1、开卷速查(五十二)椭圆A级基础巩固练1已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6C4D12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4. 答案：C2已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线1的离心率为()A.BC.或 D.或解析：因为2，m,8构成一个等比数列，所以m22816，即m4.若m4，则圆锥曲线方程为1，此时为椭圆，其中a24，b22，c2422，所以a2，c，离心率为e.若m4，则圆锥曲线方程为1，此时为双曲线，其中a22，b24
2、，c2426，所以a，c，离心率为e.所以选C.答案：C3已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4 B5C7D8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为1，显然m210m，即m6且()2()222，解得m8.答案：D4已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1C2D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0)，m1，则圆心M的坐标为(1,0)由题意知直线l的方程为xc，又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.答案：C5已知P为椭圆1上的一点，M
3、，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13D15解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.答案：B6椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得x，x.答案：7设椭圆1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆
4、的方程为_解析：抛物线y28x的焦点为(2,0)，m2n24，e，m4，代入得，n212，椭圆方程为1.答案：18椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案：9椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭
5、圆的离心率等于_解析：直线y(xc)过左焦点F1，且其倾斜角为60，MF1F260，MF2F130.F1MF290，即F1MF2M.|MF1|c，|MF1|MF2|2a，|MF2|2ac.|MF1|2|MF2|2|F1F2|2.c2(2ac)24c2，即c22ac2a20.e22e20，解得e1.答案：1102014课标全国设F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解析：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b
6、2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.B级能力提升练112014福建设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5BC7D6解析：设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r，点C到椭圆上的点Q(cos，sin)的距离|CQ| 5，当且仅当sin时取等号
7、，所以|PQ|CQ|r56，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.答案：D12设椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能解析：因为椭圆的离心率e，所以，即a2c，bc，因此方程ax2bxc0可化为2cx2cxc0，又c0，2x2x10，x1x2，x1x2xx(x1x2)22x1x212，即点(x1，x2)在x2y22内答案：A13设椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心
8、率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程解析：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A，B(0，c)，所以|AB|c.于是|MN|AB|2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c21
9、2c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.142014天津设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率解析：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，则.所以，椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，则点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4.所以，直线l的斜率为4或4.
