1、课时提升卷(三)三个正数的算术-几何平均不等式（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设x,y,zR+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是()A.(-,lg6 B.(-,3lg2C.lg6,+) D.3lg2,+)2.若实数x,y满足xy0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.43.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则+的最小值为()A.9 B.8 C.3 D.4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.3 B.2 C.12 D.125.当0x时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A. B. C.
2、 D.无最大值6.设a,b,cR+,且a+b+c=1,若M=,则必有()A.0M B.M1C.1M0,y0且xy2=4,则x+2y的最小值为.8.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.9.( 2013扬州高二检测)设正数a,b,c满足a+b+c=1,则+的最小值为.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.求函数f(x)=x(5-2x)2的最大值.11.(2013常州高二检测)已知x,y均为正数,且xy,求证:2x+2y+3.12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为1的正六
3、边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.答案解析1.【解析】选B.因为x,y,zR+,所以6=x+y+z3,即xyz8,所以lgx+lgy+lgz=lgxyzlg8=3lg2.2.【解析】选C.xy+x2=xy+xy+x23=3=3,当且仅当xy=x2时,等号成立.3.【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c3,所以00,4y0,8z0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z3=3=34=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.
4、5.【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=xx.因为0x,所以-2x0,所以y=,当且仅当x=-2x,即x=时,ymax=.6.【解析】选D.M=8,当且仅当a=b=c时等号成立.7.【解析】由xy2=4,得x+2y=x+y+y3=3=3,当且仅当x=y=时等号成立.答案:38.【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)=,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c)9.【解析】因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9.于是(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)33=9,
5、当且仅当a=b=c=时等号成立,即+1,故+的最小值为1.答案:110.【解析】f(x)=x(5-2x)2=4x(5-2x)(5-2x)=.当且仅当4x=5-2x,即x=时,等号成立.所以函数的最大值是.【拓展提升】用平均不等式求最值利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.11.【证明】因为x0,y0,x-y0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+3=3,所以2x+2y+3.12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解.【解析】设正六棱柱容器底面边长为x(x0),高为h,由图(3)可有2h+x=,所以h=(1-x),V=S底h=6x2h=x2(1-x)=2(1-x)9=.当且仅当=1-x,即x=时,等号成立.所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大,为.关闭Word文档返回原板块。
