1、第一节不等式的概念与性质1.(2016浙江，5)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A.(a1)(b1)0 B.(a1)(ab)0C.(b1)(ba)0 D.(b1)(ba)0解析由a，b0且a1，b1，及logab1logaa可得：当a1时，ba1，当0a1时，0ba1，代入验证只有D满足题意.答案D2.(2015浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A
2、.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析作差比较，xyz，abc，则(azbycx)(axbycz)a(zx)c(xz)(ac)(zx)0，azbycxaxbycz；(azbycx)(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，azbycxaybzcx；(aybzcx)(aybxcz)b(zx)c(xz)(bc)(zx)0，aybzcxaybxcz，azbycx最小.故选B.答案B3.(2014浙江，7)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()A.c3 B.3c6 C.6c9 D.c9解析由已知得解得又0f(1)c63，所
3、以6c9.答案C4.(2014四川，5)若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析cd0，0，0，又ab0，故选B.答案B5.(2013北京，2)设a，b，cR，且ab，则()A.acbc B.C.a2b2 D.a3b3解析A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负数则不成立，故选D.答案D6.(2013浙江，10)设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d满足ab4，cd4，则()A.ab2，cd2B.ab2，cd2C.ab2，cd2D.ab2，cd2解析由题意知，运算“”为两数中取小，运算“”为两数中取大，由
4、ab4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由cd4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.答案C7.(2012四川，16)设a，b为正实数.现有下列命题：若a2b21，则ab1；若1，则ab1；若|1，则|ab|1；若|a3b3|1，则|ab|1.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号).解析中，a2b21，ab，而a0，b0，又a2b211，a1，从而1，即ab1，正确.中，取a5，b，验证知错误.中，取a4，b1，验证知错误.a，b是正实数，不妨设ab，a3b3(ab)(a2b2ab)，ab，a31b31，a21，a2abb21，则01，ab1，即|ab|1.同理，设ab，也能得到|a
5、b|1的结论，故正确.答案1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、0ab；ab0ab；ab0a0，则有1ab；1ab；1abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2).两种方法：作差法；作商法.比较两个实数的大小除了直接利用不等式性质，还可利用作差法或作商法(1)若ab0，则与的大小关系为_.解析0，所以.答案(2)若a，b，则a，b大小关系为_.解析log81641，所以ba.答案ba 不等式比较
6、大小的方法突破比较两个实数大小的理论依据(1)两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0a0，则有1ab；1ab；1ab.(2)当两个代数式正负不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商法比较大小.若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系.判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；
7、(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.【例1】 (1)(2016四川成都模拟)若ab0，则下列不等式中一定成立的是()A. B.C.ab D.(2)(2016山东寿光五中月考)已知a20.5，blog32，clog20.1，则()A.abc B.cabC.cba D.bca解析(1)因为ab0，所以ba0，ab0，0，因此A错误；由函数f(x)是减函数知，B错误；由(ab)0知C正确，故选C.(2)a20.5201，0blog32log331，clog20.1log210，cba，故选C.答案(1)C(2)C点评实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的
8、符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论. 不等式的性质应用解题方略利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径.【例2】 设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.解析法一设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二由得f(
9、2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3，1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5f(2)10点评同向不等式只能相加，不能相减，即可以利用1f(1)2，2f(1)4相加得a3，但不能利用1f(1)ab2，2f(1)ab4相减得b1.函数思想在判定不等式命题真假中的应用【示例】 设a0，b0()A.若2a2a2b3b，则abB.若2a2a2b3b，则abC.若2a2a2b3b，则abD.若2a2a2b3b，则a
10、b解析由于a0，b0，且2a2a(2b2b)b，所以有2a2a2b2b.设函数f(x)2x2x，显然函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(a)f(b)，所以有ab.故A正确，B错误.又2a2a(2b2b)b，所以2a2a2b2b.设函数g(x)2x2x，则g(x)2xln 22，由g(x)0可得xlog2，所以函数g(x)在上递减，在上递增.因此由g(a)g(b)不能确定a与b的大小，即C和D都错误，故选A.答案A 规律方法1.在本题的解答过程中应用了函数的思想方法，即利用具体的题目条件、构造出函数、利用其单调性，得到数值的大小关系.2.解决此类题目的难点在于构造函数，要注意观察所给不等式的
11、结构特征，如本例选项中所给的不等式在结构形式上非常类似，都可以看作是将某个函数解析式中的自变量换成了不同的数、字母后得到的函数值，因此可以通过研究函数的单调性，得到自变量的大小与函数值的大小之间的关系.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，5，能力题10.专项基础测试模拟精选题选择题1.(2016太原测评)已知a0，0bab B.aab2C.abab2解析由题意得abab2ab(1b)0，所以abab2，故选C.答案C2.(2016眉山市一诊)若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是()A.若ab，则ac2bc2 B.若ab，则acbcC.若ab，则acbc D.若
12、ab，则解析对于A：当c0时，ac2bc2，排除A；对于C：当c0时acbc，排除C；对于D：当a1，b1时，排除D，故选B.答案B3.(2015山东青岛质检)设ab0，则下列不等式中不成立的是()A. B.C.|a|b D.解析由题设得aab0，所以有成立，即不成立.答案B4.(2014郑州二模)已知xyz且xyz0，下列不等式中一定成立的是()A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y|解析由已知得3xxyz0，3zxyz0，x0，z0.由得xyxz.故选C.答案C5.(2015广东湛江二模)已知a，b，c满足cba且a0，ac0，则下列选项中不一定能成立的是()A. B.
13、0C. D.0解析由bc，a0，即0，可得，故A恒成立.ba，ba0.又c0，0，故B恒成立.ca，ac0.又ac0，0，故D恒成立.当b2，a1时，b2a2，而c0，故C不恒成立，选C.答案C创新导向题利用不等式性质或特值检验判断不等式问题6.若0，则下列不等式：ab|b|；2；ba，正确的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析取a2，b3得，错误；由不等式性质知，正确.答案B利用不等式的性质判断不等式问题7.已知三个不等式：ab0；bcad0；0(其中a、b、c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A.0 B.1C.
14、2 D.3解析若成立，则(bcad)0，0，故成立；若成立，则ab0，bcad0，故成立；若成立，即bcad0，0，ab0，故成立.故正确命题的个数为3.答案D专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015湖南十三校联考)若ab0，则下列不等式中一定成立的是() A.ab B.C.ab D.解析检验法：取a2，b1，排除B和D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0，1上递减，在1，)上递增.所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立.但g(a)g(b)未必成立，这样，abab，故选A.答案A二、填空题9.(2015辽宁五校联考)对于实数a，b，c，有下列命题：若ab
15、，则acbc；若ac2bc2，则ab；若ab，则a0，b0.其中真命题为_(把正确命题的序号写在横线上).解析若c0，不成立；由ac2bc2知c20，则ab，正确；当ab时，0，则a0，b0，成立.答案10.(2016河南适应性测试)已知ab，ab0，则下列不等式中：a2b2；b3；a2b22ab.恒成立的不等式的个数是_.解析当a1，b2时，显然不成立；对于，当a，b异号时，a0b时，显然有a30b3，当a，b同号时，a3b3(ab)(a2abb2)0，所以恒成立；对于，a2b22ab(ab)20，所以a2b22ab，即恒成立.综上所述，不等式恒成立的个数为2.答案211.(2014石家庄二
16、检)若，则的取值范围是_.解析由，可得0.答案(，0)创新导向题不等式性质与函数综合问题12.已知实数a，b满足logalogb，下列五个关系式：ab1，0ba1，ba1，0ab1，ab1.其中不可能成立的关系式有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析本题可采用数形结合的方法解答.如图，在同一坐标系内分别作出y1logx，y2logx的图象C1，C2，与直线ym(m0)，yn(n0)，y0相交，相应的a，b取值情况依次为0ba1，ba1，ab1，故5个关系式中不可能成立的有2个.注意审题，易误认为求成立的个数.答案B不等式中的新定义问题13.定义a*b已知a30.3，b(0.3)3，c
17、log30.3，则(a*b) *c_(结果用含a，b，c的式子表示).解析log30.30(0.3)3130.3，cba，(a*b) *cb*cc.答案 c第二节不等式的解法(2014大纲全国，3)不等式组的解集为()A.x|2x1 B.x|1x0C.x|0x1 D.x|x1解析解x(x2)0，得x0；解|x|1，得1x1.所以不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即x|0x0的解集为_(用区间表示).解析不等式x23x40，即x23x40，解得4x1.答案(4，1)5.(2015江苏，7)不等式2x2x4的解集为_.解析2x2x422，x2x2，即x2x20，解得1x0(a0)或ax2bxc
18、0).(2)计算相应的判别式.(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根.(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2.三个“二次”间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0)的解集x|x1x0型和0型不等式的解法(1)(xa)(xb)0型不等式的解法：一元二次不等式(xa)(xb)0可以转化为一元一次不等式组或一元二次不等式(xa)(xb)0型不等式的解法：不等式0与(xa)(xb)0同解；不等式0与(xa)(xb)0同解.三类不等式的求解(4)(xa)(xb)0
19、型不等式不等式 (x1)(x4)0的解集为_.解析由(x1)(x4)0得或解得x4或x1，即不等式解集为x|x4或x1.答案x|x4或x1(5)分式不等式不等式0的解集为_.解析由0得解得2x7.答案2，7)(6)绝对值不等式不等式|x1|3的解集为_.解析由|x1|3得3x13，2x4.答案(2，4) 不等式的解法突破方略解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集
20、的形式.【例1】 解关于x的不等式ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.(1)当a0时，原不等式化为x10，解得x1.(2)当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.(3)当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.点评解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进
21、行分类讨论，分类要不重不漏. 一元二次不等式恒成立问题求解策略一元二次不等式恒成立问题的解决方法方法解读适合题型判别式法(1) ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是(2)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是二次不等式在R上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解.af(x)恒成立等价于af(x)max；af(x)恒成立等价于af(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)axb(a0)在 m
22、，n恒成立问题，若f(x)0恒成立若f(x)0恒成立若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时【例2】 设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在1，3上恒成立，即mm60时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)
23、m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1，3上的最小值为，所以只需m即可.所以，m的取值范围是.点评(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.若限制在某个区间上恒成立，则先求出这个区间上的最值，再转化为关于最值的不等式问题.(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等.一元二次不等式与二次函数、二次方程根的交
24、汇问题【示例】 已知x(0，)时，不等式9xm3xm10恒成立，则m的取值范围是() A.22m22 B.m2C.m22 D.m22解析令t3x(t1)，则由已知得函数f(t)t2mtm1的图象在t(1，)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)0有(m)24(m1)0或解得m22.答案C方法归纳用函数思想研究方程和不等式是高考的热点，将二次函数的图象位置与对应一元二次不等式的解集的范围相互联系，可以使问题快速获解；二次函数与一元二次不等式的核心是二次函数的图象，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析
25、，重点关注基础题1，5，能力题10.专项基础测试模拟精选题选择题1.(2015珠海模拟)不等式2x2x30的解集是()A.x|x1 B.C. D.解析2x2x30，2x2x30即(2x3)(x1)0，x或x1.答案D2.(2016江西八所重点中学联考)设集合Ax|a2xa2，Bx|x24x50，若AB，则实数a的取值范围为()A.1，3 B.(1，3)C.3，1 D.(3，1)解析由题意知A，Bx|1xf(2x)的x的取值范围是_.解析结合函数图象求解.由函数f(x)的图象可得不等式f(1x2)f(2x)或解得1xf(2x)的解集为(1，1).答案(1，1)有关新定义的不等式求解6.对于实数x
26、，规定x表示不大于x的最大整数，那么不等式4x236x450的解集为_.解析由题意解得x，又x表示不大于x的最大整数，所以x的取值为2，3，4，5，6，7，故2x0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.1，3)B.(1，3)C.(，13，)D.(，1)(3，)解析由xR，x2(a1)x10得(a1)240，解得1a0，b0，所以目标函数zaxby在点A(2，1)处取得最小值，即2ab2.法一a2b2a2(22a)25a28a20(a4)244，即a2b2的最小值为4.法二表示坐标原点与直线2ab2上的点之间的距离，故的最小值为2，即a2b2的最小值为4.答案B14.(2014广东，4)若变量
27、x，y满足约束条件则z2xy的最大值等于()A.7 B.8C.10 D.11解析由约束条件画出如图所示的可行域，由z2xy得y2xz.当直线y2xz过点A时，z有最大值，由得A(4，2)，zmax24210.故答案为C.答案C15.(2013四川，8)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A.48 B.30 C.24 D.16解析约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数yxz.经过点(8，0)时，z5yx取得最小值为b8，经过点(4，4)时取得最大值a16，所以ab24.答案C16.(2015北京，13)如图，ABC及其内部的点组成的集合记
28、为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_.解析z2x3y，化为yxz，当直线yx在点A(2，1)处时，z取最大值，z2237.答案717.(2015湖北，12)设变量x，y满足约束条件则3xy的最大值为_.解析作出约束条件表示的可行域如图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3，1)，(1，3)，(1，3)，将三个点的坐标依次代入3xy，求得的值分别为10，6，6，比较可得3xy的最大值为10.答案1018.(2014湖南，13)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_.解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为A(1，
29、1)，B(2，2)，C(3，1)，画出直线2xy0，平移直线2xy0可知，z在点C(3，1)处取得最大值，所以zmax2317.答案719.(2014北京，13)若x，y满足则zxy的最小值为_.解析根据题意画出可行域如图，由于zxy对应的直线斜率为，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0，1)时，z取得最小值1.答案120.(2014浙江，12)若实数x，y满足则xy的取值范围是_.解析由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1，0)，(2，1)，代入zxy，可得1z3.答案1，31.二元一次不等式(组)表示的平面区域在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面
30、区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点位于直线的一侧，反之在直线的另一侧.一个口诀：直线定界，特殊点定域；同侧同号，异侧异号.(1)已知点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为_.解析因为(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0两侧，所以3(3)2(1)a342(6)a0，即(a7)
31、(a24)0，解得7a24.答案(7，24)(2)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为_.解析由20030，平面区域为原点所在的另一侧区域，所以不等式为2xy30.答案2xy301.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x、y的解析式线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或Z最小值的问题2.线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型一是给
32、定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数(直线)求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.两个易错点：目标函数几何意义；最优解.(3)首先分析目标函数的几何意义，是截距型zaxby，斜率型z，还是距离型，z，然后根据几何意义求最值若x、y满足则z的最大值是_.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z可看作可
33、行域上的点(x，y)与定点B(1，1)连线的斜率.由图可知z的最大值为kAB3.答案3(4)目标函数zaxby的最优解有多个时，往往是在可行域边界处取得在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为() A.3 B.3C.1 D.1解析，a3.故选A.答案A 突破平面区域的相关问题方法平面区域问题的解题思路(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用
34、面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.【例1】 (1)(2016甘肃嘉峪关一中模拟)在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为() A.2 B.C. D.2(2)(2015豫晋冀三省二调)已知P(x，y)为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z2xy的最大值是()A.6 B.0C.2 D.2解析(1)约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示.由题意知M(2，3)，N，P(0，1)，Q(0，1).不等式组所表示的平面区域的面积为SPQMSPQN222，故选B.(2)由作出可
35、行域，如图.易得A(a，a)，B(a，a)，由SOAB2aa4得a2，A(2，2)，化目标函数z2xy为y2xz.当直线y2xz过A点时，z最大，zmax22(2)6，故选A.答案(1)B(2)A点评求图形面积时要会对图形灵活分割整合，以便使用坐标求相关长度. 目标函数的最值求解方略利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(2)平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较.(3)求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.常见的目标函数有
36、(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值时常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.(2)距离型：形如z表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离.(3)斜率型：形如表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.注意：转化的等价性及几何意义.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.【例2】 变量x，y满足(1)设z4x3y，
37、求z的最大值；(2)设z，求z的最小值；(3)设zx2y2，求z的取值范围.解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1，1)，由解得B(5，2).(1)由z4x3y，得yx.求z4x3y的最大值，相当于求直线yx的纵截距的最小值.平移直线yx知，当直线yx过点B时，最小，z最大.zmax453214.(2)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zminkOB.(3)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.点评解决此类问题的关键是准确运用给出目标函数
38、的几何意义. 求参数取值(或范围)的解题策略这类问题主要有两类(1)在条件不等式组中含有参数，(2)在目标函数中含有参数.求解方法有两种(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.【例3】 (1)(2016河南郑州二模)若实数x，y满足且z2xy的最小值为4，则实数b的值为()A.1 B.2C. D.3(2)(2016山东日照模拟)已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线ykx3与平面区域D有公共点，则k的取值
39、范围为()A.3，3 B.(，33，)C.(，33，) D.解析(1)如图，z2xy的最小值为4，且由解得A(1，2).又由题意可知A在直线yxb上，21b，解得b3 ，故选D.(2) 满足条件的平面区域如图阴影部分所示，直线ykx3过定点M(0，3)，当直线ykx3过点C(1，0)时，k3，当过点B(1，0)时，k3，所以k(3) 3或k3时，直线与平面区域有公共点，故选C.答案(1)D(2)C点评可看作是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情
40、况进行分类讨论，以免出现漏解.线性规划的综合应用【示例】 (2015山东威海一模)若实数x，y满足约束条件将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数zaxby在点(2，1)处取得最大值的概率为() A. B.C. D.解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.函数z2axby在点(2，1)处取得最大值.直线z2axby的斜率k1，即2ab.一颗骰子投掷两次分别得到的点数为(a，b)，则这样的有序整数对共有6636个.其中2ab的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，
41、(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).共30个.则函数在点(2，1)处取得最大值的概率为，故选D.答案D方法点评线性规划与其它知识点如概率、基本不等式等的交汇问题要予以足够重视，命题有加强的趋势.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，2，能力题8，9.专项基础测试模拟精选题一、选择题1.(2016湖南常德3月模拟)设x，y满足约束条件则zx2y3的最大值为()A.8 B.5 C.2 D.1解析作可行域如
42、图，则A(1，2)，B，C(4，2)，所以zA12232；zB1231；zC42235，则zx2y3的最大值为5.答案B2.(2016太原模拟)已知实数x，y满足条件若目标函数z3xy的最小值为5，则其最大值为()A.10 B.12C.14 D.15解析画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.作直线l：y3x，平移l，从而可知当x2，y4c时，z取得最小值，zmin324c10c5，c5，当x3，y1时，z取得最大值，zmax33110.答案A3.(2015北京模拟)在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示图形的面积等于()A.1 B.2C.3 D.4解析该线性约束条件表示的平面区域如下
43、图所示，该区域为边长为的正方形，故其面积为()22.答案B4.(2016甘肃兰州诊断)设x，y满足约束条件则目标函数z的取值范围为()A.3，3 B.3，2C.2，2 D.2，3解析根据约束条件作出可行域，可知目标函数z在点A(1，2)处取得最小值2，在点B(1，2)处取得最大值2，故选C.答案C二、填空题5.(2014广州市调研)已知实数x，y满足约束条件且目标函数zkxy的最大值为11，则实数k_.解析画图后易知，目标函数在点(2，3)处取到最大值11，所以2k311，即k4.答案4创新导向题利用不等式表示可行域及可行域边界问题6.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C
44、在第一象限，若点(x，y)在ABC内部，则zxy的取值范围是()A.(1，2) B.(0，2)C.(1，2) D.(0，1)解析如图，根据题意得C(1，2).作直线xy0，并向左上或向下平移，过点B(1，3)和C(1，2)时，zxy取范围的边界值，即(1)2z13，zxy的取值范围是(1，2).答案A求截距型目标函数的最值7.设x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值是_.解析画出满足条件的平面区域，如图所示，当平移直线x2y0经过直线x2与直线yx1的交点(2，3)时，目标函数取得最小值为1(2)238.答案8专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2016晋冀豫三省一调)已知P(x，y)
45、为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z2xy的最大值是() A.6 B.0C.2 D.2解析由作出可行域，如图，由图可得A(a，a)，B(a，a)，由SOAB2aa4，得a2，A(2，2)，化目标函数z2xy为y2xz.当y2xz过A点时，z最大，zmax22(2)6.答案A9.(2016山东临沂八校质量检测)已知变量x，y满足约束条件若目标函数zkx2y仅在点(1，1)处取得最小值，则实数k的取值范围为()A.(，4) B.(2，2)C.(2，) D.(4，2)解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zkx2y得yx，要使目标函数zkx2y仅在点B(1，1)处取得最小值，
46、则阴影部分应该在直线zkx2y的右上方，所以直线的斜率大于直线xy2的斜率，小于直线2xy1的斜率，即12，解得4k1.答案C线性规划与几何概型综合求解12.设不等式组所表示的区域为M，函数y的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为()A. B.C. D.解析区域M的面积为2，区域N面积为，由几何概型知所求概率为P.答案B第四节基本不等式：1.(2015湖南，7)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2C.2 D.4解析由，知a0，b0，由于2，ab2.故选C.答案C2.(2015福建，5)若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A
47、.2 B.3C.4 D.5解析由题意1，ab(ab)24，当且仅当ab2时，取等号.故选C.答案C3.(2015陕西，10)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrp B.qrpC.prq D.prq解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.选C.答案C4.(2014重庆，9)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A.62 B.72 C.64 D.74解析因为log4(3a4b)log2，所以log4
48、(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)77274，当且仅当时取等号，选择D.答案D5.(2014福建，9)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元解析设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y20410802080202 160(当且仅当x，即x2时取等号).所以该容器的最低总造价为1
49、60元.故选C.答案C6.(2013山东，12)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A.0 B.C.2 D.解析3231，当且仅当x2y时等号成立.此时z2y2，x2yz2y2y2y22(y1)22，当y1，x2，z2时，x2yz取得最大值2.答案C7.(2012陕西，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A.av B.vC.v D.v解析v(ab)，所以av.故选A.答案A8.(2015天津，12)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.解析log2alog2(
50、2b)log2a(1log2b)4，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.答案49.(2015浙江，12)已知函数f(x)则f(f(2)_，f(x)的最小值是_.解析因为f(x)f(2)(2)24，ff(2)f(4).当x1时，f(x)minf(0)0.当x1时，f(x)x626，当且仅当x时“”成立.260，f(x)的最小值为26.答案2610.(2015山东，14)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_.解析由题意，得xy(2y)x，当且仅当xy时取等号.答案11.(2014浙江，16)已知实数a，b，c满足abc
51、0，a2b2c21，则a的最大值是_.解析由abc0，得abc，则a2(bc)2b2c22bcb2c2b2c22(b2c2)，又a2b2c21，所以3a22，解得a.所以amax.答案12.(2013天津，14)设ab2，b0，则的最小值为_.解析因为ab2，所以1，21，当且仅当b2|a|时，等号成立，当a0时，1，故；当a0时，1，.综上可得最小值为.答案1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.2.常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)ab(a，bR)；(3)(a，bR)；(4)2(a，b同号且不为零).两个
52、易错点：基本不等式满足条件；不等号方向.(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可，若不能使用基本不等式，可考虑使用函数单调性求最值函数f(x)x在2，)上的最小值为_.解析若x，则x12，)，函数f(x)在2，)上单调递增，所以最小值为f(2)2.答案当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号方向的改变(2)若x0，则y有最_值为_.解析x0，y.当且仅当x即x2时等号成立.答案大(3)函数y有最_值为_.解析y24.当且仅当x2即x时等号成立.答案大41.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，
53、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).3.解不等式的实际应用题的一般步骤现实生活中的不等关系建立不等式模型解不等式模型两种最值题型：积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值.(4)当0x1时，x(1x)取最大值时x的值为_.解析0x1，1x0.x(1x)，当且仅当x1x即x时等号成立.答案(5)设a0，b0，且ab1，则的最小
54、值为_. 解析(ab)2224，当且仅当，即ab时等号成立.答案4一种解题技巧(6)在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件若a1，则a有最_值为_.解析a1，a10，aa111211.当且仅当1a即a0时取等号.答案大1 突破利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式
55、.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.【例1】 (1)设0x，求函数y4x(32x)的最大值；(2)设x，yR，且2x8yxy0，求xy的最小值.解(1)0x0，y4x(32x)22x(32x)2.当且仅当2x32x，即x时等号成立.，函数y4x(32x)的最大值为.(2)法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)1021018.当且仅当x8，即x12时，等号成立.xy的最小值是18.法二由2x8yxy0及x，yR得1.xy(xy)1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立.xy的最小值是18.点评解决本题的
56、关键是熟悉基本不等式的形式特点，在应用时若不满足条件，则需要进行相应的变形得到基本不等式所要的“和”或“积”为定值的形式. 基本不等式的综合应用求解方略利用基本不等式求参数值或范围的方法(1)观察题目特点，确定是否可用基本不等式求解.(2)求参数值或范围时，一般要根据所给代数式分离参数，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【例2】 (1)(2016云南师大附中适应性测试)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为4，则ab的取值范围是() A.(0，4) B.(0，4C.4，) D.(4，)(2)(2016甘肃会宁一中月考)对一切实数x，不等式x2a
57、|x|10恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.2，)C.2，2 D.0，)解析(1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由图可知，当目标函数zaxby(a0，b0)过点A(1，1)时，z取得最大值，ab4，ab4.(当且仅当ab2时取等号)，又a0，b0，ab(0，4，故选B.(2)当x0时，不等式x2a|x|10恒成立.当x0时，则有a|x|22，2.即的最大值为2，故a2.a的取值范围为2，)，故选B.答案(1)B(2)B点评利用条件将问题正确分解或等价转化是解决基本不等式综合问题的常用方法.基本不等式的实际应用【示例】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，
58、一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现在可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长为x m、宽为y m，则由条件知4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.由于2x3y22，218，得xy，即S，当且仅当2x3y时等号成立.由 解得故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2
59、x3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小.方法归纳有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，4，能力题9，10.专项基础测试模拟精选题选择题1.(2016济南一中高三期中)若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是()A.18 B.6C.2 D.2
60、解析3a3b2226.答案B2.(2015衡水中学四调)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A.4 B.3C.2 D.1解析因为由对数的运算可知lg 2xlg 8ylg 2x3ylg 2，x3y1，(x3y)24，当且仅当时，即x，y时取等号，所以A正确.答案A3.(2016山东济南质量调研)已知直线axby1经过点(1，2)，则2a4b的最小值为()A. B.2C.4 D.4解析因为直线axby1过点(1，2)，所以a2b1，则2a4b2a22b222.答案B4.(2014广东深圳模拟)已知a0，b0，则2的最小值是()A.2 B.2C.4 D.5解析22224.当
61、且仅当即ab1时，等号成立.因此2的最小值为4.答案C创新导向题与解析几何有关的基本不等式求最值问题5.圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析由题可知直线2axby20过圆心(1，2)，故可得ab1，又因ab(ab时取等号).故ab的取值范围是.答案A与函数有关的基本不等式求最值问题6.若2x2y1，则xy的取值范围是_.解析12x2y22，所以2xy22，所以xy2.答案(，2专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016安徽安庆第二次模拟)已知a0，b0，ab，则的最小值为() A.4 B.2C.8 D.16解析由ab有
62、ab1，则22.答案B二、填空题8.(2016山东北镇中学、莱芜一中，德州一中4月联考)若直线axby2(a0，b0)过圆x24x2y10的圆心，则ab的最大值为_.解析圆x2y24x2y10的圆心为(2，1)，代入直线方程得2ab2，因为22ab2，所以ab，当且仅当2ab，即a，b1时等号成立，所以ab取最大值为.答案9.(2015吉林市高三摸底)若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是_.解析由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案210.(2015山东济宁模拟)正数a，
63、b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析abab323，ab230，(3)(1)0，故30，即ab9，由a0，b0知，当且仅当ab3时等号成立.答案9，)创新导向题条件不等式求最值综合问题11.函数f(x)ax13(a0，且a1)的图象过一个定点P，且点P在直线mxny10(m0，n0)上，则的最小值是()A.12 B.13C.24 D.25解析函数f(x)ax13恒过点P(1，4)，m4n10，m4n1.(m4n)11625.答案D利用基本不等式求最值的条件应用问题12.已知1(m0，n0)，当mn取最小值时，双曲线1的离心率为()A. B.C. D.解析利用基本不等式求出当mn取得最小
64、值时m和n的值，从而得到双曲线的标准方程，由方程求离心率.因为12，所以mn8，当且仅当n2m4时，等号成立，所以双曲线的标准方程为1，则离心率为，故选C.答案C第五节推理与证明1.(2016新课标全国，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 的月份有5个解析由题意知，平均最高气温高于20 的六月，七月，八月，
65、故选D.答案D2.(2016新课标全国，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案1和33.(2014课标，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲
66、说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_.解析根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市，又知乙没去过C城市，故乙去过A城市.答案A1.(2016浙江，8)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()A.Sn是等差数列 B.S是等差数列C.dn是等差数列 D.d是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Sn
67、hn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hnh1|A1An|tan (其中为两条线所成的锐角，为定值)，从而Sn(h1|A1An|tan )|BnBn1|，Sn1(h1|A1An1|)|BnBn1|，则Sn1Sn|AnAn1|BnBn1|tan ，都为定值，所以Sn1Sn为定值，故选A.答案A2.(2016山东，12)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_.解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n1.答案n(n1)3.(2015陕西，16)观察下列等式111据
68、此规律，第n个等式可为_.解析等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且有前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.答案14.(2013陕西，13)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_.解析观察规律，等号左侧为(n1)(n2)(nn)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是13(2n1).答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)5.(2014福建，16)已知集合a，
69、b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_.解析可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，所以ab1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(2)若只有正确，则b2，a2，c0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确，则c0，a2，b2，所以b0，c1，所以100a10bc10021001201.答案2016.(2014山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0没有实根B.方程x3axb0至多有一个实根C.方程x3a
70、xb0至多有两个实根D.方程x3axb0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3axb0没有实根”.答案A7.(2016浙江，20)设函数f(x)x3，x0，1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)f(x).证明(1)因为1xx2x3，由于x0，1，有，即1xx2x3，所以f(x)1xx2.(2)由0x1得x3x，故f(x)x3xx，所以f(x).由(1)得f(x)1xx2，又因为f，所以f(x).综上，f(x).8.(2015四川，21)已知函数f(x)2xln xx22axa2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：
71、存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.(1)解由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2，当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增.(2)证明由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x，令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，则(1)10，(e)2(2e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0，令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)，由u(x)10知，函数u(
72、x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0，1)，当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0，再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xln x0，故x(0，)时，f(x)0，综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.9.(2015江苏，20)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明：2a1，2a2，2a3，
73、2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由.(1)证明因为2an1an2d(n1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，(2)解令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0).假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，则1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化简得t32t220(*)，且t2t1.
74、将t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，则t.显然t不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列.(3)解假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k).分别在两个等式的两边同除以a及a，并令t，则(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k).将上述两个等式两边取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3
75、k)ln(13t)2(n2k)ln(12t).化简得2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t)，且3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t).再将这两式相除，化简得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)(*).令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，则g(t).令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)，则(t)6(13t)ln(13t)2(12t)ln(12t)(1t)ln(1t).令1(t)(t)，则1(t)6
76、3ln(13t)4ln(12t)ln(1t).令2(t)1(t)，则2(t)0.由g(0)(0)1(0)2(0)0，2(t)0，知2(t)，1(t)，(t)，g(t)在和(0，)上均单调.故g(t)只有唯一零点t0，即方程(*)只有唯一解t0，故假设不成立.所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列.10.(2014天津，20)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n.(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，
77、i1，2，n.证明：若anbn，则st.(1)解当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3.可得，A0，1，2，3，4，5，6，7.(2)证明由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以，s0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.解析(1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1的和的3次方减
78、去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1(n1)3n，因此第4行第一个数为(41)34121，则第4个等式为：54121123125127129.(2)法一设数列an的公差为d1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc.法二(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，因为等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1，因为amn，所以bmn.答案(1)54121123125127129(2)点评关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的方法，进一步解决问
79、题即可. 综合法和分析法求解方略利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.综合法证题的思路【例2】 (1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.证明(1)由于x1，y1，所以要证明xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy
80、1)(x1)(y1).因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立.(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy.其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)成立知logablogbclogcalogbalogcblogac成立.点评分析法和综合法各有优缺点.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.反证法证明数学问题【示例】 (2013北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0，
81、1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.(1)解因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2.(2)证明假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OAB
82、C不可能为菱形.方法归纳1.反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题；(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.2.反证法证明步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题“pq”为真.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，3，能力题8.
83、专项基础测试模拟精选题一、选择题1.(2016吉林四校调研)设a、b、c都是正数，则a，b，c三个数()A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2解析利用反证法证明.假设三个数都小于2，则abc6，而abc2226，与假设矛盾.故选D.答案D2.(2015山东青岛模拟)定义AB，BC，CD，DB分别对应下列图形()那么下列图形中，可以表示AD，AC的分别是()A.(1)(2) B.(2)(3)C.(2)(4) D.(1)(4)解析由AB，BC知，B是大正方形，A是|，C是，由CD知，D是小正方形，AD为小正方形中有竖线，即(2)正确，AC为，即(4)正确.
84、故选C.答案C3.(2015广东佛山调研)设a、b、c、dR，若adbc，且|ad|bc|，则有()A.adbc B.adbcC.adbc D.adbc解析|ad|bc|(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，又adbc(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，4ad4bc，adbc，故选C.答案C4.(2015广州模拟)若数列an是等差数列，则数列bn(bn)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()A.dn B.dnC.dn D.dn解析若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；
85、若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故选D.答案D二、填空题5.(2015江西南昌二模)观察下面数表：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，设1 027是该表第m行的第n个数，则mn等于_.解析该数表的通项公式为ak2k1，由2k11 027得k514，所以1 027是第514个奇数，前m行共有12222m12m1个奇数，当m9时，2m1511，所以1 027是第10行的第3个数，所以mn13.答案13创新导向题圆与球的类比问题6.半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看做(0，)上的变
86、量，则(r2)2r，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看做(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，此式可用语言叙述为_.解析球的体积函数的导数等于球的表面积函数根据类比推理可得结论.答案4R2三角形与三棱锥的类比问题7.在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_.解析在立体几何中一般面积类比体积，边类比面.观察比例式的特点，右侧为ABC的角C的内角平分线CE两邻边之比，在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB，因此.答案专
87、项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2016河南六市联考)给出下列两种说法：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以错误；对于，其假设正确.答案D9.(2015石家庄二中一模)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛，其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是() A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析若甲获奖了，则四位同学说的都是错的，不符合题意；若乙获奖了，则甲、乙、丁说的是对的，丙说的是错的，不符合题意；若丙获奖
88、了，则甲、丙说的是对的，乙、丁说的是错的，符合题意；若丁获奖了，甲、丙、丁说的都是错的，乙说的是对的，不符合题意.综上所述，丙获奖了，故选C.答案C10.(2014辽宁大连检测)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab).若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为mn，则可推算出：EF，用类比的方法，推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设OAB，ODC的面积分别为S1，S2，则OEF的面积S0与S1，S2的关系是()A.S0B.S0C.D.解析在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质
89、类比推理面积的性质.故由EF类比到关于OEF的面积S0与S1，S2的关系是.答案C二、解答题11.(2015洛阳统考)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.d2，故an2n1，Snn(n).(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，(pr)20.pr.与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.创新导向题代数式的归纳推理问题12.对于实数x，x表示不超过x的最大整数，观察下列等式：31021按照此规律第n个等式的等号右边的结果为_.解析因为13，25，37，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n1)，即2n2n.答案2n2n代数式的类比推理问题13.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可所得100的所有正约数之和为_.解析类比36的所有正约数之和的方法有：因为1002252，所以100的所有正约数之和为(1222)(1552)217.答案217
