1、第22章相似形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，ABC经过位似变换得到DEF ，点O是位似中心且OA=AD ，则ABC与DEF的面积比是（）A.1：8B.1：6C.1：4D.1：2【答案】C【考点】位似变换【解析】【解答】ABC经过位似变换得到DEF ，点O是位似中心且OA=AD ， ACDF ，OACODF ，AC：DF=OA：OD=1：2，ABC与DEF的面积比是1：4故选：C【分析】先由已知条件及位似图形的性质，得ACDF ，求得AC：DF=OA：OD=1：2，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得ABC与DEF的面积比掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似
2、比，其对应的面积比等于相似比的平方2.如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为25，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )A.3.2 cmB.8 cmC.10 cmD.20 cm【答案】D 【考点】位似变换【解析】【解答】解: 位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，投影三角形的对应边长为：5 =10cm故答案为：D.【分析】根据位似图形对应边的比等于位似比即可得出答案。3.如图，矩形ABCD中，AE=BF，EF与BD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）A.2对B.4对C.6对D.8对【答案】C 【考点
3、】矩形的性质，相似三角形的判定【解析】【解答】矩形ABCD中，AE=BF，EFAB，DEGDAB，BFGBCD，AB=CD，BC=DA，B=D，ABDDCB（SAS），DEGBCD，BFGDAB，DACB，DEG=BFG，EDG=FBG，DEGBFG，全等是特殊的相似，图中相似的三角形共有6组故答案为：C【分析】由矩形的性质和已知条件AE=BF可判断EFAB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得DEGDAB，BFGBCD；用边角边可证ABDDCB，根据全等是特殊的相似可得这两个三角形也相似；则可得DEGBCD，BFGDAB，根据有两个角对
4、应相等的两个三角形相似可得DEGBFG。4.（2014宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【考点】直角梯形，相似三角形的判定【解析】【解答】解：ABBC， B=90ADBC，A=180B=90，PAD=PBC=90AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8x若AB边上存在P点，使PAD与PBC相似，那么分两种情况：若APDBPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8x）=3：4，解得x= ；若APDBC
5、P，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8x），解得x=2或x=6满足条件的点P的个数是3个，故选：C【分析】由于PAD=PBC=90，故要使PAD与PBC相似，分两种情况讨论：APDBPC，APDBCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数5.如图，ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将ABC切出一个小三角形与ABC相似，这样的直线一共有（）A.5条B.4条C.3条D.2条【答案】B 【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】首先，要确立两个三角形相似，即其中两组角应该对应相等。【解答】如图过点P作PDBC，则APDABC；作A
6、PE=C，则APEACB；过点P作PFAC，则PBFABC；在BPG=C，则PBGCBA故选B【点评】此题考查的是相似三角形的判定，两个三角形相似，即其中两组角应该对应相等，由于P点确立，即两个三角形肯定有一组公共角，此时只要令另外一组角相等，两个三角形必定相似。6.下列说法不正确的是（）A.位似图形一定是相似图形B.相似图形不一定是位似图形C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D 【考点】位似变换【解析】【分析】本题主要考查了位似图形的定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（
7、或共线)，那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误【解答】根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误故选D7.如图平行四边变形 ABCD中，E是BC上一点，BEEC=23，AE交BD于F，则BFFD等于（ ）A.25B.35C.23D.57【答案】C【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBE，由平行得相似，即BEFDAF，再利用相似比解答本题【解答】四边形ABCD是平行四边形，ADBE，BEFDAF，即BF：FD等于2：3故选C【点评】本题通过平行四边形的
8、性质求出BEFDAF的条件是解决本题的关键8.已知a：b=3：2，则a：（ab）=（）A.1：3B.3：1C.3：5D.5：3【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】解： ， 故选B【分析】利用分比性质进行计算9.如图，已知P是ABC边AB上的一点，连接CP以下条件中不能判定ACPABC的是（ ）A.ACP=BB.APC=ACBC.AC2=APABD.= 【答案】D 【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：ACP=B，CAP=BAC， ACPABC，故选项A正确；APC=ACB，CAP=BAC，ACPABC，故选项B正确；AC2=APAB， ，又CAP=BAC，ACPABC，故选项C正
9、确； ，CAB=BAC，ACPABC，故选项D错误；故选D【分析】根据题目中各个选项可以判断哪个选项中的说法是错误的，从而可以解答本题10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：CEH=45；GFDE；2OH+DH=BD；BG=DG；SBEC：SBGC。其中正确的结论是（)A.B.C.D.【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和与外角求得判定即可；由三角形的全等判定与性
10、质，以及三角形的内角和求出判定即可；直接由图形判定即可；由特殊角的直角三角形的边角关系判定即可；两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】【解答】由ABC=90，BEC为等边三角形，ABE为等腰三角形，AEB+BEC+CEH=180，可求得CEH=45，此结论正确；由EGDDFE，EF=GD，再由HDE为等腰三角形，DEH=30，得出HGF为等腰三角形，HFG=30，可求得GFDE，此结论正确；由图可知2（OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；如图，过点G作GMCD垂足为M，GNBC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出
11、BG=GD，此结论不正确；由图可知BCE和BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由可知BCE的高为（x+x)和BCG的高为x，因此SBCE：SBCG=（x+x)：x=，此结论正确；故正确的结论有故选C【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，学生需要有比较强的综合知识二、填空题（共10题；共30分）11.如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC，已知OB=3OB，若ABC的面积为9，则ABC的面积为_；【答案】1 【考点】位似变换【解析】【解答】解：OB=3OB， ，以点O为位似中
12、心，将ABC缩小后得到ABC，ABCABC， SABC：SABC=1：9，ABC的面积为9，ABC的面积为：1故答案为：1【分析】位似图形对应线段的比等于相似比，位似图形面积的比等于相似比的平方.12.已知ABCDEF，相似比为3:5，ABC的周长为6，则DEF的周长为_. 【答案】10 【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】ABCDEF，相似比为3：5，ABC的周长为6，6：DEF的周长=3：5，DEF的周长=10故答案为：10.【分析】根据相似三角形行的性质来求解.相似三角形周长的比等于相似比.13.在比例尺为1：2500000的地图上，一条路长度约为8 cm，那么这条路它的实际长度约为
13、_km 【答案】200 【考点】比例的性质【解析】【解答】设这条路的实际长度约xcm.则1：2500000=8:x，解得：x=20000000cm=200km.故答案是：200.【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺可求解。14.已知ABCDEF，ABC与DEF的相似比为4：1，则ABC与DEF对应边上的高之比为_【答案】4：1 【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：ABCDEF，ABC与DEF的相似比为4：1，ABC与DEF对应边上的高之比是4：1，故答案为：4：1【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比，可得出结论。15.如图，DCAB，OA=2OC，则OC
14、D与OAB的位似比是_【答案】1：2 【考点】位似变换【解析】解：DCABOABOCDOCD与OAB的对应点的连线都过点OOCD与OAB的位似OCD与OAB的位似比为OC：OA=1：2【分析】先证明OABOCD，OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得OCD与OAB的位似，即可求得OCD与OAB的位似比为OC：OA=1：216.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是边BC上一点，AP与BD交于点M，DP与AC交于点N若点P为BC的中点，则AM：PM=2：1；若点P为BC的中点，则四边形OMPN的面积是8；若点P为BC的中点，则图中阴影部分的总面积为28；若点P在B
15、C的运动，则图中阴影部分的总面积不变其中正确的是_（填序号即可）【答案】 【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：正确；四边形ABCD是矩形，ABC=BCD=90，AD=BC，ADBC，AM：PM=AD：BP，点P为BC的中点，BP= BC= AD，AM：PM=2：1；不正确；作MGBC于G，如图所示：则MGAB，PMGPAB，MG：AB=PM：PA=1：3，MG= AB=2，四边形OMPN的面积=BOC的面积MBP的面积NCP的面积= 86 42 42=4；正确；图中空白部分的面积=DBP的面积+ACP的面积四边形OMPN的面积= 46+ 464=2
16、0，图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积图中空白部分的面积=8620=28；错误；P在B时，阴影部分的面积= 68=2428；正确的有；故答案为：【分析】点P为BC的中点，由已知可知ADBC，抽象出“8”字基本图形，平行得线段成比例，或证三角形相似，可知道正确；求四边形OMPN的面积，将此四边形转化到BOC中去，S四边形OMPN=SBOC-SBMP-SPNC=4，不正确；求出空白部分的面积，再用矩形的面积减去空白部分的面积即可，正确；先求出点P在B、C之间运动时空白部分的面积的面积，就可以知道阴影部分的面积，在求出当点P运动到B点或C点时空白部分的面积，就可以知道阴影部分的面积，可知错误。
17、17.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，C在x轴上，BCA=90，AC=BC= ，反比例函数y= （k0）的图象过BC中点E，交AB于点D，连接DE，当BDEBCA时，k的值为_.【答案】3 【考点】反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质【解析】【解答】解 ：如图，过点D作DFBC于点F，ABC中，BCA=90，AC=BC= ，反比例函数y= （k0）的图象过BC中点E，BAC=ABC=45，且可设E（，），BDEBCA三角形BDE也是等腰直角三角形，DF=EFF（k2 ， 322）D（k2-122 ， 322）k2-122322=k解得：k=3【分析】过点D作DFBC于点F，ABC中
18、，BCA=90，AC=BC= 2 2 ，反比例函数y=kx（k0）的图象过BC中点E，BAC=ABC=45，且可设E（ k2 ， 2），由BDEBCA得出三角形BDE也是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一得出DF=EF，进而得出F,D的坐标，根据反比例函数的比例系数的性质得出关于k的方程，求解得出k的值。18.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DEF的面积与BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=_【答案】3：1 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】四边形ABCD为平行四边形，DEAB，DCAB，DEFBAFDEF的面积与BAF的面积之比为9：1
19、6， ， 故答案为：3：1【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出DEAB，DCAB，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出DEFBAF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出,再根据比例的性质即可得出答案。19.如图，在ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是_【答案】3AP4 【考点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：如图所示，过P作PDAB交BC于D或PEBC交AB于E，则PCDACB或APEACB，此时0AP4；如图所示，过P作APF=B
20、交AB于F，则APFABC，此时0AP4；如图所示，过P作CPG=CBA交BC于G，此时，CPGCBA，当点G与点B重合时，CB2=CPCA，即22=CP4，CP=1，AP=3，此时，3AP4；综上所述，AP长的取值范围是3AP4故答案为：3AP4【分析】如图所示，过P作PDAB交BC于D或PEBC交AB于E，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出PCDACB或APEACB，此时0AP4；如图所示，过P作APF=B交AB于F，根据两组角对应相等的两个三角形相似，得出APFABC，此时0AP4；如图所示，过P作CPG=CBA交BC于G，此时，CPGCBA，当点G
21、与点B重合时，根据相似三角形对应边成比例得出CB2=CPCA，即22=CP4，故CP=1，AP=3，此时，3AP4；综上所述即可得出答案。20.如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：四边形ACBE是菱形；ACD=BAEAF：BE=2：3 其中正确的结论有_。（填写所有正确结论的序号）【答案】 【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，AO=BO,AOE=B
22、OC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，OAE=OBC，AOEBOC（ASA），AE=BC，AE=BE=CA=CB，四边形ACBE是菱形，故正确.由四边形ACBE是菱形，AB平分CAE，CAO=BAE，又四边形ABCD是平行四边形，BACD，CAO=ACD，ACD=BAE.故正确.CE垂直平分线AB，O为AB中点，又四边形ABCD是平行四边形，BACD，AO= AB= CD，AFOCFD， = ，AF:AC=1:3,AC=BE，AF:BE=1:3,故错误. CDOC,由知AF:AC=1:3, , = CDOC= , = + = = , 故正确.故答案为：.【分析】根据平行四边形和垂直平分
23、线的性质得AO=BO,AOE=BOC=90,BCAE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得AOEBOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出正确.由菱形性质得CAO=BAE，根据平行四边形的性质得BACD，再由平行线的性质得CAO=ACD，等量代换得ACD=BAE；故正确.根据平行四边形和垂直平分线的性质得BACD，AO= AB= CD，从而得AFOCFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故错误.由三角形面积公式得 CDOC,从知AF:AC=1:3,所以 = + = = ,从而得出故正确.三、解答题（共7题；共60分）21.如
24、图,ABC与ABC是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1.（1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是；（2）求ABC与ABC的面积比【答案】解：（1）如图：D（7，0）；（2）ABCABC【考点】相似三角形的性质，作图位似变换【解析】【分析】考查位似.22.如图，ABC中，D为BC 上一点，BAD=C，AB=6， BD=4，求CD的长【答案】解：BAD=C，B=B，BADBCA， AB=6，BD=4， ，BC=9，CD=BC-BD=9-4=5【考点】相似三角形的性质，相似三角形的判定【解析】【分析】由一组角相等即BAD=C”，再结合B=B，可推出BADBCA，
25、再利用对应边成比例列出比例式，求出BC,进而求出CD.23.正方形ABCD中，E是AC上一点，EFAB ， EGAD ， AB=6，AE：EC=2：1求四边形AFEG的面积【答案】解答：正方形ABCD中，DAB=90，DAC=45，又AFE=AGE=90，四边形AFEG是矩形，AEG=90-DAC=45，GAE=AEG=45，GE=AG ，矩形AFEG是正方形，四边形ABCD是正方形，正方形AFEG正方形ABCD， =（）2=（）2= ，S正方形AFEG= S正方形AFEG= 62=16【考点】正方形的判定与性质，相似图形，相似多边形的性质【解析】【分析】先证明四边形AFEG是正方形，再由相似
26、的定义得出正方形AFEG正方形ABCD ，最后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行求解24.如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，=， AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长【答案】解：（1）ADBECF，=，= ，AC=14，AB=4，BC=144=10；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又ADBECF，AD=7，AD=HE=GF=7，CF=14，CG=147=7，BECF，=，BH=2，BE=2+7=9【考点】平行线分线段成比例【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例
27、的性质得出= ，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果25.如图，在ABC中，C=90，A=30在ABC中，C=90，AC=BC能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与ABC所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由【答案】解：如图所示：C=90，A=30，C=90，AC=BC， B=60，A=B=45，又ACE=BCE=45，ACF=30，BCF=60，A=AACF，ACE=A，ACECAF，B=BCF
28、，B=BCE，BCECBF【考点】作图相似变换【解析】【分析】要想让分成的每个三角形分别对应相似那么唯一的方法就是把各个三角形中的直角进行分割把C分为45，45，那么两个三角形的两个角分别为30，45；45，60，把C分为30，60，那么两个三角形的两个角分别为30，45；45，60，相应的两个三角形都有两角对应相等，那么相似26.如图，在ABC中，B= 90，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于8厘米2？（2）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到
29、B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，PCQ的面积等于126厘米2 ？【答案】解：（1）设经过x秒使PBQ得面积等于8平方厘米，根据题意得：2x（6-x）=8，整理得：（x-2）（x-4）=0，解得：x1=2，x2=4，答：经过2秒或4秒，使PBQ得面积等于8平方厘米；（2）设经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，过Q作QDCB，垂足为D，QDCB，B=90，DQAB，CDQ=CAB，CQDCAB，即：QD=，由题意得（14-x）=12.6，解得：x1=7，x2=11，经7秒，点P在BC上距离C点7cm处
30、，点Q在CA上距离C点6cm处，使PCQ的面积等于12.6cm2；经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，1410，点Q已超出CA的范围，此解不存在；综上所述，经过7秒PCQ的面积等于12.6cm2【考点】相似三角形的判定与性质，一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【分析】设经过x秒使PBQ得面积等于8平方厘米，根据AB=6厘米，BC=8厘米，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动和三角形的面积公式，列出方程，再进行求解即可；（2）设经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，过Q作QDCB，
31、垂足为D，根据QDCB，B=90，得出DQAB，从而得出CQDCAB，即可求出QD的值，最后根据三角形的面积公式，即可得出x的值，再根据实际情况，即可为得出答案27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这
32、个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长【答案】（1）解：如图1，设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x， ， ， ，即，解得x=48加工成的正方形零件的边长是48mm（2）解：如图2，设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x， ， ， ，即，解得：， ，这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm（3）解：如图3，设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S ，由条件可得， ，即，解得：则，故S的最大值为，此时，【考点】相似三角形的判定与性质，配方法的应用【解析】【分析】（1）设正方形的边长为x，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，由APN ABC，根据相似三角形的性质可得=,代入可得x。（2）设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，由APNABC，根据相似三角形性质可得，=，代入求得PQ，再求得PN。（3）根据相似三角形的性质可得=，用含有x的代数式表示PQ，再表示面积S，最后配方求得S的最大值。
