1、第2课时一元二次不等式的应用目标 1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题重点 利用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题难点 从实际问题中建立一元二次不等式的模型知识点一 简单的分式不等式的解法 填一填若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式0(或0f(x)g(x)0；(2)0f(x)g(x)0；(3)0；(4)0.答一答1不等式0的解集为.解析：原不等式可以化为(2x1)(2x1)0，即4或x2解析：原不等式等价于解得x4或x2，故不等式的解集是x|x4或x2知识点二 不等式中的恒成立问题 填一填
2、1不等式的解集为R的条件2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法ya恒成立ymaxaya恒成立ymina答一答3不等式f(x)ax2bxc0)在x|mxn上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：知识点三 一元二次不等式的实际应用 填一填对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言，从而把实际问题转换成数学问题同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑答一答4解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；(3)解不等
3、式(或求函数最值)；(4)回扣实际问题类型一 简单的分式不等式的解法例1解下列不等式(1)0；(2)1.分析等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组解(1)0x或x，原不等式的解集为x|x，或x(2)方法一：原不等式可化为或或3x.原不等式的解集为x|3x000(2x1)(x3)03x.原不等式的解集为x|3x(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解变式训练1(1)下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是(
4、A)Ax1 B1x0C0x1(2)不等式：1的解集为x|1x1解析：(1)由xx2可得即解得所以x0，所以原不等式可化为x2x2x1，即x210，解得1x1，所以原不等式的解集为x|1x1类型二 不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题例2关于x的不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，求实数a的取值范围分析解(1)若a210，即a1时，若a1，不等式变化为10，解集为R；若a1，不等式变为2x10，解集为x|xa1时满足条件(2)若a210，即a1时，原不等式解集为R的条件是解得a1.综上所述，当a1时，原不等式解集为R.变式训练2若不等式(a2)x22(a2)x
5、40对一切xR恒成立，则a的取值范围是2a2.解析：当a20，即a2时，不等式为40，恒成立，解集为R，a2满足条件；当a20时，则原不等式解集为R时，a满足解得2a2.综上所述，a的范围是2a2.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题例3已知yx2ax3a，若x|2x2，y2恒成立，求a的取值范围分析对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化解若xx|2x2，y2恒成立可转化为：xx|2x2，ymin2或或解得a的取值范围为5a22.ay或ay型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由ay在xD上恒成立，则aymax(xD，y存在最大值)；
6、ay在xD上恒成立，则aymin(xD，y存在最小值).变式训练3若1x4，不等式x2(a2)x4a1恒成立，求实数a的取值范围解：1x4，不等式x2(a2)x4a1恒成立，即1x4，a(x1)x22x5恒成立当x1时，不等式为04恒成立，此时aR；当1x4时，ax1.1x4，0x13，x124(当且仅当x1，即x3时取等号)，a4.综上，实数a的取值范围为a|a4类型三 一元二次不等式的实际应用例4某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购
7、量可增加2x个百分点(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元依题意得y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，解得42x2.又因为0x10，所以0x2.故x的取值范围是0x2.解不等式应用题的步骤变式训练4某商品每件的成本价为80元，售价为100元
8、，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，则售出商品的数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若要求该商品一天的销售额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)若售价降低x成，则降低后的商品售价为100元，售出商品的数量为100件，由题意，得y与x之间的函数关系式为y100100.因为售价不能低于成本低，所以100800，解得x2，所以y20(10x)(508x)，x的取值范围为x|0x2(2)由题意，得20(10x)(508x)10 260，化简得8x230x130，解得x，因为0x2，所以x的取值
9、范围是x2.1若集合Ax|12x13，B，则AB(B)Ax|1x0 Bx|0x1Cx|0x2 Dx|0x1解析：Ax|1x1，Bx|0x2，ABx|0x12已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是(A)A4a4 B4a4Ca4或a4 Da4解析：依题意应有a2160，解得4a4，故选A.3不等式3的解集为.解析：3300x(2x1)0且x0x0或x.4已知函数f(x)x2mx1，若对于任意的mxm1都有f(x)0，则实数m的取值范围为m0.解析：根据题意得解得m0.5已知当2x3时，不等式2x29xa0恒成立求a的取值范围解：当2x3时，2x29xa0恒成立，当2x3时，a2x29x恒成立令g(x)2x29x，2x3，且对称轴方程为x，g(x)ming(3)9，a9.a的取值范围为ay恒成立aymax；(2)ay恒成立aymin.3解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解4一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑
