1、高三理科数学试题 第1页,共6页理科数学(本试卷考试时间120分钟,满分150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选考题作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小
2、题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x|x-20,B=0,1,2,则 AB 等于()A.0B.1C.2D.1,22.设z=1-i1+i+2i,则|z|等于()A.0B.12C.1D.23.已知a=0.2,b=log2,c=cos 2,则()A.cbaB.bcaC.cabD.acb4.将函数y=sin 2x 的图象向左平移 00,b0)的右焦点为 F,过点 F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A(点 A 在第一象限),点 B 在双曲线C 的渐近线上,且BFOA,若 ABOB=0,则双曲线C 的离心率为()A.2 33B.2C.
3、3D.29.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln 0.6-0.511,ln 0.9-0.105)()A.4B.5C.6D.710.已知定义域为 R的函数f(x)满足f(-
4、x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是()A.f(x+2)=f(x)B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称C.函数y=f(x+1)是奇函数D.f(2-x)=f(x-1)11.在矩形 ABCD 中,BC=4,M 为BC 的中点,将ABM 和DCM 分别沿AM,DM 翻折,使点B 与点C 重合于点P,若APD=150,则三棱锥 M-PAD 的外接球的表面积为()A.12B.34C.68D.126高三理科数学试题 第3页,共6页12.已知函数f(x)=0,x1,ln x,x1,若不等式f(x)|x-k|对任意的xR恒成立,则实数k 的取值范围是()A.(-,
5、1B.1,+)C.0,1)D.(-1,0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(1-2x)5 展开式中x3 的系数为 .14.已知a,b 为单位向量,c=2a-b,且=3,则=.15.曲线f(x)=(x3-mx)ex-1 在点(1,f(1)处的切线与直线x-4y-1=0垂直,则该切线的方程为 .16.声音是物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin t,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+12sin 2x,则下列结论正确的是 .(填序号)2是f(x)的一个周期;f(x)在0,2上有3个零点;
6、f(x)的最大值为3 34;f(x)在 0,2上是增函数.三、解答题:共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列an为公差不为0的等差数列,且a2=3,a1,a2,a5 成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn 为数列an+2的前n 项和,bn=1Sn,求数列bn的前n 项和Tn.高三理科数学试题 第4页,共6页18.(12分)如图,平面 ABCD平面 DBNM,且菱形 ABCD 与菱形DBNM 全等,且MDB=DAB,G 为MC 的中点.
7、(1)求证:平面GBD平面 AMN;(2)求直线 AD 与平面AMN 所成角的正弦值.19.(12分)5G 网络(5G Network)是第五代移动通信网络,与之前的四代移动网络相比较而言,5G 网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能.随着5G 技术的诞生,用智能终端分享3D 电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来.某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G 套餐情况,得到的数据如下表所示:不升级5G升级5G总计男性用户713女性用户14总计30(1)请将上述22列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为用户升级5G套餐与性别有关;(2)若从这30名用户的男性用户中随机
8、抽取2人参加优惠活动,记其中升级5G 套餐用户的人数为 X,求 X 的分布列和均值.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828高三理科数学试题 第5页,共6页20.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知F(1,0),动点P 到直线x=6的距离等于2|PF|+2.动点P 的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C 的方程;(2)已知 A(2,0),过点F 的动直线l与曲线C 交于B,D 两点,记AOB
9、和AOD 的面积分别为S1 和S2,求S1+S2 的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=1x+aln x,g(x)=exx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当a=1时,f(x)+g(x)-1+ex2 ln xe.高三理科数学试题 第6页,共6页(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x=6-22t,y=22t(t 是参数),在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为=2 2cos-4 .(1)写
10、出直线l的普通方程、曲线C 的参数方程;(2)过曲线C 上任意一点A 作与直线l 的夹角为45的直线,设该直线与直线l 交于点B,求|AB|的最值.23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)已知函数f(x)=|x+m|+|x-n|.(1)若 m+n=0,且不等式f(x)6的解集为x|x1或x0=1,12,b=log2(0,1),22,c=cos 20,cba.4.C y=sin 2x=cos 2-2x =cos2x-2 .将函数y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数y=cos2(x+)-2=cos2x+2-2 的图象,由题意知2-2=2k+6(kZ),则=k+3,kZ,又02,
11、所以=3.5.B 如 图,连 接 BD,在BCD 中,由 于 BC=CD=2,C=120,CBD=180-1202=30,ABD=90.在BCD 中,由余弦定理知,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=22+22-222cos 120=12,BD=2 3,S四边形ABCD=SABD+SBCD=12423+1222sin 120=53.6.D 如图所示,点P 是正八棱锥的顶点,点 O 是底面的中心,AB是底面的一条边,M 是AB 的中点,根据题意知BOM=22.5,因为tan 22.5=2-1,设 AB=a,则OM=BMtan 22.5=2+12 a,又因为二面角P-AB-O 的大小为
12、30,即PMO=30,所以OP=OMtan 30=6+36a,即正八棱锥的高和底面边长之比为 6+36.7.D 根据题意可知,1名学生从15项成果中任选1项成果,其选择“芯片领域”的概率为 515=13,故没有选择“芯片领域”的概率为23,则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为232323=827,因此至少有1名 学 生 选 择“芯 片 领 域”的 概 率 为 1-827=1927.8.A 如图,易知 A c,bca ,直线BF 的方程为y=ba(x-c),直线OB 的方程为y=-bax,联立得B c2,-bc2a ,ABOB=0,ABOB,bca+bc2ac-c2=ab a2=3b2,又c
13、2=a2+b2,c2=43a2,e2=c2a2=43,e=2 33.9.C 设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn,则vn=1000.90n-1.由1000.90n-160,得0.90n-10.6,则(n-1)ln 0.90ln 0.6ln 0.9-0.511-0.1054.87,则n5.87,故至少需要“打水漂”的次数为6.10.B 在f(1-x)=f(1+x)中,把x 换成1+x,得f(1-(1+x)=f(1+(1+x),即f(x+2)=f(-x);把 x 换 成 1-x,得 f(1-(1-x)=f(1+(1-x),即 f(x)=f(2-x).根 据f(-x)+f(x)=0,得f(x+2)
14、+f(2-x)=0,在y=f(x)的图 象 上 任 取 一 点 P(2+x,y),则y=f(x+2)=-f(2-x),即点 P(2-x,-y)在y=f(x)的图象上,而点 P(2+x,y)和点 P(2-高三理科数学试题答案 第2页,共4页x,-y)关于点(2,0)对称,所以由点 P 的任意性,知函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称.11.C 由题意可知,MPPA,MPPD.且PA PD=P,PA 平 面 PAD,PD 平 面PAD,所以 MP平面PAD.设ADP 的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得ADsinAPD=2r,即4sin 150=2r,所以r=4.设三棱锥 M-PAD 的外接
15、球的半径为R,则R2=PM2 2+r2=1+16=17,所以外接球的表面积为4R2=68.12.A 当x1时,f(x)=ln x,所以f(x)=1x,得f(1)=1,所以函数f(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1,令g(x)=|x-k|,它与横轴的交点坐标为(k,0).在 同 一 直 角 坐 标 系 内 画 出 函 数 f(x)=0,x1,ln x,x1 和g(x)=|x-k|的图象如图所示,利用数形结合思想可知,不等式f(x)|x-k|对任意的xR恒成立,则实数k 的取值范围是k1.13.-80解析 (1-2x)5 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk+1=Ck5(-2x)k=Ck5(
16、-2)kxk,令k=3,所以x3 的系数为 C35(-2)3=-80.14.6解析 ac=2a2-ab=2-1112=32,c2=4a2-4ab+b2=4-41112+1=3,|c|=3,cos=ac|a|c|=321 3=32.又0,=6.15.4x+y-1=0解析 由题意得f(x)=(x3+3x2-mx-m)ex-1,则f(1)=4-2m,所以切线的斜率k1=4-2m,直线x-4y-1=0的斜率k2=14.因为两直线相互垂直,所以k1k2=14(4-2m)=-1,解得 m=4,则k1=f(1)=-4,所以f(x)=(x3-4x)ex-1,则f(1)=-3,故 该 切 线 的 方 程 为 y
17、+3=-4(x-1),即4x+y-1=0.16.解析 y=sin x 的最小正周期是2,y=12sin 2x的最小正周期是22=,所以f(x)=sin x+12sin 2x 的最小正周期是2,故正确;当f(x)=sin x+12sin 2x=0,x0,2时,sin x+sin xcos x=0,即sin x(1+cos x)=0,即sin x=0或1+cos x=0,解得x=0或x=或x=2,所以f(x)在0,2上有3个零点,故正确;f(x)=sin x+12sin 2x=sin x+sin xcos x,f(x)=cos x+cos2x-sin2x=2cos2x+cos x-1,令f(x)=
18、0,解得cos x=12或cos x=-1,当x 0,3 或x 53,2 时,12cos x0,则 f(x)在 0,3 ,53,2 上单调递增,当x 3,53 时,-1cos x12,此时f(x)0但不恒为0,则f(x)在 3,53 上单调递减,则当x=3 时,函数 f(x)取得最大 值,为 f 3 =sin3+12sin23=32+34=3 34,故 正 确,错误.17.解(1)设等差数列an的公差为d(d0).由题意知 a1+d=3,(a1+d)2=a1(a1+4d),(2分)解得 a1=1,d=2.所以an=2n-1.(5分)(2)由(1)可得,an+2=2n+1,Sn=(a1+2)+(
19、a2+2)+(a3+2)+(an-1+2)+(an+2)=3+5+7+(2n-1)+(2n+1)=(2n+1+3)n2=n2+2n.(8分)所以bn=121n-1n+2 ,高三理科数学试题答案 第3页,共4页所以Tn=b1+b2+b3+bn-1+bn=121-13 +12-14 +13-15 +1n-1-1n+1 +1n-1n+2 =12 1+12-1n+1-1n+2 =34-2n+32(n+1)(n+2).(12分)18.(1)证明 连接 AC 交DB 于E,连接GE,在 AMC 中,G,E 分 别 是CM,CA 的中点,所以GEAM.因为GE平面 AMN,AM 平面 AMN,所以GE平面
20、AMN.又菱形 DBNM 中,MNBD,同理可证BD平面 AMN.又因为BDGE=E,BD,GE平面 GBD,所以平面GBD平面 AMN.(5分)(2)解 连接 ME,由菱形 ABCD 与菱形 DBNM全等且MDB=DAB,可得出 AD=AB=BD,DM=BD=MB.所以 MEBD,又平面 ABCD 平面 MNBD 且平面ABCD平面 MNBD=BD,所以 ME平面 ABCD.(7分)则以E 为坐标原点,EA 为x 轴,EB 为y 轴,EM为z 轴,建立空间直角坐标系,令 AB=2,则 A(3,0,0),D(0,-1,0),M(0,0,3),N(0,2,3),则 AM=(-3,0,3),AN=
21、(-3,2,3),AD=(-3,-1,0),设平面 AMN 的法向量为n=(x,y,z),则由 AMn=0,ANn=0,得-3x+3z=0,-3x+2y+3z=0,则可令x=1,得y=0,z=1,平面 AMN 的一个法向量n=(1,0,1),(10分)设直线 AD 与平面AMN 所成的角为,sin=|cos|=32 4=64,则直线 AD 与平面AMN 所成角的正弦值为 64.(12分)19.解(1)依题意,完善表格如下:不升级5G升级5G总计男性用户6713女性用户14317总计201030(2分)K2=30(147-63)2201013174.3443.841,(4分)故有 95%的 把
22、握 认 为 用 户 升 级 5G 套 餐 与 性 别有关.(6分)(2)依题意知 X 的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C26C07C213=526,P(X=1)=C16C17C213=713,P(X=2)=C06C27C213=726,(8分)所以 X 的分布列为X012P526713726(10分)所以E(X)=0526+1713+2726=1413.(12分)20.解(1)设点P(x,y),则|x-6|=2(x-1)2+y2+2(x0显然成立.所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=-6m3m2+4 2+363m2
23、+4=12 m2+13m2+4,(8分)故S1+S2=12|OA|y1|+12|OA|y2|=高三理科数学试题答案 第4页,共4页12|OA|y1-y2|=12 m2+13m2+4.设t=m2+1,t1,则 m2=t2-1,则S1+S2=12t3t2+1=123t+1t.(10分)因为t1,所以3t+1t 4(当且仅当t=1时,等号成立).(11分)故S1+S2=123t+1t3,即S1+S2 的最大值为3.(12分)21.(1)解 f(x)=1x+aln x,x(0,+).f(x)=-1x2+ax=ax-1x2.(2分)当a0时,f(x)0时,由f(x)0,得0 x0,得x1a,所 以 函
24、数 f(x)在 0,1a 上 单 调 递 减,在1a,+上单调递增.(4分)(2)证 明 当 a=1 时,要 证 f(x)+g(x)-1+ex2 ln xe,即证1x+exx-ex2ln x-e0ex-ex+1eln xx.(6分)令F(x)=ex-ex+1,x(0,+),则F(x)=ex-e,当x(0,1)时,F(x)0,此时函数 F(x)单调递增.所以当x=1时,函数F(x)取得最小值,为1.(8分)令G(x)=eln xx,则G(x)=e(1-ln x)x2,当0 x0,此时函数G(x)单调递增;当xe时,G(x)G(x),即ex-ex+1eln xx.故当a=1时,f(x)+g(x)-
25、1+ex2 ln xe.(12分)22.解(1)由x=6-22t,y=22t(t是参数)消去参数t,可得直线l的普通方程为x+y-6=0.由=2 2cos-4 得=2cos+2sin,则有2=2cos+2sin,可得x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2,可知曲线C 是以(1,1)为圆心,2为半径的圆,则曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x=1+2cos,y=1+2sin (是参数).(5分)(2)如图,过点 A 作AH l于点 H,则|AB|=2|AH|,所以求|AB|的 最 值 转 化 为 求|AH|的最值,即转化为求圆上的点到直线l的距离的最值.易知圆心(1,1)到直
26、线l的距离为2 2,所以可知|AH|的最大值为3 2,最小值为 2,故|AB|的最大值为6,最小值为2.(10分)23.(1)解 因为 m+n=0,所以f(x)=2|x+m|.(1分)不等式f(x)6即|x+m|3,解得x3-m 或x-3-m,因此3-m=1且-3-m=-5,解得 m=2.(3分)故 m=2,n=-2,从而 mn=-4.(5分)(2)证明 由于 m,n 均为正实数,所以f(x)=|x+m|+|x-n|(x+m)-(x-n)|=m+n,(7分)而 m+n=1m+14n (m+n)=54+nm+m4n54+2nm m4n=94,当且仅当nm=m4n,即 m=2n 时取等号.(9分)故f(x)94.(10分)
