1、四川省宜宾市第四中学校2020届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合A的补集，再进行交集运算.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则求出，结合共轭复数的概念，即可求出结论.【详解】由，得，复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为.故选：A.
2、【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.3.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的运用得，可得的值.【详解】因为 所以，故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和等差中项的运用，灵活选择前项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.4.若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由渐近线上点的坐标得出，然后结合可求得离心率【详解】由题意，故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线的斜率与离心率的关系，属于基础题
3、5.已知是两条不同的直线是两个不同的平面,则的充分条件是（ ）A. 与平面所成角相等B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A，若与平面所成角相等，则可能相交或者异面，故A错；对于B，若，则可能相交或者异面，故B错；对于C，若，由线面平行的性质定理可得，故C正确；对于D，若，则可能异面，故D错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题6.已知函数，若，则的太小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指数函数和幂函数的性质得出的大小，
4、再由函数的单调性得出结论【详解】在上是减函数，所以，故选：B.【点睛】本题考查比较函数值大小，考查函数的单调性在比较幂的大小时，要注意同底数的幂用指数函数的单调性确定大小，同指数的幂用幂函数的单调性确定大小7.下列函数中，同时满足：图像关于轴对称；，的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到为偶函数，且在区间为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.【详解】由题知：图像关于轴对称，则为偶函数，在为增函数.选项：，为奇函数，故错误.选项：，为偶函数，且在区间为增函数，故正确.选项：，为偶函数，且在区间有增有减，故错误.选项：，为非奇非偶函数，故错误.故选：【点睛】
5、本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.8.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，
6、根据独立重复试验的概率求得其值.【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，故选：D.【点睛】本题考查古典概型的求解，独立重复试验发生次的概率，属于基础题.9. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C考点：排列数组合数公式及运用10.已知是第二象限角，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式得，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得，再利用
7、正切的二倍角公式可得解.【详解】由，得.因为是第二象限角，所以.故选C【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.11.定义在上的奇函数满足：，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由可知函数是周期为的周期函数，所以，故选D.12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立. .令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单
8、调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.计算_.【答案】【解析】【分析】根据指数幂及对数的运算性质，计算可得.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查指数幂的运算及对数的运算，属于基础题.14.设函数，则函数的定义域为_.【答案】（-9，1）【解析】【分析】先求出,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.【详解】解:因为,所以.由,得,所以,所以函数定义域为.故答案为:.【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15.如图，点是椭圆右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于两 点，满足，
9、则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】确定OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率.【详解】因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，又ACBC，BC=2AC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A（a，0），C（，），B（，），AB=a，所以+=1，则a2=3b2，所以c2=2b2，e=.故答案为【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的
10、坐标的范围等.16.在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接由，得，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和
11、长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.设数列满足,(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】（1）计算得到，得到证明.（2）计算，利用分组求和法计算得到答案.【详解】(1),，故 故是首项为1,公比为的等比数列.(2) 故故【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应用.18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市
12、级课题高效课堂教学模式及其运用，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.附：（其中）【答案】（1）列联表见
13、解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算,再对照表得出结论;(2)先确定甲班人数的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示,甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据列联表中的数据,得,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6.由题意可知X的取值分别为,则；.的分布列为
14、012 其数学期望.【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题.19.如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，(1)证明:;(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明BD平面PAD,再证明；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，又底面为直角梯形面底面因为面底面,平面ABCD,所以BD平面所以.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为所以，令设平面的法向量为令设二面角的平面角为 .由图观察为钝角【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明
15、，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆的短轴长为，离心率为（）求椭圆的标准方程；（）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，为坐标原点，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由椭圆的短轴长可得，结合离心率求得a的值即可确定椭圆方程；（）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得，结合k的范围确定的取值范围即可.【详解】（）因为椭圆的短轴长为，所以，所以，又椭圆的离心率为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（）由题可设直线的方程为，将代入，消去可得，所以，即，且，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是【点睛】解决
16、直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知函数.（1）求函数的最值；（2）函数图象在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【详解】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.（2）依题知，即，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.因为，所以，变形为.欲证，只需
17、证，即证.令，则只需证对任意都成立.令，则所以在上单增，即对任意的都成立.所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.（1
18、）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）若圆心到直线的距离等于2，求的值.【答案】（1）圆的普通方程为；（2）.【解析】试题分析：()消去参数可得圆的普通方程及直线的直角坐标方程分别为, ；()由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得试题解析：（）消去参数，得到圆普通方程为.由，得.所以直线的直角坐标方程为.（）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可【详解】（）可化为，即或或解得或，或；不等式的解集为 （）易知； 所以，又在恒成立； 在恒成立；在恒成立；【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
