1、高一数学下学期期末备考正弦定理、余弦定理考点练习正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin Absin Bcsin C2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2RsinC；(2)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Ab2c2a22bc；cos Bc2a
2、2b22ac；cos Ca2b2c22ab考点 1：利用正弦定理解三角形例 1(2019辽宁沈阳模拟)已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A6，B4，a1，则 b()A2B1C3D2【答案】D由正弦定理得 basin Bsin A22122.练习 1(2019山东烟台模拟)在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asinB3b，则角 A_.【答案】32asin B3b，2sin Asin B3sin B，得 sin A32，A3或 A23，ABC 为锐角三角形，A3.利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边，如 A，B
3、，a由 ABC180，求出 C；根据正弦定理，得asin Absin B及asin Acsin C，求出边 b，c.已知两边及其中一边所对的角，如 a，b，A根据正弦定理，经讨论求 B；求出 B 后，由 ABC180，求出C；再根据正弦定理asin Acsin C，求出边 c.考点 2：利用余弦定理解三角形例 2(2019山东济南期中)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2ac，c2a，则 cos C()A24B24C34D34【答案】B由题意得，b2ac2a2，即 b2a，cos Ca2b2c22aba22a24a22a2a24.练习 2(2017全国卷)ABC 的内
4、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B_.【答案】3方法一由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又 ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又 sin B0，cos B12.B3.方法二在ABC 中，acos Cccos Ab，条件等式变为 2bcos Bb，cos B12.又 0B0，sin A1，即 A2，ABC 为直角三角形变式探究 1本题 1 中，若将条件变为 2sin Acos Bsin
5、C，判断ABC 的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又 A，B 为ABC 的内角AB，ABC 为等腰三角形变式探究 2本题 1 中，若将条件变为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断ABC 的形状解a2b2c2ab，cos Ca2b2c22ab12，又 0CBabsin Asin Bcos A0，sin A12.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc82bc4bc0，cos A32，bc4cos A833，SABC12bcsin A1283312233.考点 5 求
6、解几何计算问题例 5、如图，在ABC 中，B3，BC2，点 D 在边 AB 上，ADDC，DEAC，E 为垂足(1)若BCD 的面积为33，求 AB 的长；(2)若 DE62，求角 A 的大小解(1)BCD 的面积为33，B3，BC2，122BDsin333，BD23.在BCD 中，由余弦定理可得CDBC2BD22BCBDcos B449222312273.ABADBDCDBD273232723.(2)DE62，CDADDEsin A62sin A.在BCD 中，由正弦定理可得BCsin BDCCDsin B.BDC2A，2sin 2A62sin Asin3，cos A22.A4.练习 5、(
7、2018北京卷)在ABC 中，a7，b8，cos B17.(1)求A；(2)求 AC 边上的高解(1)在ABC 中，因为 cos B17，所以 sin B1cos2B437.由正弦定理得 sin Aasin Bb32.由题设知2B，所以 0A2.所以A3.(2)在ABC 中，因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3314，所以 AC 边上的高为 asin C73314332.考点 6 三角函数求值问题例 6、(2018天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin AacosB6.(1)求角 B 的大小；(2)设 a2，c3，
8、求 b 和 sin(2AB)的值解(1)在ABC 中，由正弦定理asin Absin B，可得 bsin Aasin B.又由 bsin AacosB6，得 asin BacosB6，即 sin BcosB6，所以 tan B3.又因为 B(0，)，所以 B3.(2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B3，得 b2a2c22accos B7，故 b7.由 bsin AacosB6，可得 sin A37.因为 ac，所以 cos A27.因此 sin 2A2sin Acos A437，cos 2A2cos2A117.所以 sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B4371
9、217323314.考点 7 解三角形综合问题例 7、(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC22，求 BC.解(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsinAABsinADB即5sin 452sinADB，所以 sinADB25由题设知，ADB90，所以 cosADB1225235(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB25在BCD 中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825222525所以 BC5练习 7、(2019广东惠州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足(2bc)cos Aacos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 a13，bc5，求ABC 的面积解(1)ABC 中，由条件及正弦定理得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin Bsin B0，2cos A1，A(0，)，A3.(2)a13，bc5，a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos3523bc13，bc251334，SABC12bcsin A124sin33.
