1、第 3 章 第 3 节 一、选择题1(2010山东理)由曲线 yx2，yx3 围成的封闭图形面积为()A.112BC.13D.712答案 A 解析 由yx2yx3 得交点为(0,0)，(1,1)S01(x2x3)dx13x314x401 112.2已知 f(x)为偶函数且06f(x)dx8，则66f(x)dx 等于()A0 B4 C8 D16答案 D解析 原函数为偶函数，在 y 轴两侧的图像对称对应的面积相等原式206f(x)dx8216.3(2011沈阳)由三条直线 x0，x2，y0 和曲线 yx3 所围成的图形的面积为()A4 B.43C.185D6答案 A解析 S02x3dxx44024
2、.4若1a2x1x dx3ln2，则 a 的值为()A6 B4 C3 D2答案 D解析 1a2x1x dx(x2lnx)|1aa2lna(12ln1)a2lna13ln2a2.5函数 F(x)0 xt(t4)dt 在1,5上()A有最大值 0，无最小值B有最大值 0 和最小值323C有最小值323，无最大值D既无最大值也无最小值答案 B解析 F(x)x(x4)令 F(x)0，得 x10，x24，F(1)73，F(0)0，F(4)323，F(5)253.最大值为 0，最小值为323.6用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是()A.acf(x)dxB|acf(x)dx|C.abf(x)dx
3、bcf(x)dxD.bcf(x)dxabf(x)dx答案 D解析 由定积分的几何意义知：在 x 轴上方的阴影部分的面积为bcf(x)dx，则在 x 轴下方的阴影部分，由于 f(x)0，故abf(x)dx0.那么力 F 使物体从 x1 点运动到 x1 点做功大小为()A0 B.116C.56D1答案 B解析 11F(x)dx01|x|dx01(x21)dx01(x)dx01(x21)dx12(1)213131116.8设 f(x)x2 x，1，2x x1，则02f(x)dx()A.34B.45C.56D不存在答案 C解析 如图，02f(x)dx01x2dx12(2x)dx13x3|012x12x
4、212131256.二、填空题9.34|x2|dx_.答案 292解析 原式42(x2)dx32(x2)dx292.10一物体以初速度 v9.8t6.5m/s 的速度自由落下，则下落后第二个 4s 内经过的路程是_答案 261.2m解析 48(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)|484.9646.584.9166.54313.65278.426261.2.11如果01f(x)dx1，02f(x)dx1，则12f(x)dx_.答案 2解析 01f(x)dx12f(x)dx02f(x)dx，12f(x)dx02f(x)dx01f(x)dx112.三、解答题12求下列定积分：13已知 f(x
5、)为二次函数，且 f(1)2，f(0)0，01f(x)dx2，(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在1,1上的最大值与最小值解析(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x)2axb.由 f(1)2，f(0)0，得abc2b0，即c2ab0，f(x)ax2(2a)又01f(x)dx01ax2(2a)dx13ax3(2a)x|01223a2，a6，从而 f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1当 x0 时，f(x)min4；当 x1 时，f(x)max2.14如图所示，直线 ykx 分抛物线 yxx2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k的值解析 抛物线 yxx
6、2 与 x 轴两交点的横坐标为 x10，x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 16(1k)3.又知 S16，所以(1k)312，于是 k13 42.15设 yf(x)是二次函数，方程 f(x)0 有两个相等的实根，且 f(x)2x2.(1)求 yf(x)的表达式；(2)求 yf(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积(3)若直线 xt(0t1)，把 yf(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t的值解析(1)设 f(x)ax2bxc，则 f(x)2axb，又已知 f(x)2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程 f(x)0 有两个相等的实根，判别式 44c0，即 c1.故
7、 f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积10(x22x1)dx(3)依题意有1t(x22x1)dx0t(x22x1)dx.13t3t2t1313t3t2t，2t36t26t102(t1)31，于是 t1 13 2.教师备课平台 导数复习的关键问题导数是高中数学的重要内容之一，又是高中数学的重要工具，在高考中占有举足轻重的地位，可以说这部分内容掌握的好坏，直接决定着高考中数学科能不能取得高分在解答与此知识点相关的问题时，要注意以下几个关键点：一、切记函数的定义域研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错例 1 讨论函数 f(x)ln(2x3)x2 的单调性分析 求出 f(x)的导
8、数后，解不等式即可解析 f(x)的定义域为32，.f(x)22x32x4x26x22x322x1x12x3.当32x0；当1x12时，f(x)12时，f(x)0.从而，f(x)分别在区间32，1，12，上单调递增，在区间1，12 上单调递减点评 本题如果没有定义域优先的意识，单从 f(x)22x1x12x3来看，极易把单调减区间写成，32 和1，12.二、清晰理解导数的定义从三个方面理解导数的定义：1函数 f(x)在某一点 x0 处的导数：f(x0)limx0fx0 xfx0 x.2函数 f(x)在开区间(a，b)内的导数：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，对于开区间(a，b)内的每
9、一个 x0，都对应着一个导数 f(x0)，这样 f(x)在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新的函数叫作 f(x)在开区间(a，b)内的导函数记作 f(x)ylimx0yxlimx0fxxfxx，导函数也简称为导数3导数的定义的等价形式f(x0)limx0fx0 xfx0 x的几种等价形式：f(x0)limxx0fxfx0 xx0limh0fx0hfx0hlimh0fx0fx0hh等例 2 已知函数 f(x)中，f(1)2，求limx0f12xf1x.分析 当 x0 时，2x0，只需将limx0f12xf1x变形为2limx0f12xf12x，即可用导数的定义解决解析 limx0f12x
10、f1x2 lim2x0f12xf12x2f(1)4.点评 函数在某一点 x0 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量 x 必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2x，12x 等三、准确掌握 f(x)取得极值的充要条件定义域 D 上的可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，并且 f(x)在 x0 两侧异号例 3 函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极小值 10，求 ab 的值分析 先由 f(1)10，f(1)0，列式求出 a、b，再验证在 x1 两侧的导数是不是异号解析 f(x
11、)3x22axb，由于函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极小值 10，所以f12ab30f1aba2110，解得a3b3或a4b11.当a3b3时，f(x)3x26x33(x1)2 在 x1 的左右两侧不变号，所以 x1 不是函数 f(x)的极小值点；当a4b11 时，f(x)3x28x11(x1)(3x11)，在 x1 的左侧为负、右侧为正，故 x1 是函数 f(x)的极小值点，所以 ab7.点评 f(x0)0 只是可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还得 f(x)在 x0 两侧异号四、全面把握函数单调性1在某个区间(a，b
12、)上，若 f(x)0，则 f(x)在这个区间上单调递增；若 f(x)0 或 f(x)0，当 f(x)0 时，函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递增，当 f(x)0 时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则 f(x)0，反之等号不成立3使 f(x)0 的离散的点不影响函数的单调性如 yxcosx.例 4 已知函数 f(x)x2ax(x0，aR)在区间2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围分析 只要 f(x)0 在2，)上恒成立，而只在一些离散的点处为 0 即可解析 f(x)2xax2，要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需当 x2 时，
13、f(x)0恒成立，即 2xax20，则 a2x316，)恒成立，故当 a16 时，f(x)在区间2，)上是增函数点评 本题仅在 x3 a2处 f(x)0.五、充分注意函数的不可导点有些函数存在不可导点，如果不注意，将会发生错误例 5 已知 aR，求函数 f(x)x2|xa|的极值点分析 这个函数有一个不可导点 xa，而且这个点也是函数 f(x)的极值点，在讨论函数的极值点时把它一起讨论，其余的极值点用导数去处理解析(1)当 a0 时，f(x)x2|xa|x3ax2 xaax2x3 xa，作出其草图如下，易知 f(x)有两个(常规)极值点x10，x22a3，有一个不可导点 xa，而且这个点也是函
14、数 f(x)的极值点，借助于图像可知 x0，xa 是函数的极小值点，x2a3 是函数的极大值点(2)当 a0 时，f(x)x2|x|x3 x0 x3x 1n2 1n3都成立分析 由于 n 是正整数，故1n(0,1，所证的不等式即 1n3 1n2ln(11n)0，构造函数 f(x)x3x2ln(x1)，只需证明它在(0,1上大于 0 即可解析 令 f(x)x3x2ln(x1)，则 f(x)3x3x12x1在(0,1上恒正，f(x)在(0,1上单调递增，当 x(0,1时，恒有 f(x)f(0)0，即当 x(0,1时，有 x3x2ln(x1)0，即 ln(x1)x2x3.对任意正整数 n，取 x1n
15、(0,1，得 ln1n1 1n2 1n3.点评 若令 f(n)1n31n2ln11n，则这个函数图像是离散的点，在每一处都不可导，就无法用导数去解决这个问题八、树立导数在解决函数问题时的应用意识例 8 已知函数 f(x)x28x，g(x)6lnxm，是否存在实数 m，使得 yf(x)的图像与yg(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由分析 由于 x0，函数 yf(x)的图像与 yg(x)的图像有且只有三个不同的交点方程x28x6lnxm0 在(0，)上有三个不等的实根(x)x28x6lnxm 的图像与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点结合函数图像
16、的特征即可解决问题解析 函数 yf(x)的图像与 yg(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图像与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6lnxm，(x)2x86x2x28x6x2x1x3x(x0)，当 x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当 x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当 x1 或 x3 时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)当 x 充分接近 0 时，(x)0， 要 使(x)的 图 像 与x轴 正 半 轴 有 三 个 不 同 的 交 点，必 须 且 只 需x极大值m70 x极小值m6ln3150，即 所以存在实数 m，使得函数 yf(x)与 yg(x)的图像，有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln3)点评 本题运用导数，通过对函数(x)单调区间的划分和极大值点、极小值点的讨论，明确了函数图像的大致形态使问题获得解决，是一道用导数解决函数问题的典型题目总之，在复习导数时，抓住关键，搞清“道理”，用“道理”去指导解题，是学好用好导数的关键
