1、福建省福州市师范大学附中2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对集合进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】集合，集合，所以，故选：C.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，且与垂直，即，与的夹角为故选3.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
2、】由函数在上是增函数可得，再由，故故选A.4.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为315尺，前九个节气日影长之和为855尺，则芒种日影长为（ ）A. 15尺B. 25尺C. 35尺D. 45尺【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得，可得，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力
3、，属于中档题5.设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件等价法：利用pq与非q非p，qp与非p非q，pq与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件6.若，则（）A.
4、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.【详解】解：，则,故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数的图像关于轴对称可得为偶函数，故排除CD，再根据在内恒为正可得正确选项.【详解】因为的图像关于轴对称，故为偶函数，对于C，故该函数为奇函数，不符合，故C错；同理D错.对于A，令，故为偶函数，当时，令，则，取，则在为正，这与图像符合.对于D，同理可判断为偶函数，当时，令，则，这与图像不
5、符合.综上，选A.【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题已知角有，正五边形内角，已知三角函数值有，所以，从而【详解】由题可知，且，则.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.9.若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，由变形得再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系即可.【详解】如图，可行域为ABC.当时，符合题意；当时，由变形得，可知，得；当时，由变形得，可知，得一2a0；综上得.故
7、选A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题10.已知平面向量，满足，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时，应选答案D。11.已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， , 函数 在区间内没有零点 (1) ，则 ，则 ，取 ， ；（2），则 ，解得： ，取 ， ；综上可知： 的取值范围是，选.【点睛】有关函数求的值及取值范
8、围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.12.设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数()有且仅有两个极值点，即为在上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解。【详解】解：因为函数()有且仅有两个极值点，所以在上有两个不同的解，即2axex0在上有两解，即直线y2ax与函数yex的图象有两个交点，设函数与函数的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数yex的图象，
9、因为则，所以，解得x01，即切点为(1，e)，此时ke，由图象知直线与函数yex的图象有两个交点时，有即2ae，解得a，故选B.【点睛】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题。第卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分.13.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_【答案】【解析】如图所示，图中阴影部分的面积为 .14.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与
10、指数的关系，即 .现在已知， ，则_.【答案】2【解析】分析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.【详解】， ， 故答案为2【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两点的距离为_【答案】【解析】【分析】ACD中求出AC，ABD中求出BC，ABC中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，ACD中，ACD15，ADC150
11、，DAC=15由正弦定理得，BCD中，BDC15，BCD135，DBC=30，由正弦定理，所以BC；ABC中，由余弦定理，AB2AC2+BC22ACBCcosACB解得：AB，则两目标A，B间的距离为故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题16.已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是_【答案】【解析】因，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列. 若对恒成立，当且仅当.又，所以，解得：.即首项的取值范围是.三、解答题：共70分.解
12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.（1）求的值；（2）求的值。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得sinAsinCsinBsinC，即有sinA2sinC，a2c，bc，从而可由余弦定理求出cosA的值；（2）先求出sinA的值，再由二倍角的正余弦公式求出sin2A，cos2A，即可求的值【详解】（1）acb，sinBsinC由正弦定理得，sinAsinCsinBsinC，即有sinA2sinC，a2c，bc
13、，由余弦定理知，cosA（2）由（1）知，cosAA为三角形内角，sinA，sin2A=cos2A= - sin2Acos cos2A sin【点睛】本题主要考察两角和与差的余弦函数、正弦定理、余弦定理的综合应用，熟练运用边角互化得a,b,c关系是突破点，准确计算是关键，属于中档题18.已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据时，得到递推公式，利用累乘法得到的通项，再检验时，得到答案；（2）根据（1）中的通项，得到的通项，然后根据裂项相消法，求出其前项和为，从而可以证明.【详解】因为所以当时，得.
14、当时，-得，即，符合上式.故.（2），【点睛】本题考查和求数列的通项，累乘法求数列的通项，裂项相消法求和，属于中档题.19.如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小；（2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得即得， .（2），由余弦定理得，将数据代入可得，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形 的面积最大值。试题解析：解：（1）在 中，. 有 ， ，则 ，即 ，则 .（2）在 中， ，又 ，则为等腰直角三角形， ，又 ，当 时，四边形
15、的面积最大值，最大值为 .20.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，得到，然后得到，验证时，从而得到通项；（2）根据（1）得到，由累加法和错位相减法，得到的通项【详解】（1）时， ，得满足上式，故.（2），有累加整理得：，-得满足上式，故.【点睛】本题考查累加法求数列通项，错位相减法求数列前项的和，属于中档题.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对a分两种情况讨
16、论，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）知， 再构造函数，求得取得最大值小于即得证.【详解】（1）因为的定义域为， 又， 所以当时，在单调递增 当时，若时，在单调递减；若时，在单调递增综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增 （2）当时，由（1）知， 令，则， 令，则，所以在单调递减，又，所以存在，使得，且， 所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以当时，取得最大值， 因为 ， 令，则在单调递减， 所以，所以， 因此当时，即【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（二）选考题：共1
17、0分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程22.选修44：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设P(1，2)，求的取值范围【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】(1)消去参数可得直线的普通方程，利用可以化成直角坐标方程；(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求.【详解】解：（1）因为，所以，两式相
18、减可得直线的普通方程为. 因为，所以曲线直角坐标方程. （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， 整理得关于的方程： . 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，则 ，. 并且，注意到 ，解得. 因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，有，因为，所以，.因此的取值范围是.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养. 选修45：不等式选讲23.已知函数（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，实数满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对按，进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到最小值的值，再令，由基本不等式进行证明.【详解】当时，不等式可化为，.又，；当时，不等式可化为，.又，.当时，不等式可化为，.又，.综上所得，.原不等式的解集为.（2）证明：由绝对值不等式性质得，即.令，则，原不等式得证【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.
