1、第22章 二次函数一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）Ay=x2By=Cy=kx2Dy=k2x2是二次函数，则m的值为（）A0，2B0，2C0D23在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）ABCD4某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：x54321y7.52.50.51.50.5根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A该抛物线的对称轴是直线x=2B该抛物线与y轴的交点坐标为（0，2.5）Cb24ac=0D若点A（0，5，y1）是该抛物线上一点则y12.
2、55关于抛物线y=x22x+1，下列说法错误的是（）A开口向上B与x轴有两个重合的交点C对称轴是直线x=1D当x1时，y随x的增大而减小6已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是（）A1x4B1x3Cx1或x4Dx1或x37二次函数y=x22x2与坐标轴的交点个数是（）A0个B1个C2个D3个8已知关于x的方程ax+b=0（a0）的解为x=2，点（1，3）是抛物线y=ax2+bx+c（a0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（）A（2，3）B（0，3）C（1，3）D（3，3）9二次函数y=x2+2x+4的最大值为（）A3B4C5D610已知抛物线y=
3、ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：abc0；a+b+c=2；a；b1其中正确的结论是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11已知函数是关于x的二次函数，则m的值为112如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是2x113若二次函数的图象开口向下，且经过（2，3）点符合条件的一个二次函数的解析式为y=x22x+514已知点P（m，n）在抛物线y=ax2xa上，当m1时，总有n1成立，则a的取值范围是a015二次函数y=ax2（a0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1y2（填“”或“”）1
4、6二次函数y=x2+2x+2的最小值为1三、解答题（共8题，共72分）17已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式18已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；（2）如果x=1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；（3）在（2）的条件下，写出y的最小值19如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0x3时，求y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若SPAB=10，求出此时点P的坐标20如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个
5、公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式21如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？22某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23如图，顶点为M
6、的抛物线y=a（x+1）24分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断BCM是否为直角三角形，并说明理由24如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PHl，垂足为H，连接PO（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）当P点运动到A点处时，计算：PO=5，PH=5，由此发现，PO=PH（填“”、“”或“=”）；当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，设点C（1，
7、2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由第22章 二次函数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）Ay=x2By=Cy=kx2Dy=k2x【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a0）是二次函数【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；B、是分式方程，故B错误；C、k=0时，不是函数，故C错误；D、k=0是常数函数，故D错误；故选：A【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a0）是二次函数2是二次函
8、数，则m的值为（）A0，2B0，2C0D2【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2，从而求得m的值【解答】解：是二次函数，解得：m=2，故选D【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为03在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）ABCD【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，a0，x=0，
9、得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，故本选项错误故选：A【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法4某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：x54321y7.52.50.51.50.5根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A该抛物线的对称轴是直线x=2B该抛物线与y轴的交点坐标为（0，2.5）Cb24ac=0D若点A（0，5，y1）是该抛物
10、线上一点则y12.5【考点】二次函数的图象【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可【解答】解：A、正确因为x=1或3时，y的值都是0.5，所以对称轴是x=2B、正确根据对称性，x=0时的值和x=4的值相等C、错误因为抛物线与x轴有交点，所以b24ac0D、正确因为在对称轴的右侧y随x增大而减小故选C【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型5关于抛物线y=x22x+1，下列说法错误的是（）A开口向上B与x轴有两个重合的交点C对称轴是直线x=1D当x1时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的图象
11、【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论【解答】解：画出抛物线y=x22x+1的图象，如图所示A、a=1，抛物线开口向上，A正确；B、令x22x+1=0，=（2）2411=0，该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；C、=1，该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；D、抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，当x1时，y随x的增大而增大，D不正确故选D【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图
12、象，利用数形结合来解决问题是关键6已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是（）A1x4B1x3Cx1或x4Dx1或x3【考点】抛物线与x轴的交点【专题】计算题【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（1，0），对称轴为x=1，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），y0时，函数的图象位于x轴的下方，且当1x3时函数图象位于x轴的下方，当1x3时，y0故选B【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一
13、道不错的考查二次函数图象的题目7二次函数y=x22x2与坐标轴的交点个数是（）A0个B1个C2个D3个【考点】抛物线与x轴的交点【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b24ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断【解答】解：=（2）241（2）=120，二次函数y=x22x2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点二次函数y=x22x2与坐标轴的交点个数是3个故选D【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）
14、的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数；=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点8已知关于x的方程ax+b=0（a0）的解为x=2，点（1，3）是抛物线y=ax2+bx+c（a0）上的一个点，则下列四个点中一定在该抛物线上的是（）A（2，3）B（0，3）C（1，3）D（3，3）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】根据一次方程ax+b=0（a0）的解为x=2得出b=2a，由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=1，找出点（1，3）关于
15、对称轴对称的点，即可得出结论【解答】解：关于x的方程ax+b=0（a0）的解为x=2，有2a+b=0，即b=2a抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴x=1点（1，3）是抛物线上的一点，点（3，3）是抛物线上的一点故选D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=1本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出抛物线的对称轴，找出已知点关于对称轴对称的点即可9二次函数y=x2+2x+4的最大值为（）A3B4C5D6【考点】二次函数的最值【专题】计算题【分析】先利用配方法得到y=（x1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解【解答】解：y=（x1）2+
16、5，a=10，当x=1时，y有最大值，最大值为5故选：C【点评】本题考查了二次函数的最值：当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=；当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值10已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，
17、则下列结论：abc0；a+b+c=2；a；b1其中正确的结论是（）ABCD【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】压轴题【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：抛物线的开口向上，a0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c0，对称轴为x=0，a、b同号，即b0，abc0，故本选项错误；当x=1时，函数值为2，a+b+c=2；故本选项正确；对称轴x=1，解得：a，b1，a，故本选项错误；当x=1时，函数值0，即ab+c0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2b代入（1），22b0
18、，b1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是；故选D【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0；否则a0（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c0；否则c0（4）b24ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b24ac0；1个交点，b24ac=0；没有交点，b24ac0（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=1时，可确定ab+c的符号（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11已知函数是关于x的二
19、次函数，则m的值为1【考点】二次函数的定义【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可【解答】解：根据题意得：，解得：m=1故答案是：1【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m10是关键12如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是2x1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2y1时，x的取值范围【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（2，0），（1，3），当有y2y1时，有2x1，故答案为：2x1【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的
20、数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势13若二次函数的图象开口向下，且经过（2，3）点符合条件的一个二次函数的解析式为y=x22x+5【考点】二次函数的性质【专题】开放型【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一【解答】解：若二次函数的图象开口向下，且经过（2，3）点，y=x22x+5符合要求答案不唯一例如：y=x22x+5【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数14已知点P（m，n）在抛物线y=ax2xa上，当m1时，总有n
21、1成立，则a的取值范围是a0【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示由已知得：，解得：a0故答案为：a0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键15二次函数y=ax2（a0）的图象经过点（1，y1）、（2，y2），则y1y2（填“”或“”）【考点】二次函数图象上
22、点的坐标特征；二次函数的性质【分析】根据a0，结合二次函数的性质即可得出“当x0时，二次函数y值随着x值的增大而增大”，再由012即可得出结论【解答】解：a0，且二次函数的对称轴为x=0，当x0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，012，y1y2故答案为：【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是找出当x0时，函数为增函数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键16二次函数y=x2+2x+2的最小值为1【考点】二次函数的最值【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可【解答】解：配方
23、得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1，当x=1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1故答案是：1【点评】本题考查了二次函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法三、解答题（共8题，共72分）17已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式【考点】待定系数法求二次函数解析式【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2+2，然后把（0，4）代入求出a的值即可【解答】解：顶点坐标为（1，1），设抛物线为y=a（x1）2+1，抛物线经过点（2，3），3=a（21
24、）2+1，解得：a=2y=2（x1）2+1=2x24x+3【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解18已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，（1）根据表格中的数据，确定v的函数式；（2）如果x=1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；（3）在（2）的条件下，写出y的
25、最小值【考点】二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式【专题】计算题【分析】（1）v是x的一次函数，可设v=kx+b，然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b即可；（2）由于u与x的平方成正比，则设u=ax2，所以y=ax2+2x1，根据二次函数的最值问题得到=1，解得a=1，由此得到y关于x的函数式；（3）把x=1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可【解答】解：（1）设v=kx+b，把（0，1）、（1，1）代入得，解得，v=2x1；（2）设u=ax2，则y=ax2+2x1，当x=1时，y=ax2+2x1取最小值，抛物线的对称轴为直线x=1，即，a=1，y=x
26、2+2x1，（3）把x=1代入y=x2+2x1得y=121=2，即y的最小值为2【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a0）的最值：当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=；当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=19如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0x3时，求y的取值范围；（3）点P为抛物线上一点，若SPAB=10，求出
27、此时点P的坐标【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及SPAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标【解答】解：（1）把A（1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，得：，解得：，抛物线的解析式为y=x22x3y=x22x3=（x1）24，顶点坐标为（1，4）（2）由图可得当0x3时，4y0（3）A（1，0）、B（3，0），AB=4设P（x，y），则SPAB
28、=AB|y|=2|y|=10，|y|=5，y=5当y=5时，x22x3=5，解得：x1=2，x2=4，此时P点坐标为（2，5）或（4，5）；当y=5时，x22x3=5，方程无解；综上所述，P点坐标为（2，5）或（4，5）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键20如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴
29、于点C，且点C是线段AB的中点（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式【专题】计算题【分析】（1）利用=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a24a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式【解答】解：（1）抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，=4a24a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，抛物线解析式为y=x
30、2+2x+1；（2）y=（x+1）2，顶点A的坐标为（1，0），点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（1，0），B（1，4）代入得，解得，直线AB的解析式为y=2x+2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点也考查了利用待定系数法求函数解析式21
31、如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=（30x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式【解答】解：AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，BC=（30x），菜园的面积=ABBC=（30x）x，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=x2+15x【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，
32、本题的难点在于得到BC长22某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）根据题意得：y=（200+20x）（6x）=20x280x+1200（2）令y=20x280
33、x+1200中y=960，则有960=20x280x+1200，即x2+4x12=0，解得：x=6（舍去），或x=2答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键23如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）24分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断BCM是否为直角三角形，并说明理由【考点】抛物线与x轴的交点；待定系
34、数法求二次函数解析式【分析】（1）将点C坐标代入解析式求得a即可；（2）先根据抛物线解析式求得点M、B、C的坐标，继而可得线段BC、CM、BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断【解答】解：（1）抛物线y=a（x+1）24与y轴相交于点C（0，3）3=a4，a=1，抛物线解析式为y=（x+1）24=x2+2x3，（2）BCM是直角三角形由（1）知抛物线解析式为y=（x+1）24，M（1，4），令y=0，得：x2+2x3=0，x1=3，x2=1，A（1，0），B（3，0），BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，BC2+CM2=BM2，BCM是直角三角形【点评】本题主要考
35、查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键24如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PHl，垂足为H，连接PO（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）当P点运动到A点处时，计算：PO=5，PH=5，由此发现，PO=PH（填“”、“”或“=”）；当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，设点C（1，2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与AB
36、C相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）求出PO、PH即可解决问题结论：PO=PH设点P坐标（m， m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m， m2+1），由=列出方程即可解决问题【解答】（1）解：抛物线y=ax2+1经过点A（4，3），3=16a+1，a=，抛物线解析式为y=x2+1，顶点B（0，1）（2）当P点运动到A点处时，PO=5，PH=5，PO=PH，故答案分别为5，5，=结论：PO=PH理由：设点P坐标（m， m2+1），PH=2（m2+1）=m2+1PO=m2+1，PO=PH（3）BC=，AC=，AB=4BC=AC，PO=PH，又以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似，PH与BC，PO与AC是对应边，=，设点P（m， m2+1），=，解得m=1，点P坐标（1，）或（1，）【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题
