1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696第 1 讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2016全国卷)若将函数 y2sin2x6 的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A.y2sin2x4B.y2sin2x3C.y2sin2x4D.y2sin2x
2、3解析 函数 y2sin2x6 的周期为，将函数 y2sin2x6 的图象向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y2sin2x4 6 2sin2x3，故选 D.答案 D2.(2016全国卷)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示，则()A.y2sin2x6B.y2sin2x3C.y2sinx6D.y2sinx3解析 由图可知，T236，所以 2，由五点作图法可知 232，所以 6，所以函数的解析式为 y2sin2x6，故选 A.答案 A高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ23553946963.(2016全国卷)函数 f(x)cos 2x6cos2
3、x 的最大值为()A.4 B.5C.6 D.7解析 由 f(x)cos 2x6cos2x 12sin2x6sin x2sin x322112，所以当sin x1 时函数的最大值为 5，故选 B.答案 B4.(2016江苏卷)定义在区间 0，3上的函数 ysin 2x 的图象与 ycos x 的图象的交点个数是_.解析 在区间 0，3上分别作出 ysin 2x 和 ycos x 的简图如下：由图象可得两图象有 7 个交点.答案 7考 点 整 合1.常用三种函数的易误性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在22k，22k(kZ)上单调递增；在22k，32 2k(kZ)上单调递减在2
4、k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对称中心：2k，0(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：k2，0(kZ)2.三角函数的常用结论高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(1)yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk2(kZ)求得.(2)yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，当 k(kZ
5、)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换 热点一 三角函数的图象微题型 1 三角函数的图象变换【例 11】(2016长沙模拟)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为512，0，求 的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050且函数表达式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6，得 g(x)5sin2x26.因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x26k，解得 xk2 12，
6、kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，令k2 12512，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.微题型 2 由三角函数图象求其解析式【例 12】函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则 f3 的值为_.解析 根据图象可知，A2，3T4 1112 6，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ235539
7、4696所以周期 T，由 2T 2.又函数过点6，2，所以有 sin26 1，而 0.所以 6，则 f(x)2sin2x6，因此 f3 2sin23 6 1.答案 1探究提高 已知图象求函数 yAsin()x(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练 1】(2016安徽“江南十校”联考)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|2)的部分图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)将函数 yf(x)的图象上各
8、点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移6个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，8 上的最小值.解(1)设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知A1，T223 62，即 T，所以 2，解得 2，故 f(x)sin(2x).由 0sin26 可得3k，kZ，即 k3，kZ，因为|2，所以 3，故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin2x3.(2)根据条件得 g(x)sin4x3，当 x0，8 时，4x33，56，所以当 x8时，g(x)取得最小值，且 g(x)min12.热点二 三角函数的性质高考资源网（）您身边的高考专家 版权
9、所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696微题型 1 由三角函数的性质求参数【例 21】(1)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D.(0，2(2)设函数 f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0).若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23 f6，则 f(x)的最小正周期为_.解析(1)由 2k2x42k32，kZ，且 0，得12k4 x12k54，kZ.取 k0，得 4x54，又 f(x)在2，上单调递减，42，且 54，解之得1254.(2)由 f(x)在6，2 上具有单调性
10、，得T22 6，即 T23；因为 f2 f23，所以 f(x)的一条对称轴为 x2232712；又因为 f2 f6，所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为262 3.所以14T71234，即 T.答案(1)A(2)探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.微题型 2 考查三角函数的对称性、单调性【例 22】(2016大理 5 月模拟)已知函数 f(x)sin(x)3cos(x)0，0|2 为奇函数，且函数 yf(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为2.(1)求 f6 的值；高考资源网（
11、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)将函数 yf(x)的图象向右平移6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)的单调递增区间.解(1)f(x)sin(x)3cos(x)212sin（x）32 cos（x）2sinx3.因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)2sin3 0，又 0|2，可得 3，所以 f(x)2sin x，由题意得2 22，所以 2.故 f(x)2sin 2x.因此 f6 2sin 3 3.(2)将 f(x)的图象向右平移6个单位后，得到 fx6 的图象，所以 g(x)fx6 2sin2x62sin2x3.当 2
12、k22x32k2(kZ)，即 k 12xk512(kZ)时，g(x)单调递增，因此 g(x)的单调递增区间为k 12，k512(kZ).探究提高 对于函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的求解，其基本方法是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当 A0，0 时，需先利用诱导公式变形为 yAsin(x)，则 yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.微题型 3 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例 23】(2016张家界模拟)设函数 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2
13、x(xR)的图象关于直线 x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)在 x0，2 上的值域.解(1)因为 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2xcos 2x 3sin 2x2sin2x6，由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得sin26 1，所以 26k2(kZ)，即 k213(kZ).又 12，1，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)的图象
14、过点4，0，得 f4 0，即 2sin5626 2sin4 2，即 2.故 f(x)2sin53x6 2，x0，2，53x66，23，函数 f(x)的值域为1 2，2 2.探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为 yAsin(x)B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于 sin x 或 cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练 2】(2016山东卷)设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到
15、的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g6 的值.解(1)f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)22 3sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1sin 2x 3cos 2x 312sin2x3 31.由 2k22x32k2(kZ)，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696得 k 12xk512(kZ).所以 f(x)的单调递增区间是k 12，k512(kZ)或k 12，k512（kZ）.(2)由(1)知 f(x)2sin2x3 31，把 yf(x)的图象上所有点的横坐
16、标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变).得到 y2sinx3 31 的图象.再把得到的图象向左平移3个单位，得到 y2sin x 31 的图象，即 g(x)2sin x 31.所以 g6 2sin 6 31 3.1.已知函数 yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，Bymaxymin2.(2)由函数的周期 T 求，2T.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比 ysin x 的性质，只需将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”，采用整体代入求解.(1)令 xk2(kZ)，可求得对称轴方程；(2)令 xk
17、(kZ)，可求得对称中心的横坐标；(3)将 x 看作整体，可求得 yAsin(x)的单调区间，注意 的符号.3.函数 yAsin(x)B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 yAsin(x)B(一角一函数)的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696一、选择题1.要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A.向左平移 12个单位B.向右平移 12个单位
18、C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位解析 ysin4x3 sin4x 12，要得到 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位.答案 B2.函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图所示，则将 yf(x)的图象向右平移6个单位后，得到的图象的解析式为()A.ysin 2xB.ycos 2xC.ysin 2x23D.ysin2x6解析 由图象知 A1，34T1112 634，T，2，由 sin26 1，|2得326f(x)sin2x6，则图象向右平移6个单位后得到的图象的解析式为 ysin2x6 6 sin2x6.答案 D3.把函数 ysi
19、nx6 图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()A.x2B.x4C.x8D.x4解析 由题意知 ysin2x3 6 sin2x2 cos 2x，验证可知 x2是所得图象的一条对称轴.答案 A高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ23553946964.函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为()A.k14，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ解析 由图象知T254141，T2.由 1422k，kZ，
20、不妨取 4，f(x)cosx4，由 2kx42k，kZ.得 2k14x2k34，kZ.D 正确.答案 D5.(2016唐山期末)已知函数 f(x)sin x 3cos x(0)，f6 f2 0，且 f(x)在区间6，2 上递减，则()A.3 B.2 C.6 D.5解析 f(x)2sinx3，f6 f2 0.当 x622 3时，f(x)0.33k，kZ，3k1，kZ，排除 A、C；又 f(x)在6，2 上递减，把 2，5 代入验证，可知 2.答案 B二、填空题6.(2016兰州模拟)若将函数 f(x)sin2x4 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是_.解析 f(x
21、)sin2x4右平移g(x)sin2（x）4 sin2x42，关于 y 轴对称，即函数 g(x)为偶函数，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696则42k2(kZ)，k28(kZ)，显然，k1 时，有最小正值2838.答案 387.函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图所示，若 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)_.解析 观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x).将6，0 代入上式得 sin3 0，由已知得 3，故 f(x)sin2x3.函数图象的对称轴为 x632 12.又 x1
22、，x26，3，且 f(x1)f(x2)，f(x1x2)f2 12 f6sin263 32.答案 328.(2015天津卷)已知函数 f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数 yf(x)的图象关于直线 x 对称，则 的值为_.解析 f(x)sin xcos x 2sinx4，因为 f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线 x 对称，所以 f()必为一个周期上的最大值，所以有 42k2，kZ，所以 242k，kZ.又()22，即 22，即 24，所以 2.答案 2三、解答题9.已知函数 f(x)4sin3xcos x2sin xcos x1
23、2cos 4x.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求 f(x)在区间0，4 上的最大值和最小值.解 f(x)2sin xcos x()2sin2x1 12cos 4xsin 2xcos 2x12cos 4x12sin 4x12cos 4x 22 sin4x4.(1)函数 f(x)的最小正周期 T24 2.令 2k24x42k32，kZ，得k2 16xk2 516，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k2 16，k2 516，kZ.(2)因为 0 x4，所以44x454.此时 2
24、2 sin4x4 1，所以 22 22 sin4x4 12，即 22 f(x)12.所以 f(x)在区间0，4 上的最大值和最小值分别为12，22.10.(2016陕西八校联考)设函数 f(x)sin2x3 33 sin2x 33 cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在区间6，3 上的值域.解(1)f(x)12sin 2x 32 cos 2x 33 cos 2x12sin 2x 36 cos 2x 33 sin2x6.所以 f(x)的最小正周期为 T22.令 2x6k2(kZ)，
25、得对称轴方程为 xk2 6(kZ)，(2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696得到函数 g(x)33 sin2x3 6 33 cos 2x 的图象，即 g(x)33 cos 2x.当 x6，3 时，2x3，23，可得 cos 2x12，1，所以 33 cos 2x 33，36，即函数 g(x)在区间6，3 上的值域是 33，36.11.(2016贵州七校联考)已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图象过点12，3 和点23，2.(1)求
26、 m，n 的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间.解(1)由题意知 f(x)abmsin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图象经过点12，3 和23，2，所以 3msin6ncos 6，2msin43 ncos43，即 312m 32 n，2 32 m12n，解得 m 3，n1.(2)由(1)知 f(x)3 sin 2xcos 2x2sin2x6.由题意知 g(x)f(x)2sin2x26.设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知 x20
27、11，所以 x00，即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2).将其代入 yg(x)得 sin26 1，因为 0，所以 6.因此 g(x)2sin2x2 2cos 2x.由 2k2x2k，kZ，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696得 k2xk，kZ，所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ.第 2 讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角
28、”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C.2 D.3解析 由余弦定理，得 5b2222b223，解得 b3b13舍去，故选 D.答案 D2.(2016全国卷)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _.解析 由题意，得 cos4 45，tan4 tan42 sin42cos42cos4sin443.答案 433.(2016全国卷)ABC 的内角
29、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C 513，a1，则 b_.解析 在ABC 中由 cos A45，cos C 513，可得 sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A 2113.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696答案 21134.(2016浙江卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若 cos B23，求 cos C
30、的值.(1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB).又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB，因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B.(2)解 由 cos B23及 B 是ABC 一内角得 sin B 53，cos 2B2cos2B119，故 cos A19，又 A 是ABC 一内角，所以 sin A4 59，故 cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B2227.考 点 整 合1.三角函数公式(
31、1)同角关系：sin2cos21，sin cos tan.(2)诱导公式：对于“k2，kZ 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin；cos()cos cos sin sin；tan()tan tan 1tan tan.(4)二倍角公式：sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asin A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R 为ABC 外接圆的半径).变形：a2R
32、sin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab；变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABC12absin C12acsin B12bcsin A.
33、热点一 三角恒等变换及应用微题型 1 求 值【例 11】(1)(2016全国卷)若 tan 13，则 cos 2()A.45B.15C.15D.45(2)(2016成都模拟)sin()53 且，32，则 sin22()A.63B.66C.66D.63(3)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_.解析(1)tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.(2)sin()sin 53，又，32，cos 1sin21 53223.由 cos 2cos221，22，34，得 cos 2cos 12 66.所以 sin2
34、2 cos 2 66.(3)sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2，又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696原式2（2）1（2）21 1.答案(1)D(2)B(3)1探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题
35、要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.微题型 2 求 角【例 12】(2016中山模拟)已知 cos(2)1114，sin(2)4 37，042，则 _.解析 因为 cos(2)1114，且42，所以 sin(2)5 314.因为 sin(2)4 37，且422.所以 cos(2)17，所以 cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)1114175 314 4 37 12.又434，所以 3.答案 3探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值
36、，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.【训练 1】(1)已知 sin 223，则 cos24()A.16B.13C.12D.23高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2 等于()A.43B.34C.34D.43解析(1)法一 cos24 121cos2212(1sin 2)16.法二 cos4 22 cos 22 sin.所以 cos24 12(cos sin)212(12sin cos)12(1sin 2)16.(2)sin 2cos 102，sin24sin cos
37、 4cos252.用降幂公式化简得 4sin 23cos 2，tan 2sin 2cos 234.故选 C.答案(1)A(2)C热点二 正、余弦定理的应用微题型 1 三角形基本量的求解【例 21】(2016四川卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cos Aacos Bbsin Cc.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2c2a265bc，求 tan B.(1)证明 根据正弦定理，可设 asin A bsin Bcsin Ck(k0).则 aksin A，bksin B，cksin C.代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksi
38、n Acos Bksin B sin Cksin C，变形可得：sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696所以 sin Asin Bsin C.(2)解 由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35.又 0A，所以 sin A 1cos2A45.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以45sin B45cos B35sin B
39、，故 tan Bsin Bcos B4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.微题型 2 求解三角形中的最值问题【例 22】(2016郑州模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 acos C 3asin Cbc0.(1)求 A；(2)若 a2，求
40、ABC 面积的最大值.解(1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0.因为 BAC，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知 sin C0，所以 3sin Acos A1，所以 sinA6 12.又 0A，所以 A3.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)法一 由(1)得 BC23 C23 B0B23，由正弦定理得 asin A bsin Bcsin C 2sin 3 43，所以 b 43sin B，c 43sin C.所以
41、SABC12bcsin A12 43sin B 43sin Csin 34 33 sin Bsin C4 33 sin Bsin23 B 4 33 32 sin Bcos B12sin2B sin 2B 33 cos 2B 33 2 33sin2B6 33.易知62B676，故当 2B62，即 B3时，SABC 取得最大值，最大值为2 33 33 3.法二 由(1)知 A3，又 a2，由余弦定理得 22b2c22bccos 3，即 b2c2bc4bc4b2c22bcbc4，当且仅当 bc2 时，等号成立.所以 SABC12bcsin A12 32 bc 34 4 3，即当 bc2 时，SABC
42、 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将待求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将待求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.微题型 3 解三角形与三角函数的综合问题【例 23】(2016成都诊断)已知向量 m(2sin x，cos2xsin2x)，n(3cos x，1)，其中 0，xR.若函数 f(x)mn 的最小正周期为.(1)求 的值；(2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BABC的值.解(1)f(x)mn2 3sin xcos xcos2xsin2x 3sin 2xcos 2x2
43、sin2x6.f(x)的最小正周期为，T 22|.0，1.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696(2)设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.f(B)2，2sin2B6 2，即 sin2B6 1，解得 B23(B(0，).BC 3，a 3，sin B 3sin A，b 3a，b3.由正弦定理，有3sin A3sin 23，解得 sin A12.0A3，A6.C6，ca 3.BABCcacos B 3 3cos 23 32.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；
44、解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练 2】(2016衡水大联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 accos B3asin(AB).(1)若ba 3，求角 C；(2)在(1)的条件下，若ABC 的面积为 3，求 c 的值.解(1)accos B3asin(AB)，又 asin A bsin Bcsin C，sin Asin Ccos B3sin Asin C，即 sin(BC)sin Ccos B3sin Asin C，sin Bcos Ccos Bsin Csin Ccos B3sin Asin C.故 sin Bcos C3sin Asin
45、 C，sin B3sin Atan C，又ba 3，tan C sin B3sin A b3a 33，又0C，C6.(2)SABC12absin C 3，由(1)知ba 3，C6，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696 34 a2 3，a2，b 3a2 3，由余弦定理得 c2a2b22abcos C，即 c2412222 3 32 4，c2.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认
46、真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S12absin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理
47、求出所需的边或角.一、选择题1.已知 2，sin4 35，则 cos 等于()A.210B.7 210C.210或7 210D.7 210解析 2，434，54.sin4 35，cos4 45，cos cos4 4cos4 cos 4sin4 sin 445 22 35 22 210.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696答案 A2.钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A.5 B.5C.2 D.1解析 SABC12ABBCsin B121 2sin B12，sin B 22，若 B45，则由余弦定理得 AC1
48、，ABC 为直角三角形，不符合题意，因此 B135，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos B1221 2 22 5，AC 5.故选 B.答案 B3.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()A.3 B.9 32C.3 32D.3 3解析 c2(ab)26，即 c2a2b22ab6.C3，由余弦定理得 c2a2b2ab，由和得ab6，SABC12absin C126 32 3 32，故选 C.答案 C4.(2016山东卷)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，则
49、 A()A.34B.3C.4D.6解析 在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A4，故选 C.答案 C5.(2016全国卷)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则 sin A()A.310B.1010C.55D.3 1010解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B4，BD13BC，DC23BC，tanBAD1，tanCAD2，tan A 121123，所以 sin A3 1010.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
50、 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696答案 D二、填空题6.(2016四川卷)sin 750_.解析 sin sin(k360)，(kZ)，sin 750sin(236030)sin 3012.答案 127.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.解析 在ABC 中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得BCsin BACABsin ACB，即 BCsin 30 600sin 45，所以 BC300 2
51、.在 RtBCD 中，CBD30，CDBCtanCBD300 2tan 30100 6.答案 100 68.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14，则 a 的值为_.解析 cos A14，0A，sin A 154，SABC12bcsin A12bc 154 3 15，bc24，又 bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222414 64，a8.答案 8三、解答题9.(2016江苏卷)在ABC 中，AC6，cos B45，C4.(1)求 AB 的长；(2)cosA6 的值.高
52、考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696解(1)由 cos B45，且 0B，则 sin B 1cos2B35，又C4，AC6，由正弦定理，得 ACsin B ABsin 4，即635AB22AB5 2.(2)由(1)得：sin B35，cos B45，sin Ccos C 22，则 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C7 210，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)210，则 cosA6 cos Acos6sin Asin67 2 620.10.(2016广西南宁测试)在ABC
53、中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A3cos(BC)1.(1)求角 A 的大小；(2)若ABC 的面积 S5 3，b5，求 sin Bsin C 的值.解(1)由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A12或 cos A2(舍去)，因为 0A，所以 A3.(2)由 S12bcsin A12bc32 34 bc5 3，得 bc20，又 b5，知 c4，由余弦定理得 a2b2c22bccos A25162021，故 a 21.又由正弦定理得 sin Bsin Cbasin Acasin
54、 Abca2sin2A20213457.11.(2016南昌调研)ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又 A(BC)，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 诚招驻站老师，联系 QQ2355394696故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.(2)ABC 的面积 S12acsin B 24 ac.由已知及余弦定理得 4a2c22accos 4.又 a2c22ac，故 ac42 2，当且仅当 ac 时，等号成立.因此ABC 面积的最大值为 21.
