1、第1讲坐标系最新考纲1理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知 识 梳 理1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的
2、极坐标，记作M(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为xcos ，ysin_.另一种关系为2x2y2，tan .2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为220cos(0)
3、r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin_.诊 断 自 测1点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为_解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式答案2若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2014西安五校一模)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为
4、_ 解析2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(1,1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案4在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点到直线l的距离为_解析直线l的极坐标方程可化为y3，点化为直角坐标为(，1)，点到直线l的距离为2.答案25在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆
5、心(0,2)到直线x3y0的距离为.答案考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(，1)化成极坐标解(1)x5cos ，y5sin ，点M的直角坐标是.(2)2，tan .点M在第三象限，0，最小正角.因此，点M的极坐标是.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0,02)解(1)x8cos 4，y8sin 4，因此，点M的直
6、角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点在第四象限，得.因此，点P的极坐标为.考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程解(1)cos1，cos cos sin sin 1.又，xy1.即曲线C的直角坐标方程为xy20.令y0，则x2；令x0，则y.M(2,0)，N.M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)M，N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为.直线
7、OP的极坐标方程为(R)规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境【训练2】 O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位(1)4cos ，两边同乘以，得24cos ；4sin ，两边同乘以，得24sin .由cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2的直角坐标方程分别为x2y24x0和x2y24y0.(2)由得4x4y0，即xy
8、0为所求直线方程考点三曲线极坐标方程的应用【例3】 (2014广州调研)在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得(sin cos )2可化为xy20.圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得：224.故所求弦长为4.规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决【训练3】 (2012江苏卷)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于
9、是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P(，)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标错解展示甲：解化为直角坐标为(2,2)，故该点与原点的中点坐标为(1，)，化为极坐标为.乙：解4，故2，因此所求极坐标为.规范解答为点P(，)的一个极坐标4或4. (2分)当4时，2k(kZ)，2，k(kZ)(4分)当4时，2k(kZ)，2，k(kZ)(6分)有四个不同的点：P1，P2(kZ)，P3，P4(kZ) (10分)反思感悟甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(，)与的关系并不是点(
10、，)与极点的中点为，从几何意义上讲点应满足该点的极角为的，极径为的.乙生解法中满足的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(，)的其他形式的极坐标进行讨论【自主体验】下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是_解析因为与表示同一点的坐标有或，其中kZ，所以易得只有不同答案一、填空题1在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是_(填序号)；(1,0)；(1，)解析圆的方程可化为22sin ，由得x2y22y，即x2(y1)21，圆心为(0，1)，化为极坐标为.答案2极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是_(填序号)两个圆；两条直线；一个圆和一条射线；一条直线和一条射线解析由(
11、1)()0(0)得，1或.其中1表示以极点为圆心，半径为1的圆，表示以极点为起点与Ox反向的射线答案3在极坐标系中，点到圆2cos 的圆心的距离为_解析点化为直角坐标为(1，)，方程2cos 化为普通方程为x2y22x0，故圆心为(1,0)，则点(1，)到圆心(1,0)的距离为.答案4在极坐标系(，)(02)中，曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标为_解析曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.答案5(2014汕头调研)在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程
12、，则点A到圆心C的距离是_解析将圆的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2y24y0，圆心坐标为(0,2)又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为2.答案26在极坐标系中，过圆6cos 2sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_解析由6cos 2sin 26cos 2sin ，所以圆的直角坐标方程为x2y26x2y0，将其化为标准形式为(x3)2(y)211，故圆心的坐标为(3，)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x3，将其化为极坐标方程为cos 3.答案cos 37(2014华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线cos2上的点的距离的最小值为_解析依题意知，点M
13、的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是xy40，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为2.答案28在极坐标系中，曲线C1：2cos ，曲线C2：，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB_.解析曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB.答案9在极坐标系中，由三条直线0，cos sin 1围成图形的面积是_解析0，cos sin 1三直线对应的直角坐标方程分别为：y0，yx，xy1，作出图形得围成图形为如图OAB，S.答案二、解答题10设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P，点M为线段OP的中点，
14、当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ，设点P的极坐标为(1，1)，点M的极坐标为(，)，点M为线段OP的中点，12，1，将12，1代入圆的极坐标方程，得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ，它表示圆心在点，半径为的圆11(2012辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程解(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方
15、程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.法二将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.12在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2 ，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin .所以AB|21|2.
