1、第五章 数列素养专题(三)数列的转化与化归思想数列是高等数学的基础，是高中数学知识和数学方法的汇合点，它在测试逻辑推理能力、理性思维水平以及考查学生创新意识和创新能力上具有不可替代的作用综合考查学生的综合素养法 1 等差数列与等比数列之间的转化与化归例 1(1)(2020昆明七校调研)在等比数列an中，Sn 是它的前 n 项和，若 q2，且 a2 与 2a4 的等差中项为 18，则 S5()A62 B62C32 D32解析 依题意得 a22a436，q2，则 2a116a136，解得 a12，因此 S52（125）1262，选 A.答案 A(2)若公比不为 1 的正项等比数列an满足 a1a2
2、an2n(n1)，nN，数列bn满足 bna1an，则bn的前 n 项和 Sn 为_解析 法一：在 a1a2an2n(n1)两边取对数，则有 log2(a1a2an)log22n(n1)n(n1)因为an是正项等比数列，所以log2an为等差数列，故有 log2a1log2a2log2an（log2a1log2an）n2n(n1)所以 bna1an4n1 为等比数列，Sn163(4n1)法二：a1a2an2n（n1），anan1a12n（n1），两式相乘得(a1an)n22n(n1)，所以 a1an4n1，bn4n1 为 b116，q4 的等比数列，Sn16（14n）14163(4n1)答案
3、163(4n1)思维剖析 解决等差、等比数列的综合问题的方法(1)设等差数列的基本量 a1 和 d，用等差数列建立关系，求出 a1 和 d，进而得出等差数列(2)设等比数列的基本量 a1 和 q，用等比数列建立关系，求出 a1 和 q，进而得出等比数列(3)同时设两个数列的基本量，利用方程思想得出基本量的关系(4)正项等比数列通过取对数转化为等差数列是处理等比数列问题的重要思路之一，也是降低运算量的有效途径这种转化还体现在等差数列的通项求和等问题的处理方法上，可以向等比数列迁移同样的等差数列也可转化为等比数列，具体来说就是：数列bn为等差数列，则数列abn为等比数列法 2 数列存在性问题与函数
4、方程的转化与化归例 2(2020山西长治二模)Sn 为等比数列an的前 n 项和，已知 a49a2，S313，且公比 q0.(1)求 an 及 Sn；(2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意可得a1q39a1q，a1（1q3）1q13，q0，解得 a11，q3，an3n1，Sn13n13 3n12.(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得 12，此时 Sn12123n，则Sn112Sn123，故存在常数 12，使得数列Sn12 是等比数列思维剖析 1.有关数列的存在性问题，若是与
5、项数有关的存在性问题，常转化为函数或方程的整数解问题对于最值性问题，常转化为函数最值问题2本例(2)其实就是通过组合(打包)将二元方程转化为一元方程来找到方程组的解解高次方程最好的办法就是不断地降幂迭代，这一点在高中阶段接触不多，应有所拓展法 3 数列与不等式的转化例 3 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a12，且满足 Sn12an1n1(nN)(1)求数列an的通项公式 an；(2)若 bnlog3(an1)，设数列1bnbn2前 n 项和为 Tn，求证：Tn34.解析(1)由 Sn12an1n1，得 Sn112ann(n2)，两式相减得：an12an112an1，所以 an113(an
6、1)(n2)，又 a1130，所以an1是以3为首项、以 3 为公比的等比数列，所以 an1(3)3n13n，故 an3n1.(2)证明：bnlog3(an1)log33nn，所以1bnbn21n（n2）12(1n 1n2)，从而 Tn12(113)(1214)(1315)(1416)(1n1 1n1)(1n 1n2)12(112 1n1 1n2)3412(1n1 1n2)34.思维剖析 证明与数列有关的不等式问题的常用方法有：比较法(作差或作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法，其中利用放缩法证明数列不等式是利用 n 的正整数性质，改变分子、分母的大小或者有意增加或减少某些正数来进行放缩
