1、数学（文）试题答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合1,2,3,4A=，2|230Bx xx=，则 AB=（A ）A1,2 B1,2 3，C1,2 3 4，D 3 4，2在复平面内，复数1 32+izi=所对应的点位于 （C）A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3.已知3cos-(,)52=，则 tan()4+=(A )A.17 B.17 C.7 D.43 4.已知0.31=()2a，12log 0.3b=，21log 2c=，则,a b c 的大小关系是 (B )A.abc B.cab C
2、.acb D.bca 5.实数 x，y 满足220110 xyxyy+，且2zxy=，则 z 的最大值为 （C ）A 7 B 1 C5 D 7 6.下列说法错误的是 (D )A.“若1a ，则21a ”的否命题是“若1a，则21a”B.命题：“0(0,)x+，使0034xx”的否定是：“(0,)x+，有34xx”C.在 ABC中，sinsinABAB若，则 D.命题“1,2x，20 xa”为真命题的一个充分不必要条件是4a 7设是公差不为 0 的等差数列，且成等比数列，则的前 8 项和8S=（C ）A 16 B 24 C 30 D36 8设 D 为ABC 所在平面内一点，3BCBD=，则 (A
3、)A.2133ADABAC=+B.1233ADABAC=+C.1122ADABAC=+D.1133ADABAC=9.已知函数21()sinsin cos2f xxxx=+，则下列说法错误的是 （B ）A.()f x 的最小正周期是 B.()yf x=关于4x=对称 C.()f x 在 37,88上单调递减 D.()f x 的最小值为22 10.P 是双曲线22xy1916 的右支上一点，M、N 分别是圆（x5）2y24 和（x5）2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为 （D ）A.6 B.7 C.8 D.9 na12a=136,a a a na11.函数1()ln|1xf xx=+的大致
4、图象为 (B )12.已知()3f xxx=+是定义在 R 上的函数，且对于任意()0 x，不等式()()sin1cos0f xxfxa+恒成立，则整数a 的最小值为 （A ）A1 B2 C3 D4 解：()3f xxx=+，可知()()fxf x=，且单调递增，()()sin1cos0f xxfxa+可以变为()()sin1cosf xxfxa，即()()sin1cosf xxf ax，sin1cosxxax，可知1sincosaxxx+，设()sincosh xxxx=+，则()sincossincosh xxxxxxx=+=，当2x=时，()0h x=，当02x，时，()()0h xh
5、x，单调递增；当2x，时，()()0h xh x，单调递减，可知()max22hhx=，1122aa+，aZ，整数a 的最小值为 1.故选 A.二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.已知向量=(2,1)a，(,1)bm=，且()aab，则实数 m=_.3 14.在圆2226150 xyxy+=内，过点 E（1，0）的最短弦 AB 的长为 _。8 15.一个几何体的三视图如右，其俯视图是一个等腰直角三角形，则其外接球的表面积为_。8 16.如图，在凸四边形 ABCD中，4,2ADCD=，ABC为等边三角形，（1）若60D=，则四边形 ABCD的面积为_；5 3 （2）当
6、D变化时，四边形 ABCD的面积的最大值为_ 85 3+俯视图侧视图正视图1112ABCD三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分 12 分）.已知数列 na满足11a=，()11,22,nnnaannN+=（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列()2log1nnba=+，求数列21nnb b+的前 项和nS.解：（1）由已知112nnnaa=，()()112nnnnnaaaaa=+()()23211nnaaaaa+，12321222221nnnna=
7、+，()()1 11 1 22111 2nnnnaqaq=.-6 分（2）()2log1nnban=+=，()2111 11()222nnbbn nnn+=+，1 11111111()2 1324352nSnn=+221111335(1)221242(1)(22483)12nnnnnnnnn+=+=+.-12 分 18.（本小题满分 12 分）最近，纪录片美国工厂引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪。某工厂有 30 周岁以上(含 30 周岁)工人 300 名,30 周岁以下工人 200 名.为研究工人
8、的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“30 周岁以上(含 30 周岁)”和“30 周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.O 50 60 70 80 90 100 件数 35 岁以下组 频率/组距 0.04 0.03 0.02 0.005 O 50 60 70 80 90 100 件数 35 岁以上组 频率/组距 0.035 0.025 0.02 0.015 0.005 (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2
9、人,求至少抽到一名“30 周岁以下组”工人的概率.(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有 95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手 非生产能手 合计 30 岁以下 30 岁以上 合计 附表:解:(1)由已知得,样本中有 30 周岁以上组工人名,30 周岁以下组工人名 所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,30 周岁以上组工人有(人),记为,;30 周岁以下组工人有(人),记为,从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,他们是:,其中,至少有一名“30 周岁以下组”工人的可能结果共有种,它们是:,.故所求的概率
10、:-6 分(2)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“30 周岁以上组”中的生产能手60 0.530=(人),“30 周岁以下组”中的生产能手40 0.2510=(人),据此可得列联表如下:生产能手 非生产能手 合计 30 岁以下 10 30 40 30 岁以上 30 30 60 合计 40 60 100 所以得:22100(10 3030 30)256.253.84140 60 40 604K=所以有 95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”-12 分 22()()()()().n adbcKab cd ac bd=+19.（本小题满分 12 分）如图，矩形 ABCD中，2,1
11、ABBC=，M 是 AB 边上异于端点的动点，MNCD于点 N，将矩形 AMND 沿 MN 折叠至11AMND 处，使面11AMND 面 MBCN 点 E，F 分别为 A1N、BM 的中点（1）证明：/EF面11A BCD；（2）设 AMx=，当 x 为何值时，四面体CMEF 的体积最大，并求出最大值 解：（1）在面11AMND 内，过点 F 作 FG NM 交1AM 于点 G，连接 GE.NM BC，FGBC，又 BC 面1A BC，FG 面1A BC /FG面1A BC.由点 E，G 分别为 BM、A1M 的中点 得1GEA B，得/GE面1A BC.又 FGGEG=，,FG GE 面 F
12、GE，面/FGE面1A BC，又 EF 面 FGE，/EF面1A BC-6 分（2）AMx=，则 BM=2-x，ME=22x，GM=2x，面11AMND 面 MBCN，面11AMND 面 MBCN=NM，1AM 面11AMND，1MNAM 则1AM 面 MBCN,即1AM 面 MEC，又 GF/面 MEC，()211 1 2211212()33 224222244F MECG MECMECx xxxVVSGMxx+=，()0,2x 当1x=时，F MECV 取得最大值 124.-12 分 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的四个顶点组成的四边形的面积为4
13、，且经过点31,2.（I）求椭圆的标准方程；（II）过椭圆 C 的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,M N 两点,且|OMONOMON+=,求OMN的面积.ABCDMBCNA1D1NMFE解：（I）2214xy+=-5 分（II）设直线l 的方程为3xmy=+与椭圆2214xy+=联立并化简得22(4)2 310mymy+=-6 分 设1122(,),(,)M x yN xy，则1212222 31,44myyy ymm+=+由|OMONOMON+=得0OM ON=-7 分 21 21212121212(3)(3)(1)3()3OM ONx xy ymymyy ymy ym yy=+=+=+22
14、11404mm=+，解得2114m=-10 分 所以212213 414 53|2249OMNmSyym+=+-12 分 21.（本小题满分 12 分）已知函数()2(1)f xaxb=+（1）讨论函数()e()xg xf x=在区间0,1 上的单调性（2）已知函数()e12xxh xxf=，若(1)0h=，且函数()h x 在区间(0,1)内有零点，求 a 的取值范围 解：（1）由题得()e2(1)xg xaxb=，所以()e2(1)xg xa=，当32a时，()0g x，所以()g x 在0,1 上单调递增，当e12a+时，()0g x，所以()g x 在0,1 上单调递减，当 3e122
15、a+时，令()0g x=，得ln(22)(0,1)xa=，所以函数()g x 在区间0,ln(22)a 上单调递减，在区间(ln(22),1a 上单调递增，-5 分（2）2()e1e(1)12xxxh xxfaxbx=，()e2(1)()xh xaxbg x=，设0 x 为()h x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0hh x=，可知()h x 在区间0(0,)x上不单调，则()g x 在区间0(0,)x内存在零点1x，同理，()g x 在区间0(,1)x内存在零点2x，所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点，由（1）知，当32a时，()g x 在0,1 上单调递增，故
16、()g x 在(0,1)内至多有一个零点，不合题意，当e12a+时，()g x 在0,1 上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点，不合题意，-7 分 3e122a+，此时()g x 在区间0,ln(22)a 上单调递减，在区间ln(22),1a 上单调递增，因此，1(0,ln(22)xa，2ln(22),1xa，必有(0)10gb=，(1)e220gab=+，由(1)0h=，得eab+=，1=e+1e0ga=，(1)20ga=，解得e 12a，a 的取值范围是(e 1,2)-12 分 选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分
17、.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 在平面直角坐标系 xOy 下的参数方程为13cos3sinxy=+=（为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程（2）直线l 的极坐标方程是cos3 36=，射线:(0)3OT=与曲线C 交于点 A 与直线l 交于点B，求线段 AB 的长 解：（1）因为曲线C 的参数方程为13cos3sinxy=+=（为参数），消去参数t 得曲线C 的普通方程为22(1)3xy+=，-2 分 又cosx=，siny=，曲线C 的极坐标方程为22 cos20=-5 分（2）由222 cos20202
18、(0)3=，故射线OT 与曲线C 的交点 A 的极坐标为2,3，由cos3 366(0)3=，故射线OT 与直线l 的交点 B 的极坐标为6,3，|62|4BAAB=-10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知的最小值为 （1）求 的值；（2）若实数，满足，求的最小值.【解析】：（1），故当时，函数有最小值 2，5 分（2）由（1）可知，故，当且仅当，时等号成立，故的最小值为 1 10 分 ()221f xxx=+ttab2222abt+=221112ab+()31,12213,1131,1xxf xxxxxxx+=+=+1x=()f x2t=22222ab+=22124ab+=2222222222212111112121121244baabababab+=+=+22122ab+=+=21a=20b=221112ab+
