1、第 4 课时 导数及其应用课后训练案巩固提升一、A 组1.(2016 广东实验中学月考)已知 f(x)=x3-x2+6x-a,若对任意实数 x,f(x)m 恒成立,则 m 的最大值为()A.3B.2C.1D.-解析:f(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数 x,f(x)m 恒成立,即 3x2-9x+(6-m)0 恒成立,所以=81-12(6-m)0,解得 m-,即 m 的最大值为-,故选 D.答案:D2.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x00)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是 f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D
2、.-x0是-f(-x)的极小值点解析:f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称,故 x0(x00)是 f(x)的极大值点时,-x0是-f(-x)的极小值点,故选 D.答案:D3.(2016 海南海口高二检测)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+)单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)解析:由 f(x)=k-,又 f(x)在(1,+)上单调递增,则 f(x)0 在 x(1,+)上恒成立,即 k 在 x(1,+)上恒成立.又当 x(1,+)时,0 0,因此函数 f(x)在 R 上单调递增,且 f(-2)=-0,因此函数 f(x)零点的个数
3、为 1,故选 B.答案:B5.(2016 山东泰安高二检测)若 0 x1x2ln x2-ln x1B.x1 D.x2 x1 解析:令 f(x)=,则 f(x)=-.当 0 x1 时,f(x)0,即 f(x)在(0,1)上单调递减,0 x1x21,f(x2)x1 ,故选 C.答案:C6.(2015 陕西高考)函数 y=xex在其极值点处的切线方程为 .解析:令 y=(x+1)ex=0,得 x=-1,则切点为(-).函数在极值点处的导数为 0,即切线斜率为 0,则切线方程为 y=-.答案:y=-7.(2015 天津高考)已知函数 f(x)=axln x,x(0,+),其中 a 为实数,f(x)为
4、f(x)的导函数,若 f(1)=3,则 a的值为 .解析:因为 f(x)=axln x,所以 f(x)=aln x+ax =a(ln x+1).由 f(1)=3 得 a(ln 1+1)=3,所以 a=3.答案:38.已知函数 f(x)=ex(ax2-2x+2),其中 a0.(1)若曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线与直线 x+e2y-1=0 垂直,求实数 a 的值;(2)讨论 f(x)的单调性.解:f(x)=exax2+(2a-2)x(a0).(1)由题意得 f(2)(-)=-1,解得 a=.(2)令 f(x)=0,得 x1=0,x2=-.当 0a1 时,f(x)的增区间为(-),(0,+
5、),减区间为(-).9.已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2),其中 a0 得 x()或 x(2,+),故函数 f(x)的单调递增区间为()和(2,+).(2)因为 f(x)=,a0,由 f(x)=0 得 x=-或 x=-.当 x(-)时,f(x)单调递增;当 x(-)时,f(x)单调递减;当 x(-)时,f(x)单调递增.易知 f(x)=(2x+a)2 0,且 f(-)=0.当-1 时,即-2a0 时,f(x)在1,4上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8,得 a=2-2,均不符合题意.当 1-4 时,即-8a4 时,即 a0,f(x)在(0,1)上是增函数;当 x(
6、1,+)时,f(x)0,所以 b1-恒成立.令 g(x)=1-,可得 g(x)=,因此 g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以 g(x)min=g(1)=0,故 b 的取值范围是(-,0.二、B 组1.(2017 山东日照高二检测)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是()A.(-,0)B.()C.(0,1)D.(0,+)解析:由题意知,x0,f(x)=ln x+1-2ax,由于函数 f(x)有两个极值点,则 f(x)=0 有两个不相等的正根,显然 a0 时不合题意,必有 a0.令 g(x)=ln x+1-2ax,则 g(x)=-2
7、a,令 g(x)=0,得 x=,故 g(x)在()上单调递增,在()上单调递减,所以 g(x)在 x=处取得最大值,即 f()=ln 0,所以 0a .答案:B2.(原创题)若函数 f(x)定义域为 R,且 xf(x)2f(0)B.f(-1)+f(1)2f(0)C.f(-1)+f(1)=2f(0)D.f(-1)+f(1)与 2f(0)的大小不确定解析:由于 xf(x)0 时 f(x)0,当 x0,即函数 f(x)在(-,0)上递增,在(0,+)上递减,因此 f(-1)f(0),f(1)f(0),故 f(-1)+f(1)0 时,实数 b 的最小值是 .解析:设切点为(x0,aln x0),则 y
8、=aln x 上此点处的切线为 y=x+aln x0-a,故 -b=aln -a=aln a-aln 2-a(a0),b=ln ,b 在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.b 的最小值为-2.答案:-25.函数 f(x)=.(1)求 y=f(x)在-上的最值;(2)若 a0,求 g(x)=的极值点.解:(1)f(x)=-,令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=-3.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:x-4(-4,-3)-3(-3,-1)f(x)-0+f(x)-单调递减极小值-单调递增x-1()-f(x)0-f(x)极大值 0 单调递减-2 y=f(x)在-上的最大值
9、为 0,最小值为-2.(2)g(x)=-,设 u=x2+4x+3a,=16-12a,当 a 时,0,g(x)0,y=g(x)没有极值点.当 0a 时,x1=-2-,x2=-2+-0,减区间为(-,x1),(x2,0),增区间为(x1,x2),有两个极值点 x1,x2.当 a=0 时,g(x)=,g(x)=-,减区间为(-,-4),增区间为(-4,0).有一个极值点 x=-4.综上所述,a=0 时,有一个极值点 x=-4;0a1.(1)若 f(x)在(1,+)上单调递减,求实数 a 的取值范围;(2)若 a=2,求函数 f(x)的极小值;(3)若方程(2x-m)ln x+x=0 在(1,e上有两
10、个不等实根,求实数 m 的取值范围.解:(1)f(x)=+ax,x1.f(x)=-+a.由题意可得 f(x)0,即 a (-),对 x(1,+)恒成立.x(1,+),ln x(0,+),=0 时,函数 t(x)=(-)的最小值为-,a-.(2)当 a=2 时,f(x)=+2x,f(x)=-=-,由 得 x=.f(x)与 f(x)在(1,+)上的情况如下表:x(1,)(,+)f(x)-0+f(x)极小值 4 函数 f(x)的极小值为 4.(3)x1,(2x-m)ln x+x=02x-m+=0m=+2x,方程(2x-m)ln x+x=0 在(1,e上有两个不等实根,即函数 f(x)与函数 y=m 在(1,e上有两个不同的交点.由(2)可知,f(x)在(1,)上单调递减,在(,e上单调递增且 f()=4,f(e)=3e,当 x1 时,+,4 m3e,故实数 m 的取值范围是(4,3e.
