1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元素养检测(一)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列an中,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21,则a7=()A.7B.10C.20D.30【解析】选C.设等差数列an的公差为d,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21,所以a1-d=-1,7d=21,解得d=3,a1=2.则a7=2+36=20.2.在等比数列an中,若a4,a3,a5成等差
2、数列,则数列an的公比为()A.0或1或-2B.1或2C.1或-2D.-2【解析】选C.因为a4,a3,a5成等差数列,所以2a3=a4+a5,又因为等比数列an,即2=q+q2,解得q=1或q=-2.3.(2020全国卷)数列中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.取m=1,则an+1=a1an,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则an=2n,所以ak+1+ak+2+ak+10=2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=1,若am+1+am+am-1
3、=15,且Sm=27,则m的值是()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为am+1+am+am-1=15,所以3am=15,所以am=5,因为a1=1,Sm=27,所以Sm=27,所以m=9.5.在数列中,若a1=1,a2=,=+(nN*),则该数列的通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=【解析】选A.因为=+,所以数列是等差数列,又-=2-1=1,所以=1+(n-1)=n,所以an=.【补偿训练】1.在a和b两数之间插入5个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为()A.B.C.D.【解析】选B.在a和b两数之间插入5个数,使它们与a,b组成等差数列,则这个数列
4、共有7项,所以d=.2.在等比数列 中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为()A.2B.4C.2D.4【解析】选A.a3a15=8,a3+a15=6,故=2.6.已知在各项为正数的等比数列中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时,首项a1=()A.8B.4C.2D.1【解析】选C.因为a2a8=82=a5=8,设公比为q(q0),所以4a3+a7=+a5q2=+8q22=32,当且仅当=8q2,即q2=2时取等号,此时a1=2.7.已知数列an的前n项和Sn=2n2+1,nN*,则a5-a1=()A.13B.14C.15D.16【解析】选C.数列an的前n项和Sn
5、=2n2+1,nN*,所以a1=S1=3,a5=S5-S4=(252+1)-(242+1)=18.则a5-a1=18-3=15.8.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.【解析】选A.因为a2,a4,a8成等比数列,等差数列an的公差为2,所以(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2,所以Sn=na1+=2n+2=n(n+1).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在数列an中,
6、nN*,若=k(k为常数),则称an为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的判断正确的为()A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0【解析】选AD.由等差比数列的定义可知,等差比数列的公比不为0,所以A正确;当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以选项B不正确;当an是等比数列时,当公比q=1时,an不是等差比数列,所以选项C不正确;数列0,1,0,1,是公比为-1的等差比数列,该数列中有无数多个0,所以选项D正确.10.已知等比数列an的各项均为正数,公比为q,且a11,a6+a7a6a
7、7+12,记an的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是()A.0q1C.T121D.T131【解析】选ABC.由于等比数列an的各项均为正数,公比为q,且a11,a6+a7a6a7+12,所以(a6-1)(a7-1)1,a71,所以0q2,所以a6a71,T12=a1a2a11a12=(a6a7)61,T13=1.11.已知an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=0【解析】选ACD.2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,所以a1+9d=0,即a10=0,A正确;当d1,0q
8、1,0q1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项开始使得ak=a1qk-1(0,1),故Tk-1=a1a2ak-1有最大值,故D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知数列an是等差数列,且S9=-18,S11=22.数列an的通项公式为_;an的前n项和Sn的最小值为_.【解析】(1)设an的公差为d,则所以a1=-18,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n-22.(2)方法一:Sn=2n2-20n=2(n-5)2-50,所以n=5时,Sn取得最小值-50.方法二:由an=4n-220,得n,所以当n=5时,Sn取得最小值S5=-1
9、85+4=-50.答案:an=4n-22-5014.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=3n2+2n-1,则数列an的通项公式an=_.【解析】当n=1时,a1=S1=4;当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2+2n-1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-1,a1=4不满足上式.所以an=答案:15.已知F(x)=f-1是R上的奇函数.an=f(0)+f+f+f(1)(nN*),则数列an的通项公式为_.【解析】因为F(x)+F(-x)=0,所以f+f=2,即若a+b=1,则f(a)+f(b)=2.于是由an=f(0)+f+f+f(1)(nN*),得2an=f(0)+f(1)+f(1)
10、+f(0)=2n+2,所以an=n+1.答案:an=n+116.已知数列an为等比数列,首项a1=4,数列满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12,则a4=_.【解析】因为数列an为等比数列,首项a1=4,数列满足bn=log2an,且b1+b2+b3=log2a1+log2a2+log2a3=12,所以log2(a1a2a3)=12,即a1a2a3=212,因为数列an为等比数列,所以a1a2a3=212,所以a2=16,q=4,则a4=256.答案:256四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)数列an满足Sn=2n-
11、an(nN*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)证明(1)中的猜想.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,所以a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=22-a2,所以a2=;当n=3时,a1+a2+a3=S3=23-a3,所以a3=;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,所以a4=.由此猜想an=(nN*).(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k1且kN*)时,结论成立,即ak=,那么n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,所以2ak+1=2+ak.所以ak+1=.所
12、以当n=k+1时,结论成立.由知猜想an=(nN*)成立.18.(12分)已知递增等比数列,a3a4=32,a1+a6=33,另一数列的前n项和Sn=n2+n.(1)求、的通项公式;(2)设的前n项和为Tn,求Tn.【解析】(1)设等比数列的公比为q,由题意可知a1a6,由等比数列的性质可得a1a6=a3a4=32,所以,解得,因为a6=a1q5=q5=32,得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1.当n=1时,b1=S1=2;当n2且nN*时,bn=Sn-Sn-1=-=2n.b1=2也适合上式,所以,bn=2n.(2)=,所以Tn=+,则Tn=+,上式-下式,得Tn=+-=-=4-=4-,
13、因此,Tn=8-.19.(12分)设正项数列an的前n项和为Sn,已知Sn,an+1,4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,设bn的前n项和为Tn,求证:Tn0,所以an-an-1=2,所以an的首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.(2)bn=,所以Tn=1-+-+-+-,所以Tn=0,数列的前n项和为Sn,因为=,Sn=+= = ,解得 所以an=2n-1.(2)bn=(an+1)=n4n.Tn=b1+b2+b3+bn=141+242+343+n4n,则4Tn=142+243+344+n4n+1,两式相减得-3Tn=4+42+43+4n-n4n+1=-n4n+1=4n+1-,所以Tn=4n+1+.关闭Word文档返回原板块
