1、专题四综合测试题(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数 f(x)lgsin42x 的一个增区间为()A.38，78 B.78，98C.58，78D.78，38解析：由 sin42x 0，得 sin2x4 0，2k2x422k，kZ；又 f(x)lgsin42x 的增区间即 sin42x 在定义域内的增区间，即 sin2x4 在定义域内的减区间，故 2k2x432 2k，kZ.化简得58 kx78 k，kZ，当 k0 时，58 x0)的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心
2、为()A(13，0)B(3，0)C.13，0D(0,0)解析：f(x)2sinax3(a0)，T2a 1，a2，f(x)2sin2x3，由 2x3k，kZ，得 xk216，kZ，当 k1 时，x13，故13，0 是其一个对称中心，故选 C.答案：C3已知函数 f(x)asinxacosx(a0)的定义域为0，最大值为 4，则 a 的值为()A 3B2 2C 2D4解析：f(x)asinxacosx 2asinx4，当 x0，时，x44，54，sinx4 22，1，由于 a0，0,0b，AB，B45.故选 C.答案：C6在ABC 中，cos2A2bc2c(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边
3、)，则ABC 的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：cos2A2bc2c，1cosA2bc2c，1b2c2a22bcbcc，化简得 a2b2c2，故ABC 是直角三角形故选 B.答案：B7在ABC 中，若角 A，B，C 成公差大于 0 的等差数列，则cos2Acos2C 的最大值为()A.12B.32C2 D不存在解析：角 A，B，C 成等差数列，AC2B，又 ABC180，B60，AC120.cos2Acos2C1cos2A21cos2C2112(cos2Acos2C)112cos(2402C)cos2C112cos(2C60)60C120，1802
4、C60300，12112cos(2C60)54，即 cos2Acos2C 的最大值不存在，故选 D.答案：D8关于 x 的方程 cos2xsin2x2k 在0，2 内有两个不同的实数解，则 k 的取值范围是()A.12，22 B.12，22C.12，22D.12，22解析：由 cos2xsin2x2k，得 k12(cos2xsin2x)22 sin2x4，当 x0，2 时，2x44，54，12 22 sin2x4 22.数形结合可知，当12k 22 时，方程有两个不同的实数解故选 A.答案：A9在梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|DC|，设ABa，ADb，则AC()AabBabC.1ab
5、Da1b解析：ACADDCb1ABb1a.故选 C.答案：C10设 a32，sin，bcos，13，若 ab，则锐角 为()A30 B45C60 D75解析：ab，3213sincos0，即 sin21，由于 为锐角，故 020，0，点 P 满 足 OP OA AB|AB|AC|AC|，OP OBBA|BA|BC|BC|，则点 P 是ABC 的()A外心B内心C垂心D重心解析：OPOAAB|AB|AC|AC|，OPOAAB|AB|AC|AC|，即APAB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|与 AC|AC|分别是AB与AC方向上的单位向量，故 AB|AB|AC|AC|的方向与BAC 的平分线的
6、方向相同，又 0，故AB|AB|AC|AC|与BAC 的平分线的方向相同，所以点 P 在BAC的平分线上同理，点 P 在ABC 的平分线上，故点 P 是ABC 的内心选 B.答案：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填在题中的横线上13(2011福建)如图，ABC 中，ABAC2，BC2 3，点D 在 BC 边上，ADC45，则 AD 的长度等于_解析：在ABC 中，cosC12BCAC 32，C30，由 ADsinCACsinADC，ADACsinADCsinC 22212 2.答案：214(2011安徽)已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差
7、为 4 的等差数列，则ABC 的面积为_解析：设三边长为 a，a4，a8，则 120角所对边长为 a8，由余弦定理得(a8)2a2(a4)22a(a4)cos120，化简得 a22a240，解得 a6 或 a4(舍去)三角形面积 S12a(a4)sin12015 3.答案：15 315(2011课标)在ABC 中，B60，AC 3，则 AB2BC的最大值为_解析：由正弦定理，ABsinC BCsinA 3322，得 AB2sinC，BC2sinA，则 AB2BC2sinC4sinA2sin(18060A)4sinA 3 cosA5sinA2 7sin(A)，其中 tan 35(为锐角)，故当
8、A2时，AB2BC 取最大值 2 7.答案：2 716(2011上海)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A、C 两点之间的距离为_千米解析：如图，C180756045.由正弦定理，2sin45ACsin60.得 AC 6.答案：6三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)(2011山东)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cosA2cosCcosB2cab.(1)求sinCsinA的值；(2)若 cosB14，b2，求ABC 的面积 S.解：(1)由正弦定
9、理，设 asinA bsinB csinCk，则2cab2ksinCksinAksinB2sinCsinAsinB.所以cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以 sinC2sinA.因此sinCsinA2.(2)由sinCsinA2 得 c2a.由余弦定理 b2a2c22accosB 及 cosB14，b2，得 4a24a24a214解得 a1，从而 c2又因为 cosB14，且 0B，所以 sinB 154.因此 S12acsinB1212 154 154.18
10、(本小题满分 12 分)(2011全国)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知AC90，ac 2b，求 C.解：由 AC90，得 A 为钝角且 sinAcosC，利用正弦定理，ac 2b 变形为 sinAsinC 2sinB，即有 sinAsinCcosCsinC 2sinC4 2sinB，又 A，B，C 是ABC 的内角，故 C4B，所以 ABC2C C4 CC 12.19(本小题满分 12 分)(2011江苏)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 sinA6 2cosA，求 A 的值；(2)cosA13，b3c，求 sinC 的值解：(1)由
11、题设知 sinAcos6cosAsin62cosA，从而 sinA 3cosA，所以 cosA0，tanA 3.因为 0A，所以 A3.(2)由 cosA13，b3c 及 a2b2c22bccosA，得 a2b2c2.故ABC 是直角三角形，且 B2.所以 sinCcosA13.20(本小题满分 12 分)(2011浙江)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sinAsinCpsinB(pR)，且 ac14b2.(1)当 p54，b1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围解：(1)由题设并利用正弦定理，得ac54ac14解得a1，c14或a
12、14，c1.(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b212b212b2cosB，即 p23212cosB.因为 0cosB0，所以 62 p0，得4C22，即2C，由 sinC34，得 cosC 74，由 a2b24(ab)8，得(a2)2(b2)20，得 a2，b2，由余弦定理得 c2a2b22abcosC82 7，所以 c 71.22(本小题满分 14 分)(2011黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时
13、救援为了方便测量和计算，现如图(2)A，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡 AB 的坡角为，D 为山脚，某人在 E 处测得 A，B，C 的仰角分别为，EDa.(1)求：BD 间的距离及 CD 间的距离；(2)求证：在 A 处攀岩者距地面的距离 hasinsincossin.解：(1)根据题意得CED，BED，AED.在直角三角形 CED 中，tanCDDE，CDatan，在直角三角形 BED 中，tanBDDE，BDatan.(2)证明：易得 AE hsin，BE acos，在ABE 中，AEB，EAB()，正弦定理BEsinEABAEsinABE，代入整理：hasinsincossin.
