方式确定参数在不同范围的情况下的交点的个数.10.已知函数()，若对于区间上的任意两个实数，都有成立，则实数m的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】利用导数可求得在上单调递增，设，可将不等式化为，令，则只需在上单调递减即可，即在上恒成立，利用分离变量的方式可求得的取值范围，进而确定最大值.【详解】且定义域为，当时，在上单调递增，即在上单
7、调递增，不妨设，则，等价于，即，设，则只需在上单调递减即可，在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递增，即的最大值为.故选：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调性、构造函数解不等式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、恒成立问题的求解等；根据单调性求解参数范围的关键是能够将函数在区间内单调的问题转化为导函数的符号恒成立的问题，通过分离变量的方法求解恒成立问题即可.二填空题11.已知复数z满足，i为虚数单位，则z的虚部是_，_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根据复数除法运算计算得到，由虚部定义和模长的运算可求得结果.【详解】，的虚部为，.故答案
8、为：；.【点睛】本题考查复数的虚部和模长的求解，关键是用复数的除法运算求得复数，属于基础题.12.已知角的终边经过点P(4，m)，且sin ，则m_.【答案】3【解析】【分析】解方程，再检验即得解.【详解】由题得.当m=-3时，点P在第四象限，不满足题意.所以m=3.故答案为3【点睛】本题主要考查三角函数的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由已知等式配凑出余弦定理的形式求得，进而得到；利用正弦定理求得.【详解】由得：，；由正弦定理得：.故答案为：；.【点睛】本
9、题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于基础题.14.函数在上的最大值与最小值之和为_.【答案】【解析】【分析】利用导数可求得的单调性，由此可求得最大值和最小值，从而求得结果.【详解】，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值的问题，解题关键是利用导数确定函数的单调性，进而得到最值点.15.函数的值域为_；若函数的两个不同零点，满足，则实数a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用分类讨论分别在、和三种情况下求得函数值域，取并集得到结果；将问题转化为与有两个不同的交点，利用数形结合的方式，建立方程求得
10、，进而解不等式求得结果.【详解】当时，；当时，；当时，；综上所述：的值域为；有两个不同的零点等价于与有两个不同的交点，图象如下图所示：不妨设，当与及相交时，解得：，又，；当与及相交时，解得：，又，；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：；.【点睛】本题考查利用分类讨论的方法求解含绝对值函数的值域、根据函数零点个数求解参数范围的问题；关键是能够将函数零点个数问题转化为两函数交点个数问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.16.已知函数和，若恒成立，则_，_.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】根据不等式恒成立，分别令和即可求得结果.【详解】当时，；当时，.故答案：；.【点睛】本题考查
11、根据恒成立的不等式求解参数值的问题，关键是能够利用赋值法构造出方程.17.已知为单位向量，平面向量满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】不妨设，由已知向量的模长可得到和所满足的关系，根据平面向量的数量积运算，结合可惜不等式可得到，采用换元法的方式，结合的范围可求得最大值；当反向时，取得最小值，由此可得结果.【详解】不妨设，则，（当且仅当时取等号），令，则，当时，即；当与反向时，取得最小值，即，时，；的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到利用柯西不等式求解最值的问题；解题关键是能够利用平面向量的坐标运算和柯西不等式将所求的数量积表示为关于某一变量的函
12、数关系式的形式，利用函数值域的求解方法可求得所求的取值范围，属于较难题.三解答题18.在平面直角坐标系中，已知向量，.（1）若，求的值：（2）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由垂直关系的坐标表示可构造方程求得，根据二倍角的正切公式可求得结果；（2）根据平面向量夹角公式和辅助角公式可求得，根据的范围和三角函数值可确定，进而求得结果.【详解】（1），；（2）由题意得：，解得：.【点睛】本题考查平面与三角恒等变换综合应用问题，涉及到垂直关系的坐标表示、二倍角正切公式的应用、平面向量夹角公式、辅助角公式的应用等知识.19.设函数，.（1）已知，函数是偶函数，求的值；（
13、2）设的三边所对的角分别为，若，求的面积的最大值.【答案】（1）和.（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式整理，得到解析式，根据奇偶性可构造方程求得；（2）利用可求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1），是偶函数，和；（2）由（1）得：，解得：；由余弦定理可得：（当且仅当时取等号），即，即的面积的最大值为.【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、解三角形中三角形面积最值的求解问题；求解三角形面积最值的关键是能够在余弦定理中利用基本不等式求得的最大值，属于常考题型.20.设函数，其中是的导函数.（1）求函数的图象在原点处的
14、切线方程（2）令，请猜想的表达式，并用数学归纳法证明结论.【答案】（1）.（2）猜想，证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；（2）由可求得，由数字规律可猜想得到，利用数学归纳法首先说明时成立，假设时结论成立，通过可证得时结论成立，由此得到结论.【详解】（1），在原点处的切线方程为；（2）由（1）知：，可猜想下面用数学归纳法证明：当时，结论成立.假设当时结论成立，即，那么当时，即结论成立.由可知，结论对恒成立.【点睛】本题考查求解函数在某一点处的切线方程、猜想与证明、数学归纳法证明结论的问题；利用数学归纳法证明结论时需注意，假设时成立的结论必须在证明
15、时结论成立的过程中使用.21.已知函数.（1）当时，求函数的零点.（2）当，求函数在上的最大值；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.【答案】（1）零点为和1.（2）.（3）【解析】【分析】（1）分类讨论得到解析式，分别在和两种情况下构造方程求得零点；（2）分类讨论得到解析式，可确定最大值在中取得，分别在、和三种情况下根据函数单调性确定最大值，从而得到结果；（3）将问题转化为恒成立的问题；分别在和两种情况下确定的值，从而得到结果.详解】（1）当时，令，解得：或（舍）；令，解得：；函数的零点为和；（2）由题意得：，其中，最大值在中取.当，即时，在上单调递减，
16、；当，即时，上单调递增，上单调递减，；当，即时，在上单调递减，上单调递增，；，；综上所述：；（3）时，问题转化为在给定区间内恒成立.，分两种情况讨论：当时，是方程的较小根，即时，；当时，是方程的较大根，即时，；综上所述：.【点睛】本题考查函数零点的求解、含绝对值的函数的最值的求解、函数中的恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够灵活应用分类讨论的方式，结合函数的单调性确定最值点；对学生对于函数单调性的掌握要求较高，属于较难题.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性（2）若函数有一个大于的零点，求实数的取值范围；（3）若，且，求证：.【答案】（1）答案见解析.（2）.（3）证明见解析【解析】【分析
17、】（1）求导后，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调性；（2）当和时，根据函数的单调性和，可知不满足题意；当时，得到函数单调性；由，利用导数证得，根据零点存在定理可知有一个大于的零点，满足题意，由此得到结果；（3）由（2）可知，将所证不等式转化为，令，利用导数可说明，由此证得结论.【详解】（1）由题意知：的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知：当时，且单调递增，不存在大于的零点.当，即时，在上单调递减，又，在上恒成立，无零点，不符合题意.当，即时，上单调递增，在上单调递减，令，设，则，在上单调递减，在上单调递减，即，在上无零点，在上有唯一零点，即有一个大于的零点；综上所述：满足条件的实数的取值范围是.（3）证明：由（2）得：且，由知：要证，即证，即证，令，则，在上单调递增，由此证得：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数解决函数零点的问题、不等式的证明问题；本题证明问题的关键是能够通过分析法将所证不等式转化为仅有一个变量的形式，通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，属于较难题.
