1、提能拔高限时训练59 导数的综合应用一、选择题1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：y|x=1=(x2+2x+1)(x-1)|x=1=(x3+x2-x-1)|x=1=(3x2+2x-1)|x=1=4.答案：D2.函数y=-3x4+6x2-1在-2,2上的最大值为( )A.-1 B.0 C.-25 D.2解析：y=-12x(x-1)(x+1),令y=0,得x=0,x=-1,x=1.由y|x=-2=-25,y|x=2=-25,y|x=0=-1,y|x=1=2,y|x=-1=2,故y在-2,2上的最大值为2.答案：D3.函数y=x-ln(1+
2、x)的单调增区间为( )A.(-1,0) B.(-1,+) C.(0,+) D.(1,+)解析：y的定义域为(-1,+),令y=0,得x=0,列表讨论如下：x(-1,0)0(0,+)y-0+y极小值从上表可知,y在(0,+)内单调递增,即单调增区间为(0,+).答案：C4.函数y=1+3x-x3有( )A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值3解析：y=3-3x2,令y=0,得x=1,x变化时,y与y的变化列表如下：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)y-0+0-y减函数极小值-1增函数极大值3减函数故x=-1时,y有极小值-1;
3、x=1时,y有极大值3,选D.答案：D5.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )A.6 B.8 C.10 D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为V cm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0x24),V=12(24-x)(8-x).令V=0,则在(0,24)内有x=8.故当x=8时,V有最大值.答案：B6.已知函数f(x)=2x3-6x+m(m是常数),在-2,2上有最大值3,那么在-2,2上的最小值为( )A.-37 B.-29 C
4、.-5 D.-11解析：由f(x)=6(x2-1)=6(x+1)(x-1)=0,得x=-1或1.f(-2)=-4+m,f(-1)=4+m,f(1)=-4+m,f(0)=m,f(2)=4+m,知4+m=3,即m=-1,所求最小值为-4+m=-5.答案：C7.已知两函数y=f(x)=3x4,y=g(x)=4x3.若它们的图象有公共点,且在公共点处的切线重合,则切线的斜率为( )A.0 B.12 C.0或12 D.4或1答案：C8.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若f(m)=-1,则m的值是(
5、 )A.-e B. C.e D.解析：由题意,知g(x)=lnx,f(x)=ln(-x),则由f(m)=-1,得ln(-m)=-1=lne-1,选B.答案：B9.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )解析：因为y=f(x),y=g(x)的导数大于零,因此,y=f(x),y=g(x)单调递增.又y=f(x),y=g(x)的导数表示曲线y=f(x)与y=g(x)的曲线上任一点切线的斜率,而y=f(x)是单调递减的,故y=f(x)增得慢,y=g(x)是单调递增的,故y=g(x)增得快,排除A、C,又g(x0)=f(x0),即y=f(x
6、)与y=g(x)在x0处的切线是平行的,排除B.答案：D10.设aR,若函数y=eax+3x,xR有大于零的极值点,则( )A.a-3 B.a-3 C.a- D.a-解析：,.设x=x0为大于0的极值点,.a0,ax00.0eax01,即.a-3.答案：B二、填空题11.f(x)=(x-1)(x-2)(x-100),则f(1)=_.解析：f(x)=(x-2)(x-3)(x-100)+(x-1)(x-3)(x-4)(x-100)+(x-1)(x-2)(x-99),f(1)=(-1)(-2)(-3)(-99)=-99!.答案：-99!12.面积为S的所有矩形中,其周长最小的是_.解析：设矩形的一边
7、长为x,则另一边长为,周长为,令f(x)=0得.易知,当时,f(x)有极小值,也就是最小值.答案：以为边的正方形13.函数y=a+(b-x)4的极小值为_.解析：y=-4(b-x)3,令y=0得x=b,而在x=b左侧y0,右侧y0,所以y在x=b处有极小值,y|x=b=a+(b-b)4=a.答案：a14.y=xne-x(n0,x0)的单调增区间为_.解析：y的定义域为0,+),y=nxn-1e-x-xne-x=xn-1e-x(n-x),令y=0得x1=0和x2=n .列表讨论：x0,n)(n,+)y+-y从上表可知,y在0,n)内单调递增.答案：0,n)三、解答题15.设,(1)求函数f(x)
8、的单调递增,递减区间;(2)当x-1,2时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.解：(1)令f(x)=3x2-x-20,得或x1,则f(x)0的解为,函数f(x)的单调递增区间为(-,),(1,+),单调递减区间为(,1).(2)原命题等价于f(x)在-1,2上的最大值小于m,由f(x)=0,得或1.又,f(2)=7.m7.16.(2009四川资阳模拟，21)已知函数f(x)=lnx-x2+x+2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a0，求f(x)在区间(0,a上的最大值.解：(1)f(x)=lnx-x2+x+2,其定义域为(0,+)，.x0,当0x1时,f(x)0;当x1时,f(x)
9、0.故函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+).(2)由(1)知,函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+).当0a1时,f(x)在区间(0,a上单调递增,f(x)的最大值f(x)max=f(a)=lna-a2+a+2;当a1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,则f(x)在x=1处取得极大值,也即该函数在(0,a上的最大值,此时f(x)的最大值f(x)max=f(1)=2;f(x)在区间(0,a上的最大值教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的
10、最小值是.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=lnx-f(x)f(x),求g(x)的最大值及相应的x值;(3)对任意正数x,恒有,求实数m的取值范围.解：(1)由二次函数图象的对称性,可设,又f(0)=0,a=1,故f(x)=x2-x.(2)f(x)=2x-1,g(x)=lnx-(x2-x)(2x-1)=lnx-2x3+3x2-x,则.g(x)的定义域为(0,+),.当0x1时,g(x)0;当x=1时,g(x)=0;当x1时,g(x)0.g(x)在(0,1上是增函数,在1,+)上是减函数.当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=0.(3)由(1),知,不等式,可化为.x0,(当且仅当x
11、=1时取“=”).设(t2),不等式可化为t2-2-ttlnm,.由已知,不等式对t2恒成立.在2,+)上是增函数,的最小值为.lnm0.0m1.【例2】已知函数f(x)=x2+2x+alnx.(1)若函数f(x)在区间(0，1上恒为单调函数，求实数a的取值范围；(2)当t1时，不等式f(2t-1)2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)由f(x)=x2+2x+alnx求导数,得.f(x)在(0，1上恒为单调函数，只需f(x)0或f(x)0在(0，1上恒成立.只需2x2+2x+a0或2x2+2x+a0恒成立,即只需a-(2x2+2x)或a-(2x2+2x)在(0，1上恒成立.又记g(x)=-2x(x+1),0x1,可知-4g(x)0.a的取值范围为a0或a-4.(2)f(x)=x2+2x+alnx,由f(2t-1)2f(t)-3,得(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)2(t2+2t+alnt)-3.化简,得.t1时，有t22t-1,则.构造函数m(x)=ln(1+x)-x(x-1)，求导数得,则m(x)在x=0时取得极大值,同时也是最大值.故m(x)m(0).从而ln(1+x)x在x-1上恒成立.在t1时恒成立，而t=1时式取等号.在t1时恒成立.因此由可知实数a的取值范围为a2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
