1、 理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D2. 为虚数单位，则（ ）A B -1 C D13.已知，则（ ）A B C D4.执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是（ ）A 120 B720 C. 1440 D50405.如图，在长方体中，则与平面所成的角的正弦值为（ ）A B C. D6.如果函数的图象关于点成中心对称，那么的最小值为（ ）A B C. D7.已知数列满足，则（ ）A B C. D8.已知关于的函数，若点是区域内的随机点，则函数在上有零点的
2、概率为（ ）A B C. D9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；在以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 532 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A 0.35 B 0.25 C. 0.30 D0.2010.已知斜率为3的直
3、线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A B C. 2 D11.若，则在中，正数的个数是（ ）A 143 B 286 C. 1731 D200012.定义在上的函数满足，且当时，有，则（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量与的夹角为，且，则 14. 的展开式中常数项为 （用数字作答）15.已知是等差数列的前项和，若，则 16.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的面积是30，内角所对边长分别为，.（1）求
4、；（2）若，求的值.18.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，.（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.19.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择10月1日至10月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20.已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点
5、的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21.已知函数，.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若恰有一个解，求的值；（3）若恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知圆和圆相交于两点，过点圆的切线交于圆于点，连接并延长交圆于点，直线交圆于点.（1）当点与点不重合时，（如图1），证明：；（2）当点与点重合时，（如图2），若，求圆的直径长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线过点，斜率为，直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求
6、：（1）点的坐标；（2）线段的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求.试卷答案一、选择题CCCAD DBBCA CC二、填空题13、； 14、1820； 15、； 16、。三、解答题17、解析：由，得。又，所以。 4分又因为，所以。 12分18、（1）证明：过点作交于，连结， 可得四边形为矩形，又为矩形， 所以，从而四边形为平行四边形， 故因为平面，平面， 所以平面（2）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而于是 因为，所以当为时，二面
7、角的大小为方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：， ， 所以，从而， 所以平面因为平面，所以平面平面 故平面（）解：因为， 所以，从而 解得所以， 设与平面垂直，则， 解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为19、解析：设表示事件“此人于10月日到达该市”。根据题意，且。 2分（1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则。 所以。 2分（2）由题意可知，的所有可能取值为，且， 4分，6分。 8分所以的分布列为： 故的数学期望。 10分（3）从10月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 12分20.解：（1）依题意，由已知得，
8、则，由已知易得，所以，所以椭圆的方程为。 4分（2）当直线的斜率不存在时，不妨设，则为定值。 6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，依题意知，直线与椭圆必相交于两点，设，则，又， 8分所以，综上，得为定值2. 12分21、解：（1）因为，所以。又，所以。所以函数在点处的切线方程为。 2分（2）因为，令，得。当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 故。 当时，即时，最大值点唯一，符合题意； 当时，即时，恒成立，不符合题意； 当时，即时，； 又（易证当时，），则有两 个零点，不符合题意。综上，当恰有一个解时。 7分（3）若恒成立，只需研究的情况。 由，得，令，得。 所以当时，函数单调递
9、减； 当时，函数单调递增； ， 10分 由（2）知在时，此时显然成立。 当时，只需， 即。 综上可得，实数的取值范围为。 12分22、解：（1）连接，在的延长线上取点，如图所示。 因为是的切线，切点为，所以， 1分 因为，所以， 因为是内接四边形的外角，所以，所以，所以， 3分 因为，所以。 5分（2）当点与点重合时，直线与相切。 在的延长线上取点，在的延长线上取点，连接，如图所示， 由线切线定理知：，又， 所以， 所以与分别为和的直径。 8分 由切割线定理知：，而， 所以， 所以的直径为。 10分23、解：（1）因为直线过点，斜率为，设直线的倾斜角为， 则， 所以直线的参数方程的标准形式为：（为参数） 因为直线和抛物线相交，所以将直线的参数方程代入抛物线方程中， 整理得。 由根与系数的关系得， 因为中点所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程的标准形式中，得即。（2）。24、解：（）当时，可化为， 或. 由此可得或. 故不等式的解集为.5分（）法一：（从去绝对值的角度考虑）由,得,此不等式化等价于或 解之得或因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故.10分法二：（从等价转化角度考虑）由,得,此不等式化等价于,即为不等式组,解得因为,所以不等式组的解集为,由题设可得,故10分
