1、 多 年 前，有 人 用 简 单 的 测 量 工 具 计 算 出 赤 道 的 长 度 这 个 人 就 是 古 希 腊 的 埃 拉 托 色 尼 埃 拉 托 色 尼 博 学 多 才，不 仅 通 晓 天文，而 且 熟 知 地 理，他 还 是 诗 人、历 史 学 家、语 言 学 家、哲 学 家，曾 担 任 过 亚 历 山 大 博 物 馆 的 馆 长 埃 拉 托 色 尼 是 首 先 使 用“地 理 学”名 称的 人，从 此 代 替 传 统 的“地 方 志”，写 成 了 三 卷 专 著，书 中 描 述 了 地 球 的 形 状、大 小 和 海 陆 分 布 图 形 的 相 似内 容 清 单能 力 要 求比 例
2、 的 基 本 性 质能 记 住 比 例 的 基 本 性 质，会 利 用 合 比 性 质、等 比 性 质 线 段 的 比、比 例 线 段能 说 出 比 例 线 段、比 例 中 项、第 四 比 例 等 概念 黄 金 分 割理 解 并 掌 握 黄 金 分 割 点，能 确 定 线 段 的 黄 金分 割 点 图 形 相 似 的 概 念会 利 用 相 似 定 义 进 行 相 似 的 判 断 相 似 图 形 的 性 质正 确 说 出 相 似 图 形 的 性 质 相 似 三 角 形 的 概 念会 利 用 相 似 三 角 形 的 定 义 进 行 相 似 三 角 形的 判 断 两 个 三 角 形 相 似 的 条
3、件掌 握 使 两 个 三 角 形 相 似 的 条 件，能 说 出 各 个相 似 条 件 的 联 系 利 用 位 似 将 图 形 放 大 或 缩 小会 利 用 位 似 性 质 进 行 图 形 的 放 大 或 缩 小 利 用 图 形 的 相 似 解 决 一 些 实 际问 题利 用 相 似 性 质 解 决 实 际 问 题 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （烟 台）如 图 是 跷 跷 板 示 意 图，横 板 犃 犅 绕 中 点 犗上 下转 动，立 柱 犗 犆 与 地 面 垂 直，设 点 犅 的 最 大 高 度 为 犺 若 将 横板 犃 犅 换 成 横 板 犃犅，且 犃犅 犃 犅，
4、犗 仍 为 犃犅 的 中 点，设点 犅 的 最 大 高 度 为 犺 ，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）犺 犺 犺 犺 犺 犺 犺 犺（第 题）（第 题）（潍 坊）如 图，已 知 矩 形 犃 犅犆 犇 中，犃 犅 ，在 犅犆 上 取 一 点犈，沿 犃 犈 将 犃 犅 犈 向 上 折 叠，使 点 犅 落 在 犃 犇 上 的 点 犉，若 四 边形 犈 犉 犇 犆 与 矩 形 犃 犅犆 犇 相 似，则 犃 犇 的 长 是（）槡 槡 槡 （泰 安）如 图，犃 犅 犆 犇，犈、犉 分 别 为 犃 犆、犅 犇 的 中 点，若犃 犅 ，犆 犇 ，则 犈 犉 的 长 是（）（第 题）（第 题）（聊 城）如
5、 图，在 犃 犅 犆 中，点 犇、犈 分 别 是 犃 犅、犃 犆 的中 点，则 下 列 结 论 不 正 确 的 是（）犅 犆 犇 犈 犃 犇 犈 犃 犅 犆 犃 犇犃 犈 犃 犅犃 犆 犛 犃犅 犆 犛 犃 犇 犈（第 题）（东 营）如 图，在 直 角 坐 标 系 中，矩形 犗 犃 犅 犆 的 顶 点 犗 在 坐 标 原 点，边 犗 犃 在狓 轴 上，犗 犆 在 狔 轴 上，如 果 矩 形 犗 犃犅犆与 矩 形 犗 犃 犅 犆 关 于 点 犗位 似，且 矩 形犗 犃犅犆 的 面 积 等 于 矩 形 犗 犃 犅 犆 面 积 的，那 么 点 犅 的 坐 标 是（）（，）（，）埃 拉 托 色 尼 还
6、 用 经 纬 网 绘 制 地 图，最 早 把 物 理 学 的 原 理 与 数 学 方 法 相 结 合，创 立 了 数 理 地 理 学 细 心 的 埃 拉 托 色 尼 还 发 现：离 亚 历 山大 城 约 千 米 的 塞 恩 城（今 埃 及 阿 斯 旺 附 近），夏 日 正 午 的 阳 光 可 以 一 直 照 到 井 底，因 而 这 时 候 所 有 地 面 上 的 直 立 物 都 应 该 没 有 影 子 但是，亚 历 山 大 城 地 面 上 的 直 立 物 却 有 一 段 很 短 的 影 子 （，）或（，）（，）或（，）（日 照）在 菱 形 犃 犅 犆 犇 中，犈 是 边 犅 犆 上 的 点，连
7、 结 犃 犈交 犅 犇 于 点 犉，若 犈 犆 犅 犈，则 犅 犉犉 犇的 值 是（）（第 题）（潍 坊）如 图，在 犃 犅 犆 中，犅 犆 ，犇 犈是 它 的 中 位 线 下 面 三 个 结 论：（）犇 犈 ；（）犃 犇 犈 犃 犅 犆；（）犃 犇 犈的 面 积 与 犃 犅 犆 的 面 积 之 比 为 其 中 正 确 的 有（）个 个 个 个 （泰 安）如 图，点 犉 是 平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇的 边 犆 犇上 一点，直 线 犅 犉 交 犃 犇的 延 长 线 与 点 犈，则 下 列 结 论 错 误 的 是（）犈 犇犈 犃 犇 犉犃 犅 犇 犈犅 犆 犈 犉犉 犅 犅 犆犇 犈 犅
8、 犉犅 犈 犅 犉犅 犈 犅 犆犃 犈（第 题）（第 题）（东 营）如 图，在 犃 犅 犆 中，点 犃、犅 在 狓 轴 的 上 方，点 犆的 坐 标 是（，）以 点 犆 为 位 似 中 心，在 狓 轴 的 下 方 作 犃 犅 犆 的 位 似 图 形 犃犅犆，并 把 犃 犅 犆 的 边 长 放 大 到 原 来的 倍 设 点 犅 的 对 应 点 犅 的 横 坐 标 是 犪，则 点 犅 的 横 坐标 是（）犪 （犪 ）（犪 ）（犪 ）二、填 空 题 （滨 州）如 图，锐 角 三 角 形 犃 犅 犆 的 边 犃 犅、犃 犆 上 的 高 线犆 犈、犅 犉 相 交 于 点 犇，请 写 出 图 中 的 两
9、对 相 似 三 角 形：（用 相 似 符 号 连 结）（第 题）（第 题）（威 海）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，犃 犅 犆 的 顶 点 坐标 分 别 为（，），（，），（，）已 知 犃 犅 犆 的 两 个 顶 点 的坐 标 分 别 为（，），（，）若 犃 犅 犆 和 犃 犅 犆 位 似，则 犃 犅 犆 的 第 三 个 顶 点 的 坐 标 为 （枣 庄）如 图，犇 犈 为 犃 犅 犆 的 中 位 线，点 犉 在 犇 犈 上，且 犃 犉 犅 ，若 犃 犅 ，犅 犆 ，则 犈 犉 的 长 为 （第 题）（滨 州）如 图，犃、犅 两 点 被 池 塘 隔 开，在 犃 犅 外 取 一 点
10、犆，连结 犃犆、犅犆，在 犃犆 上 取 一 点 犕，使 犃 犕 犕 犆，作 犕 犖 犃 犅 交犅犆 于 点 犖，量 得 犕 犖 ，则 犃 犅 的 长 为 （第 题）三、解 答 题 （莱 芜）如 图，抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮（犪 ）的 顶 点 坐 标为（，），并 且 与 狔 轴 交 于 点 犆（，），与 狓 轴 交 于 两 点 犃、犅（）求 抛 物 线 的 表 达 式；（）设 抛 物 线 的 对 称 轴 与 直 线 犅 犆 交 于 点 犇，连 结 犃 犆、犃 犇，求 犃 犆 犇 的 面 积；（）点 犈 为 直 线 犅 犆 上 一 动 点，过 点 犈 作 狔 轴 的 平 行 线 犈 犉，与
11、抛 物 线 交 于 点 犉 问 是 否 存 在 点 犈，使 得 以 犇、犈、犉 为顶 点 的 三 角 形 与 犅 犆 犗 相 似 若 存 在，求 出 点 犈 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由（第 题）（日 照）如 图，在 正 方 形 犃 犅 犆 犇 中，犈 是 犅 犆 上 的 一 点，连 结 犃 犈，作 犅 犉 犃 犈，垂 足 为 犎，交 犆 犇 于 点 犉，作 犆 犌 犃 犈，交 犅 犉 于 点 犌（）求 证 犆 犌 犅 犎；（）犉 犆 犅 犉 犌 犉；（）犉 犆 犃 犅 犌 犉犌 犅（第 题）埃 拉 托 色 尼 认 为：直 立 物 的 影 子 是 由 亚 历 山 大 城 的
12、阳 光 与 直 立 物 形 成 的 夹 角 所 造 成 从 地 球 是 圆 球 和 阳 光 直 线 传 播 这 两 个 前 提出 发，从 假 想 的 地 心 向 塞 恩 城 和 亚 历 山 大 城 引 两 条 直 线，其 中 的 夹 角 应 等 于 亚 历 山 大 城 的 阳 光 与 直 立 物 形 成 的 夹 角 按 照 相 似 三 角 形的 比 例 关 系，已 知 两 地 之 间 的 距 离，便 能 计 算 出 赤 道 的 长 度 （聊 城）如 图，在 矩 形 犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ，犅 犆 ，点 犈、犉、犌 分 别 从 点 犃、犅、犆 三 点 同 时 出 发，沿 矩 形 的边 按 逆
13、 时 针 方 向 移 动，点 犈、犌 的 速 度 均 为 ，点 犉 的 速度 为 ，当 点 犉 追 上 点 犌（即 点 犉 与 点 犌 重 合）时，三 个点 随 之 停 止 移 动 设 移 动 开 始 后 第 狋 秒 时，犈 犉 犌 的 面 积 为犛（）（）当 狋 秒 时，犛 的 值 是 多 少？（）写 出 犛 和 狋 之 间 的 函 数 解 析 式，并 指 出 自 变 量 狋 的 取 值范 围；（）若 点 犉 在 矩 形 的 边 犅犆 上 移 动，当 狋 为 何 值 时，以 点 犈、犅、犉为 顶 点 的 三 角 形 与 以 点 犉、犆、犌 为 顶 点 的 三 角 形 相 似？（第 题）年 全
14、 国 中 考 真 题 演 练一、选 择 题 （四 川 宜 宾）如 图，在 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，犇 犆 犃 犅，犆 犅 犃 犅，犃 犅 犃 犇，犆 犇 犃 犅，点 犈、犉 分 别 为 犃 犅、犃 犇 的 中 点，则 犃 犈 犉 与 多 边 形 犅 犆 犇 犉 犈 的 面 积 之 比 为（）（第 题）（第 题）（湖 北 荆 州）下 列 的 正 方 形 网 格 中，小 正 方 形 的 边长 均 为 ，三 角 形 的 顶 点 都 在 格 点 上，则 与 犃 犅 犆 相 似 的 三 角形 所 在 的 网 格 图 形 是（）（台 湾）如 图，边 长 的 正 方 形 犃 犅 犆 犇 中，有 一
15、个 小 正方 形 犈 犉 犌 犎，其 中 犈、犉、犌 分 别 在 犃 犅、犅 犆、犉 犇 上 若 犅 犉 ，则 小 正 方 形 的 边 长 为（）槡 （第 题）（第 题）（黑 龙 江 绥 化）如 图，在 平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，犈 是 犆 犇上 的 一 点，犇 犈 犈 犆 ，连 结 犃 犈、犅 犈、犅 犇，且 犃 犈、犅 犇 交于 点 犉，则 犛 犇 犈 犉 犛 犈犅 犉 犛 犃犅 犉 等 于（）（贵 州 毕 节）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 原 点 犗 为位 中 心，将 犃 犅 犗 扩 大 到 原 来 的 倍，得 到 犃犅犗 若 点 犃的 坐 标 是（，），
16、则 点 犃 的 坐 标 是（）（，）（，）（，）（，）（第 题）（第 题）（江 苏 无 锡）如 图，四 边 形 犃 犅 犆 犇 的 对 角 线 犃 犆、犅 犇 相交 于 点 犗，且 将 这 个 四 边 形 分 成 、四 个 三 角 形 若犗 犃 犗 犆 犗 犅 犗 犇，则 下 列 结 论 中 一 定 正 确 的 是（）与 相 似 与 相 似 与 相 似 与 相 似 （吉 林）如 图，在 犃 犅犆 中，犆 ，犇 是 犃犆 上 一 点，犇 犈 犃 犅 于 点 犈，若 犃犆 ，犅犆 ，犇 犈 ，则 犃 犇 的 长 为（）（第 题）（第 题）（浙 江 嘉 兴）如 图，已 知 犃 犇 为 犃 犅 犆 的
17、 角 平 分 线，犇 犈 犃 犅 交 犃 犆 于 点 犈，如 果 犃 犈犈 犆 ，那 么 犃 犅犃 犆 等 于（）埃 拉 托 色 尼 测 出 夹 角 约 为 ，是 圆 周 角 的 五 十 分 之 一，由 此 推 算 赤 道 的 长 度 大 约 为 万 千 米，这 与 实 际 赤 道 的 长 度（千 米）相 差 无 几 此 外 他 还 算 出 太 阳 与 地 球 间 距 离 为 亿 千 米，和 实 际 距 离 亿 千 米 也 惊 人 地 相 近 这 充 分 反 映 了 埃 拉 托 色 尼 的 学 识 和 智慧 二、填 空 题 （上 海）在 犃 犅 犆中，点 犇、犈分 别 在 犃 犅、犃 犆上，犃
18、 犈 犇 犅，如 果 犃 犈 ，犃 犇 犈的 面 积 为 ，四 边 形犅 犆 犈 犇 的 面 积 为 ，那 么 犃 犅 的 长 为 （第 题）（第 题）（四 川 资 阳）如 图，犗 为 矩 形 犃 犅犆 犇 的 中 心，犕 为 犅犆 边 上一 点，犖 为 犇 犆 边 上 一 点，犗 犖 犗 犕，若 犃 犅 ，犃 犇 ，设 犗 犕 狓，犗 犖 狔，则 狔 与 狓 的 函 数 关 系 式 为 （浙 江 衢 州）如 图，平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，犈 是 犆 犇的延 长 线 上 一 点，犅 犈 与 犃 犇交 于 点 犉，犆 犇 犇 犈 若 犇 犈 犉的 面 积 为 犪，则 平 行 四 边
19、 形 犃 犅 犆 犇 的 面 积 为 （用 犪的 代 数 式 表 示）（第 题）（第 题）（湖 南 娄 底）如 图，在 一 场 羽 毛 球 比 赛 中，站 在 场 内 犕处 的 运 动 员 林 丹 把 球 从 犖点 击 到 了 对 方 内 的 犅 点，已 知 网高 犗 犃 米，犗 犅 米，犗 犕 米，则 林 丹 起 跳 后 击 球点 犖 离 地 面 的 距 离 犖 犕 米 （辽 宁 丹 东）已 知 四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，则 图中 相 似 的 三 角 形 有 对（第 题）（第 题）（江 苏 苏 州）如 图，已 知 犃 犅 犆 是 面 积 为 槡 的 等 边 三 角形
20、，犃 犅 犆 犃 犇 犈，犃 犅 犃 犇，犅 犃 犇 ，犃 犆 与 犇 犈 相 交于 点 犉，则 犃 犈 犉 的 面 积 等 于 （结 果 保 留 根 号）（安 徽 芜 湖）如 图，光 源 犘 在 横 杆 犃 犅 的 正 上 方，犃 犅 在 灯光 下 的 影 子 为 犆 犇，犃 犅 犆 犇，犃 犅 ，犆 犇 ，点 犘 到 犆 犇 的距 离 是 ，则 犃 犅 与 犆 犇 间 的 距 离 （第 题）（第 题）（上 海）如 图，在 犃 犅 犆 中，点 犇在 边 犃 犅上，满 足 犃 犆 犇 犃 犅 犆，若 犃 犆 ，犃 犇 ，则 犇 犅 三、解 答 题 （广 东 梅 州）如 图，犃 犆 是 犗 的
21、直 径，弦 犅 犇 交 犃 犆 于点 犈（）求 证：犃 犇 犈 犅 犆 犈；（）如 果 犃 犇 犃 犈 犃 犆，求 证：犆 犇 犆 犅（第 题）（广 西 柳 州）如 图，犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犆 是 弦（）请 你 按 下 面 步 骤 画 图（画 图 或 作 辅 助 线 时 先 使 用 铅 笔 画出，确 定 后 必 须 使 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑）；第 一 步，过 点 犃 作 犅 犃 犆 的 角 平 分 线，交 犗 于 点 犇；第 二 步，过 点 犇 作 犃 犆 的 垂 线，交 犃 犆 的 延 长 线 于 点 犈；第 三 步，连 结 犅 犇（）求 证：犃 犇 犃 犈
22、 犃 犅；（）连 结 犈 犗，交 犃 犇 于 点 犉，若 犃 犆 犃 犅，求 犈 犗犉 犗 的 值（第 题）（安 徽）如 图，已 知 犃 犅 犆 犃 犅 犆 ，相 似 比 为 犽（犽 ），且 犃 犅 犆 的 三 边 长 分 别 为 犪，犫，犮（犪 犫 犮），犃 犅 犆 的 三 边 长 分 别 为 犪 ，犫 ，犮 （）若 犮 犪 ，求 证：犪 犽犮；（）若 犮 犪 ，试 给 出 符 合 条 件 的 一 对 犃 犅 犆 和 犃 犅 犆 ，使 得 犪，犫，犮 和 犪 ，犫 ，犮 都 是 正 整 数，并 加 以 说 明；（）若 犫 犪 ，犮 犫 ，是 否 存 在 犃 犅 犆 和 犃 犅 犆 使 得 犽
23、？请 说 明 理 由（第 题）埃 尔 米 特 是 世 纪 最 伟 大 的 代 数 几 何 学 家，但 是 他 大 学 入 学 考 试 重 考 了 五 次，每 次 失 败 的 原 因 都 是 数 学 考 不 好 埃 尔 米 特 大 学几 乎 没 能 毕 业，每 次 考 不 好 也 都 是 为 了 数 学 那 一 科 他 大 学 毕 业 后 考 不 上 任 何 研 究 所，因 为 考 不 好 的 科 目 还 是 数 学 数 学 是 埃 尔 米 特一 生 的 至 爱，但 是 数 学 考 试 却 是 他 一 生 的 噩 梦 趋 势 总 揽图 形 的 相 似 这 一 知 识 点 是 平 面 几 何 中
24、极 为 重 要 的 内 容，是中 考 数 学 中 的 重 点 考 查 内 容，近 几 年 的 中 考 题 虽 然 以 直 接 证 相似 为 结 论 的 题 目 在 减 少，但 作 为 一 种 解 决 问 题 的 工 具，在 解 题 中必 不 可 少 故 考 生 加 强 此 知 识 点 的 训 练 也 很 重 要 相 似 形 应 用 广泛，与 三 角 形、平 行 四 边 形 联 系 紧 密 估 计 年 中 考 的 填 空题、选 择 题 将 注 重 对“相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质”等 基 础 知 识 的考 查，解 答 题 中 将 加 大 知 识 的 横 向 与 纵 向 联 系 及
25、应 用 问 题 的 力度，一 般 所 占 分 值 约 占 全 卷 分 值 的 左 右 高 分 锦 囊 要 掌 握 基 础 知 识 和 基 本 技 能 运 用 相 似 的 知 识 解 决 一 些 实 际 问 题，要 能 够 在 理 解 题 意的 基 础 上，把 它 转 化 为 纯 数 学 知 识 的 问 题，要 注 意 培 养 数 学 建 模的 思 想 在 综 合 题 中，注 意 相 似 知 识 的 灵 活 运 用，并 熟 练 掌 握 等 线段 代 换、等 比 代 换、等 量 代 换 技 巧 的 应 用，培 养 综 合 运 用 知 识 的能 力 判 定 三 角 形 相 似 的 几 条 思 路（）
26、条 件 中 若 有 平 行 线，可 采 用 相 似 三 角 形 的 基 本 定 理；（）条 件 中 若 有 一 对 等 角，可 再 找 一 对 等 角 或 再 找 夹 边 成 比例；（）条 件 中 若 有 两 边 对 应 成 比 例，可 找 夹 角 相 等；（）条 件 中 若 有 一 对 直 角，可 考 虑 再 找 一 对 等 角 或 证 明 斜边、直 角 边 对 应 成 比 例；（）条 件 中 若 有 等 腰 关 系，可 找 顶 角 相 等，可 找 一 对 底 角 相等，也 可 找 底 和 腰 对 应 成 比 例 常 考 点 清 单 一、相 似 图 形 的 性 质 相 似 多 边 形 的 性
27、 质 性 质 ：相 似 多 边 形 对 应 角 ，对 应 边 的 相 等；性 质 ：相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于 ；性 质 ：相 似 多 边 形 面 积 的 比 等 于 的 平 方 相 似 三 角 形 的 性 质 性 质 ：相 似 三 角 形 的 对 应 角 ，对 应 边 的 比 ；性 质 ：相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 ；性 质 ：相 似 三 角 形 对 应 中 线 的 比、对 应 角 平 分 线 的 比 等 于 ；性 质 ：相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 的 平 方 二、相 似 三 角 形 的 判 定判 定 ：如 果 两 个 三 角 形 的 三 组
28、对 应 边 的 比 ，那 么这 两 个 三 角 形 相 似；判 定 ：如 果 两 个 三 角 形 的 两 组 对 应 边 的 比 ，并 且相 应 的 相 等，那 么 这 两 个 三 角 形 相 似；判 定 ：两 组 对 应 角 的 两 个 三 角 形 相 似；判 定 ：平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 相 交，所 构 成的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 三、位 似 图 形如 果 两 个 多 边 形 不 仅 ，而 且 对 应 顶 点 的 连 线 相 交于 ，对 应 边 ，那 么 这 样 的 两 个 图 形 叫 做 位 似 图形，这 个 点 叫 做 易 混
29、点 剖 析 黄 金 分 割 如 图（），点 犆 为 线 段 犃 犅 上 一 点，犃 犆 犅 犆，若 犃 犆 犃 犅 犅 犆，则 点 犆 为 线 段 犃 犅 的 分 割 点，犃 犆 犃 犅，犅 犆 犃 犅，一 条 线 段 有 个 黄 金 分 割 点 图（）相 似 基 本 图 形 图（）图（）图（）（）如 图（），若 犇 犈 犅 犆，则 犃 犇 犈 ；（）如 图（），若 犈 犇 犅 犆，则 犈 犃 犇 ；（）如 图（），若 犃 犈 犇 犅，则 犃 犇 犈 图 形 的 相 似 与 位 似：位 似 是 特 殊 的 相 似，与 相 似 不 同 的 是对 应 顶 点 的 连 线 一 点，但 相 似 图 形
30、 未 必 都 位 似 相 似 三 角 形 的 周 长 比 等 于 ，面 积 比 等 于 对 应 边 上 高 的 比 等 于 相 似 比，对 应 的 比 等 于相 似 比 易 错 题 警 示【例 】（江 苏 连 云 港）如 图，甲、乙 两 人 分 别 从 犃（，槡）、犅（，）两 点 同 时 出 发，点 犗 为 坐 标 原 点，甲 沿 犃 犗 方 向、乙 沿 犅 犗方 向 均 以 的 速 度 行 驶，狋 后，甲 到 达 犕 点，乙 到 达 犖 点（）请 说 明 甲、乙 两 人 到 达 犗 点 前，犕 犖 与 犃 犅 不 可 能 平 行（）当 狋 为 何 值 时，犗 犕 犖 犗 犅 犃？不 过 这
31、无 法 改 变 他 的 伟 大：“共 轭 矩 阵”的 概 念 是 他 先 提 出 来 的 人 类 一 千 多 年 来 解 不 出“五 次 方 程 式 的 通 解”，是 他 先 解 出 来 的；自 然对 数 的“超 越 数 性 质”，全 世 界 他 是 第 一 个 证 明 出 来 的 人 埃 尔 米 特 的 一 生 证 明“一 个 不 会 考 试 的 人，仍 然 能 有 杰 出 的 人 生”，并 且 更 奇 妙 的是 不 会 考 试 成 为 他 一 生 的 祝 福【解 析】此 题 综 合 考 查 了 坐 标 与 图 形、相 似 三 角 形 的 判 定与 性 质、分 类 讨 论 数 学 思 想 的
32、 应 用 等 知 识 点，难 度 较 大（）用 反 证 法 说 明 根 据 已 知 条 件 分 别 表 示 相 关 线 段 的 长度，根 据 三 角 形 相 似 得 比 例 式 说 明；（）根 据 两 个 点 到 达 犗 点 的 时 间 不 同 分 段 讨 论 解 答；本 题 最大 误 区 是 易 漏 解【答 案】（）因 为 犃 坐 标 为（，槡），所 以 犗 犃 ，犃 犗 犅 因 为 犗 犕 狋，犗 犖 狋，当 狋 狋时，解 得 狋 ，即 在 甲、乙 两 人 到 达 犗点 前，只 有 当 狋 时，犗 犕 犖 犗 犃 犅，所 以 犕 犖 与 犃 犅 不 可 能 平 行；（）因 为 甲 达 到
33、犗 点 时 间 为 狋 ，乙 达 到 犗 点 的 时 间 为狋 ，所 以 甲 先 到 达 犗 点，所 以 狋 或 狋 时，犗、犕、犖 三点 不 能 连 结 成 三 角 形，当 狋 时，如 果 犗 犕 犖 犗 犃 犅，则 有 狋 狋，解 得 狋 ，所 以，犗 犕 犖 不 可 能 相 似 于 犗 犅 犃；当 狋 时，犕 犗 犖 犃 犗 犅，显 然 犗 犕 犖与 犗 犅 犃 不 相 似；当 狋 时，狋 狋 ，解 得 狋 ，所 以 当 狋 时，犗 犕 犖 犗 犅 犃【例 】（江 苏 南 通）如 图，在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆 ，犅 犆 ，点 犇 是 犅 犆 边 的 中 点 点 犘 从 点 犅
34、出 发，以犪 （犪 ）的 速 度 沿 犅 犃 匀 速 向 点 犃 运 动；点 犙 同 时 以 的 速 度 从 点 犇 出 发，沿 犇 犅 匀 速 向 点 犅 运 动，其 中 一 个 动 点 到 达端 点 时，另 一 个 动 点 也 随 之 停 止 运 动，设 它 们 运 动 的 时 间 为 狋 若 犪 ，犅 犘 犙 犅 犇 犃，求 狋 的 值【解 析】此 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、平 行 四 边形 的 性 质、菱 形 的 判 定 与 性 质 以 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 等 知 识 此题 难 度 较 大，注 意 数 形 结 合 思 想 与 方 程 思
35、 想 的 应 用 由 犃 犅 犆中，犃 犅 犃 犆 厘 米，犅 犆 厘 米，犇 是 犅 犆 的 中 点，根 据 等 腰三 角 形 三 线 合 一 的 性 质，即 可 求 得 犅 犇 与 犆 犇的 长，又 由 犪 ，犅 犘 犙 犅 犇 犃，利 用 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例，即 可 求 得 狋的 值【答 案】犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆 ，犅 犆 ，犇 是 犅 犆的 中 点，犅 犇 犆 犇 ，犅 犆 犪 ，犅 犘 狋 ，犇 犙 狋 犅 犙 犅 犇 犙 犇 狋（）犅 犘 犙 犅 犇 犃，犅 犘 犅 犇 犅 犙 犅 犃 即 狋 狋 解 得 狋 年 山 东 省 中 考 仿 真 演
36、 练一、选 择 题（第 题）（淄 博 一 模）如 图，在 一 个 由 个 小 正 方 形 组 成 的 正 方 形 网 格 中，阴 影部 分 面 积 与 正 方 形 犃 犅 犆 犇 的 面 积 比 是（）（东 阿 县 一 模）在 犃 犅 犆 的直 角 边 犃 犆 边 上 有 一 动 点 犘（点 犘 与 点 犃、犆 不 重 合），过 点 犘作 直 线 截 得 的 三 角 形 与 犃 犅 犆 相 似，满 足 条 件 的 直 线 最 多 有（）条 条 条 条 （烟 台 一 模）如 图，犇 犈 犉 的 边 长 分 别 为 ，槡，正 六边 形 网 格 是 由 个 边 长 为 的 正 三 角 形 组 成 的
37、，以 这 些 正 三角 形 的 顶 点 为 顶 点 画 犃 犅 犆，使 得 犃 犅 犆 犇 犈 犉 如 果 相似 比 犽，那 么 犽 的 不 同 的 值 共 有（）个 个 个 个（第 题）（第 题）其 实，埃 尔 米 特 的 数 学 并 不 是 真 的 那 么 差 劲，只 是 他 认 为，当 地 的 数 学 教 学 氛 围 死 气 沉 沉，而 数 学 课 本 就 像 一 堆 废 纸，所 谓 数 学 成绩 好 的 人，都 是 一 些 二 流 头 脑 的 人，因 为 他 们 只 懂 得 生 搬 硬 套！所 以 他 从 小 就 是 个 问 题 学 生，上 课 时 老 爱 找 老 师 辩 论，尤 其
38、是 一 些 基本 的 问 题 （山 东 实 验 中 学）已 知：如 图，无 盖 无 底 的 正 方 体 纸 盒犃 犅 犆 犇 犈 犉 犌 犎，犘、犙分 别 为 棱 犉 犅、犌 犆 上 的 点，且 犉 犘 犘 犅、犌 犙 犙 犆，若 将 这 个 正 方 体 纸 盒 沿 折 线 犃 犘 犘 犙 犙 犎 裁 剪 并 展 开，得 到 的 平 面 图 形 是（）一 个 六 边 形 一 个 平 行 四 边 形 两 个 直 角 三 角 形 一 个 直 角 三 角 形 和 一 个 直 角 梯 形二、填 空 题（第 题）（聊 城 一 模）将 三 角 形 纸 片（犃 犅犆）按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠，
39、使点 犅 落 在 边 犃犆 上，记 为 点 犅，折 痕 为犈 犉 已 知 犃 犅 犃犆 ，犅犆 ，若 以 点犅、犉、犆 为 顶 点 的 三 角 形 与 犃 犅犆 相似，那 么 犅 犉 的 长 度 是 （德 州 一 模）如 图，狀 个 边 长 为 的 等 边 三 角 形 有 一条 边 在 同 一 直 线 上，设 犅 犇 犆 的 面 积 为 犛 ，犅 犇 犆 的面 积 为 犛 ，犅 狀 犇 狀犆 狀 的 面 积 为 犛 狀，则 犛 狀 （用 含 狀 的 式 子 表 示）（第 题）（东 营 五 模）如 图，犃 、犅 、犆 分 别 是 犅犆、犃犆、犃 犅 的 中 点，犃 、犅 、犆 分 别 是 犅 犆
40、 、犃 犆 、犃 犅 的 中 点 这 样 延 续 下 去 已 知 犃 犅犆 的 周 长 是 ，犃 犅 犆 的 周 长 是 犔 ，犃 犅 犆 的 周长 是 犔 ，犃 狀犅 狀犆 狀 的 周 长 是 犔 狀，则 犔 狀 （第 题）（第 题）（威 海 二 模）已 知，方 格 纸 内 有 四 个 相 同 的 正 方 形，则 三、解 答 题 （山 东 省 德 州 四 模）在 直 角 坐 标 系 中，犗 为 坐 标 原 点，点犃 的 坐 标 为（，），点 犆 是 线 段 犗 犃上 的 一 个 动 点（不 运 动 至犗、犃 两 点），过 点 犆 作 犆 犇 狓 轴，垂 足 为 犇，以 犆 犇 为 边 在 右
41、侧 作 正 方 形 犆 犇 犈 犉 连 结 犃 犉 并 延 长 交 狓 轴 的 正 半 轴 于 点 犅，连 结 犗 犉，设 犗 犇 狋（）求 犉 犗 犅 的 值；（）用 含 狋 的 代 数 式 表 示 犗 犃 犅 的 面 积 犛；（）是 否 存 在 点 犆，使 以 犅、犈、犉 为 顶 点 的 三 角 形 与 犗 犉 犈 相似，若 存 在，请 求 出 所 有 满 足 要 求 的 点 犅 的 坐 标；若 不 存在，请 说 明 理 由（第 题）（德 州 模 拟）如 图，在 犃 犅 犆中，犃 犅 犆 犆 犃 犅 ，将 犃 犅 犆 绕 点 犃顺 时 针 旋 转 度（）得 到 犃 犇 犈，连 结 犆 犈，
42、线 段 犅 犇（或 其 延 长 线）分 别 交 犃 犆、犆 犈 于点 犌、犉（）求 证：犃 犅 犌 犉 犆 犌；（）在 旋 转 的 过 程 中，是 否 存 在 一 个 时 刻，使 得 犃 犅 犌 与 犉 犆 犌 全 等？若 存 在，求 出 此 时 旋 转 角 的 大 小（第 题）年 全 国 中 考 仿 真 演 练一、选 择 题 （湖 北 荆 州 中 考 模 拟）在 直 角 坐 标 系 中，已 知 犗（，），犃（，），犅（，），犆（，），犇 为 狓 轴 上 一 点 若 以 犇、犗、犆 为 顶点 的 三 角 形 与 犃 犗 犅 相 似，这 样 的 犇 点 有（）个 个 个 个（第 题）（安 徽 淮
43、 南 市 洞 山 中 学 第 四 次质 量 检 测）如 图，犈（，），犉（，），以 犗 为 位 似 中 心，按 比 例 尺 ，把 犈 犗 犉 缩 小，则 点 犈 的 对 应 点 犈 的坐 标 为（）（，）或（，）（，）或（，）（，）（，）（广 西 贵 港 模 拟）小 刚 身 高 ，测 得 他 站 立 在 阳 光下 的 影 子 长 为 ，紧 接 着 他 把 手 臂 竖 直 举 起，测 得 影 子长 为 ，那 么 小 刚 举 起 的 手 臂 超 出 头 顶（）（湖 北 黄 州 中 学 二 模）如 图，犇、犈 分 别 是 犃 犅 犆 的 边犃 犅、犃 犆 上 的 点，犇 犈 犅 犆，且 犛 犃犇 犈
44、 犛 犃犅犆 ，则 犃 犇 犃 犅等 于（）埃 尔 米 特 尤 其 痛 恨 考 试，因 为 他 一 旦 考 糟 了，老 师 就 会 用 木 条 打 他 的 脚，这 也 是 他 痛 恨 数 学 考 试 的 原 因 之 一 埃 尔 米 特 在 后 来 的 文 章中 写 道：“达 到 教 育 的 目 的 是 用 头 脑，又 不 是 用 脚，打 脚 有 什 么 用？打 脚 可 以 使 人 头 脑 更 聪 明 吗！”（第 题）（第 题）（北 京 门 头 沟 区 模 拟）如 图，在 矩 形 犃 犅 犆 犇 中，犗 是 对角 线 犃 犆、犅 犇 的 交 点，点 犈、犉 分 别 是 犗 犇、犗 犆 的 中 点
45、 如 果犃 犆 ，犅 犆 ，那 么 犈 犉 的 长 为（）二、填 空 题 （浙 江 杭 州 中 考 数 学 模 拟）已 知 犃 犅犆 与 犇 犈 犉 相 似 且 相似 比 为 ，则 犃 犅犆 与 犇 犈 犉 的 面 积 比 为 （四 川 泸 县 春 期 福 集 镇 青 龙 中 学 中 考 模 拟）如 图，为 了测 量 某 棵 树 的 高 度，小 明 用 长 为 的 竹 竿 做 测 量 工 具，移 动竹 竿，使 竹 竿、树 的 顶 端 的 影 子 恰 好 落 在 地 面 的 同 一 点 此 时，竹 竿 与 这 一 点 相 距 ，与 树 相 距 ，则 树 的 高 度 为 （第 题）（第 题）（浙
46、江 瑞 安 市 模 考）如 图，犃 犅 犆 中，犃 犅 犃 犆，犇、犈 两点 分 别 在 边 犃 犆、犃 犅 上，且 犇 犈 与 犅 犆 不 平 行 请 填 上 一 个獉 獉你认 为 合 适 的 条 件：，使 犃 犇 犈 犃 犅 犆（不 再 添 加其 他 的 字 母 和 线 段）（重 庆 外 国 语 学 校 模 拟）已 知 犃 犅 犆 与 犇 犈 犉 相 似 且面 积 之 比 为 ，则 犃 犅 犆 与 犇 犈 犉 的 对 应 边 上 的 高 比 为 （长 沙 五 模）如 图，犃 、犅 、犆 分 别 是 犅 犆、犃 犆、犃 犅 的 中点，犃 、犅 、犆 分 别 是 犅 犆 、犃 犆 、犃 犅 的
47、 中 点 这 样 延续 下 去 已 知 犃 犅 犆 的 周 长 是 ，犃 犅 犆 的 周 长 是 犔 ，犃 犅 犆 的 周 长 是 犔 ，犃 狀犅 狀犆 狀 的 周 长 是 犔 狀，则 犔 狀 （第 题）（第 题）（湖 北 黄 州 中 学 二 模）如 图，方 格 纸 内 有 四 个 相 同 的 正方 形，则 三、解 答 题 （安 徽 安 庆 一 模）每 个 小 方 格 是 边 长 为 个 单 位 长 度的 小 正 方 形，菱 形 犗 犃 犅 犆 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图所 示（）以 犗 点 为 位 似 中 心，在 第 一 象 限 内獉 獉 獉 獉 獉 獉将 菱 形
48、 犗 犃 犅 犆 放 大 为原 来 的獉 獉 倍 得獉 獉到 菱 形 犗 犃 犅 犆 ，请 画 出 菱 形 犗 犃 犅 犆 ，并 直 接 写 出 点 犅 的 坐 标（）将 菱 形 犗 犃 犅 犆绕 原 点 犗顺 时 针 旋 转 ，得 到 菱 形犗 犃 犅 犆 ，请 画 出 菱 形 犗 犃 犅 犆 ，并 求 出 点 犅 旋 转 到 犅 的 路 径 长（第 题）（海 南 省 中 考 数 学 科 模 拟）如 图，抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮交 狓 轴 于 犃、犅 两 点，交 狔 轴 于 点 犆，对 称 轴 为 直 线 狓 ，已知：犃（，）、犆（，）（）求 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮 的 解 析
49、 式；（）求 犃 犗 犆 和 犅 犗 犆 的 面 积 比；（）在 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 个 犘 点，使 犘 犃 犆 的 周 长 最 小 若 存 在，请 你 求 出 点 犘的 坐 标；若 不 存 在，请 你 说 明理 由（第 题）古 希 腊 第 一 位 伟 大 的 数 学 家 泰 勒 斯，曾 利 用 太 阳 影 子 成 功 地 计 算 出 了 金 字 塔 的 高 度，实 际 上 利 用 的 就 是 相 似 三 角 形 的 性 质 在 泰勒 斯 之 后，以 毕 达 哥 拉 斯 为 首 的 一 批 学 者，对 数 学 做 出 了 极 为 重 要 的 贡 献 发 现“勾 股 定 理”是
50、他 们 最 出 色 的 成 就 之 一，因 此 直 到 现 在，西 方 人 仍 然 把 勾 股 定 理 称 为“毕 达 哥 拉 斯 定 理”正 是 这 个 定 理，导 致 了 无 理 数 的 发 现 （安 徽 巢 湖 七 中 模 拟）如 图，点 犃、犅、犆、犇 在 犗 上，犃 犅 犃 犆，犃 犇 与 犅 犆 相 交 于 点 犈，犃 犈 犈 犇，延 长 犇 犅 到 点犉，使 犉 犅 犅 犇，连 结 犃 犉（）证 明 犅 犇 犈 犉 犇 犃；（）试 判 断 直 线 犃 犉 与 犗 的 位 置 关 系，并 给 出 证 明（第 题）如 图，在 等 边 犃 犅犆 中，犇 为 边 犅犆 上 一 点，犈 为
51、 边 犃犆 上 一 点，且 犃 犇 犈 ，犅 犇 ，犆犈 ，则 犃 犅犆 的 边 长 为（）（第 题）已 知 犃 犅 犆 的 三 边 长 分 别 为 、，现 要 利 用 长度 分 别 为 和 的 细 木 条 各 一 根，做 一 个 三 角 形 木 架与 犃 犅 犆 相 似，要 求 以 其 中 一 根 为 一 边，将 另 一 根 截 成 两 段（允许 有 余 料）作 为 另 外 两 边，那 么 另 外 两 边 的 长 度（单 位：）分 别为（）、或 、或 、犃 犅 犆 的 三 边 长 分 别 为 槡，槡，犃犅犆 的 两 边 长 分 别 为，槡，如 果 犃 犅 犆 犃犅犆，那 么 犃犅犆 的 周
52、长 为 应 等于（）槡 槡 槡 槡 槡 如 图，在 犃 犅 犆 中，犇、犈、犉 分 别 是 犃 犅、犅 犆、犆 犃 的 中 点，若 犃 犅 犆 的 周 长 为 ，则 犇 犈 犉 的 周 长 是 （第 题）如 图，在 锐 角 三 角 形 犃 犅 犆 中，犅 犆 ，犛 犃犅 犆 两 动 点 犕、犖 分 别 在 边 犃 犅、犃 犆 上 滑 动，且 犕 犖 犅 犆，以 犕 犖为 边 向 下作 矩 形 犕 犘 犙 犖，设 犕 犖长 为 狓，矩 形 犕 犘 犙 犖与 犃 犅 犆 公 共部 分 的 面 积 为 狔（狔 ），当 狓 ，公 共 部 分 面 积 狔 最大，狔 最 大 值 （第 题）如 图，在 梯
53、形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犇 犅 犆，犈 是 犃 犅 上 一 点，犈 犉 犅 犆，并 且 犈 犉 将 梯 形 犃 犅 犆 犇 分 成 的 两 个 梯 形 犃 犈 犉 犇，犈 犅 犆 犉 相 似，若 犃 犇 ，犅 犆 ，求 这 两 个 梯 形 的 面 积 之 比（第 题）图 形 的 相 似 年 考 题 探 究 年 山 东 省 中 考 真 题 演 练 解 析 作 犅 犇 垂 直 犃 犆 的 延 长 线 于 点 犇 犗 为 犃 犅 的 中 点，犗 犆 犃 犇，犅 犇 犃 犇，犗 犆 犅 犇 犗 犆 是 犃 犅 犇 的 中 位 线 犺 犗 犆 同 理，当 将 横 板 犃 犅 换 成 横 板 犃犅，且
54、 犃犅 犃 犅，犗 仍 为犃犅 的 中 点，设 点 犅 的 最 大 高 度 为 犺 ，则 犺 犗 犆 犺 犺 解 析 设 犃 犇 狓 犃 犅 ，犉 犇 狓 ，犉 犈 四 边 形 犈 犉 犇 犆 与 矩 形 犃 犅 犆 犇相 似，犈 犉犉 犇 犃 犇犃 犅，即狓 狓 解 得 狓 槡，狓 槡（负 值 舍 去）经 检 验，狓 槡 是 原 方 程 的 解 解 析 如 图，连 结 犇 犈 并 延 长 交 犃 犅 于 点 犎（第 题）犆 犇 犃 犅，犆 犃，犆 犇 犈 犃 犎 犈 犈 是 犃 犆 中 点，犇 犈 犈 犎 犇 犆 犈 犎 犃 犈 犇 犆 犃 犎 犉 是 犅 犇中 点，犈 犉 是 三 角 形
55、犇 犎 犅 的 中 位 线 犈 犉 犅 犎 犅 犎 犃 犅 犃 犎 犃 犅 犇 犆 犈 犉 解 析 由 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得 犅 犆 犇 犈，故 正确；由 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得犇 犈 犅 犆，故 犃 犇 犈 犃 犅 犆，故 正 确；犃 犇 犈 犃 犅 犆，由 相 似 三 角 形 的 性质，可 得 犃 犇犃 犅 犃 犈犃 犆，即 犃 犇犃 犈 犃 犅犃 犆，故 正 确；由 犃 犇 犈 犃 犅 犆，可 得 犛 犃 犇 犈 犃犅 犆 犃 犈 犃 犆 ，所 以 犛 犃犅 犆 犛 犃 犇 犈 故 选 项 错 误 解 析 矩 形 犗犃犅犆 的 面 积 等 于 矩 形 犗
56、犃犅犆 面 积 的 ，犗 犃 犗 犃 犃 犅 犃犅 犃犅 ，犗 犃 犅（，）或（，）解 析 在 菱 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犇 犅 犆，且 犃 犇 犅 犆，犅 犈 犉 犇 犃 犉 犅 犉犉 犇 犅 犈犃 犇 犈 犆 犅 犈，犅 犆 犅 犈，即 犃 犇 犅 犈 犅 犉犉 犇 犅 犈犃 犇 解 析 由 三 角 形 中 位 线 定 理 得 犇 犈 犅 犆 ，故（）正 确 犇 犈 犅 犆，犃 犇 犈 犃 犅 犆，故（）正 确 犃 犇 犈 犃 犅 犆，犛 犃 犇 犈犛 犃 犅 犆 犇 犈（）犅 犆（），故（）正 确 解 析 由 四 边 形 犃 犅 犆 犇是 平 行 四 边 形，可 得 犆 犇 犃 犅
57、，犃 犇 犅 犆，犆 犇 犃 犅，犃 犇 犅 犆，然 后 根 据 平 行 线 分 线段 成 比 例 定 理，对 各 项 进 行 分 析 即 可 求 得 答 案 解 析 如 图，犃 犅 犆 变 换 为 犃犅犆 的 变 换 为：犃 犅犆关 于 犆 点 对 称 犃犅犆扩 大 倍 犃犅犆，因 此 点 犅 的横 坐 标 是 犪 还 原 为 点 犅 的 横 坐 标 的 变 换 为：犅（犪）缩 小（犪 ）的 犅（犪 （）关 于 犆 点 对 称 （犪 ）犅 （犪 （）犅 犇 犈 犆 犇 犉，犃 犅 犉 犃 犆 犈 解 析 由 于 犅 犈 犆 犆 犉 犇 ，犈 犇 犅 犉 犇 犆，所以 犅 犇 犈 犆 犇 犉；
58、由 于 犅 犈 犆 犆 犉 犇 ，犃 犃，所 以 犃 犅 犉 犃 犆 犈 （，）或（，）解 析 已 知 线 段 与 线 段 犃 犆 是 对 应 线段，点 犃 和 点 犆 的 对 应 点 都 有 两 个，依 次 连 结 对 应 点 的连 线 交 于 一 点，这 一 交 点 即 为 位 似 中 心，连 结 位 似 中 心 与点 犅 得 到 直 线，由 线 段 犃 犆 与 已 知 线 段 的 长 度 之 比 为 ，知 相 似 比 为 在 连 线 上 找 到 相 似 比 为 的 点，从 而 确 定 点 的 坐 标 分 别 为（，）或（，）解 析 犇 犈 为 犃 犅 犆 的 中 位 线，犅 犆 ，犇 犈
59、 又 犃 犉 犅 ，犃 犅 ，犇 犉 是 斜 边 的 中 线，犇 犉 犈 犉 犇 犈 犇 犉 （）由 题 意 可 设 抛 物 线 的 表 达 式 为 狔 犪（狓 ）点 犆（，）在 抛 物 线 上，犪（），解 得 犪 抛 物 线 的 表 达 式 为 狔 （狓 ），即 狔 狓 狓 （）令 狔 ，即 狓 狓 ，解 得 狓 ，狓 犃（，），犅（，）设 犅 犆 的 解 析 式 为 狔 犽狓 犫 将 犅（，）、犆（，）代 入，得犽 犫 ，犫 ，解 得犽 犫 直 线 犅 犆 的 解 析 式 为 狔 狓 当 狓 时，狔 ，犇（，）犛 犃犆 犇 犛 犃犅 犆 犛 犃犅 犇 （）假 设 存 在 点 犈，使 得 以
60、 犇、犈、犉 为 顶 点 的 三 角 形 与 犅 犆 犗 相 似 犅 犆 犗 是 等 腰 直 角 三 角 形，以 犇、犈、犉 为 顶 点 的 三 角 形 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 由 犈 犉 犗 犆，得 犇 犈 犉 故 以 犇、犈、犉 为 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 只 能 以 点 犇、犉 为直 角 顶 点 当 犉 为 直 角 顶 点 时，犇 犉 犈 犉，此 时 犇 犈 犉 犅 犆 犗，犇 犉 所 在 直 线 为 狔 由狔 狓 狓 ，狔 ，解 得 狓槡 将 狓槡 代 入 狔 狓 ，得 狔槡 犈（槡 ，槡 ）将 狓槡 代 入 狔 狓 ，得 狔槡 犈（槡 ，槡 ）当 犇 为
61、直 角 顶 点 时，犇 犉 犈 犇，此 时 犈 犉 犇 犅 犆 犗 点 犇 在 对 轴 上，犇 犃 犇 犅 犆 犅 犃 ，犇 犃 犅 犃 犇 犅 犃 犇 犅 犆，故 点 犉 在 直 线 犃 犇上 设 犃 犇 的 解 析 式 为 狔 犽狓 犫，将 犃（，）、犇（，）代 入，得犽 犫 ，犽 犫 ，解 得犽 ，犫 直 线 犃 犇 的 解 析 式 为 狔 狓 由狔 狓 狓 ，狔 狓 ，解 得 狓 ，狓 将 狓 代 入 狔 狓 ，得 狔 犈（，）将 狓 代 入 狔 狓 ，得 狔 犈（，）综 上 所 述，点 犈 的 坐 标 可 以 为（槡 ，槡 ），（槡 ，槡 ），（，），（，）（）犅 犉 犃 犈，犆 犌
62、 犃 犈，犆 犌 犅 犉 在 正 方 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犅 犎 犆 犅 犌 ，犆 犅 犌 犅 犆 犌 ，犅 犃 犎 犃 犅 犎 ，犅 犃 犎 犆 犅 犌，犃 犅 犎 犅 犆 犌 又 犃 犅 犅 犆，犃 犅 犎 犅 犆 犌 犆 犌 犅 犎（）犅 犉 犆 犆 犉 犌，犅 犆 犉 犆 犌 犉 ，犆 犉 犌 犅 犉 犆 犉 犆犅 犉 犉 犌犉 犆，即 犉 犆 犅 犉 犌 犉（）由（）可 知 犅 犆 犌 犅 犅 犉 犃 犅 犅 犆，犃 犅 犌 犅 犅 犉 犉 犆 犅 犆 犌 犉 犅 犉犌 犅 犅 犉 犌 犉犌 犅，即 犉 犆 犃 犅 犌 犉犌 犅 （）如 图 ，当 狋 时，犃 犈 ，犈 犅 ，
63、犅 犉 ，犉 犆 ，犆 犌 ，犛 犛 梯 形 犈犅 犆 犌 犛 犈犅 犉 犛 犉犆 犌 （）（第 题）（）如 图 ，当 狋 时，点 犈、犉、犌 分 别 在 犃 犅、犅犆、犆 犇 上移 动，此 时 犃 犈 狋，犈 犅 狋，犅犉 狋，犉犆 狋，犆犌 狋，犛 狋 狋 （狋 ）如 图 ，当 点 犉 追 上 点 犌 时，狋 狋 ，解 得 狋 ，当 狋 时，犆 犉 狋 ，犆 犌 狋，犉 犌 犆 犌 犆 犉 狋，即 犛 狋 （狋 ）（）如 图 ，当 点 犉 在 矩 形 的 边 犅犆 上 移 动 时，狋 在 以 点 犈、犅、犉 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 犉、犆、犌 为 顶 点 的 三角 形 中，犅
64、犆 若 犈 犅犉 犆 犅 犉犆 犌，即 狋 狋 狋狋，解 得 狋 又 狋 满足 狋 ，所 以 当 狋 时，犈 犅 犉 犌 犆 犉 若 犈 犅犌 犆 犅 犉犆 犉，即 狋狋狋 狋，解 得 狋 又 狋 满 足 狋 ，所 以 当 狋 时，犈 犅 犉 犌 犆 犉 综 上 所知，当 狋 或 时，以 点 犈、犅、犉 为 顶 点 的 三 角 形 与 以犉、犆、犌 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 过 犇 作 犇 犕 犃 犅 于 犕，过 犉 作 犉 犖 犃 犅 于 犖，四 边 形 犇 犆 犅 犕 是 矩 形 设 犇 犆 犪，犉 犖 犫，则 犃 犇 犃 犅 犪，犅
65、犆 犇 犕 犫 犃 犈 犉 的 面 积 是：犃 犈 犉 犖 犪犫 多 边 形 犅 犆 犇 犉 犈 的 面 积 是 犛 梯 形 犃犅犆 犇 犛 犃犈犉 （犇 犆 犃 犅）犅 犆 犪犫 （犪 犪）犫 犪犫 犪犫 犃 犈 犉 与 多 边 形 犅 犆 犇 犉 犈 的 面 积 之 比 为 解 析 三 边 对 应 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似 解 析 在 犅 犈 犉 与 犆 犉 犇 中，且 犅 犆 ，犅 犈 犉 犆 犉 犇 解 析 犇 犈 犉 犅 犃 犉，再 利 用 面 积 比 等 于 相 似 比 的平 方 注 意 犇 犈 犉 与 犈 犅 犉 高 相 等 它 们 的 面 积 比 就 是犇 犉
66、 与 犅 犉 之 比 解 析 犃 点 坐 标 是 犃 点 坐 标 的 倍，又 犃 点 在 第 三 象限，所 以 犃 点 坐 标 是（，）解 析 犗 犃犗 犆 犗 犅犗 犇 且 犃 犗 犅 犆 犗 犇，与 两 个 三 角 形 相 似 解 析 利 用 勾 股 定 理 求 出 犃 犅 ，再 利 用 犃 犅 犆 犃 犇 犈，求 出 犃 犇 解 析 犇 犈 犃 犅，犃 犇 为 犃 犅 犆 的 角 平 分 线，犃 犈 犇 犈 犃 犅 犃 犆 犇 犈 犈 犆 犃 犈 犈 犆 解 析 犃 犈 犇 犅，犃 是 公 共 角，犃 犇 犈 犃 犆 犅 犛 犃 犇 犈犛 犃犅 犆 犃 犈（）犃 犅 犃 犇 犈 的 面
67、积 为 ，四 边 形 犅 犆 犇 犈 的 面 积 为 ，犃 犅 犆 的 面 积 为 犃 犈 ，（）犃 犅解 得 犃 犅 狔 狓 解 析 作 犗 犉 犅 犆 于 犉，犗 犈 犆 犇于 犈，证 犗 犈 犖 犗 犉 犕 即 可 犪 解 析 由 四 边 形 犃 犅 犆 犇 是 平 行 四 边 形，根 据 平 行四 边 形 对 边 平 行 且 相 等，即 可 得 犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆，犃 犅 犆 犇，然 后 由 平 行 于 三 角 形 的 一 边 的 直 线 与 其 他 两 边 相交，所 构 成 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似，即 可 判 定 犇 犈 犉 犆 犈 犅，犇 犈 犉 犃
68、 犅 犉，又 由 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等于 相 似 比 的 平 方，即 可 求 得 答 案 解 析 犃 犅 犗 犖 犅 犕 犃 犅 犗 犖 犅 犕，犗 犃犖 犕 犗 犅犅 犕 犗 犃 米，犗 犅 米，犗 犕 米，犅 犕 犗 犅 犗 犕 （米）犖 犕 ，解 得 犖 犕 （米）解 析 犈 犇 犉 犈犆犅，犈 犇 犉 犅 犃 犉，犅 犃 犉 犈犆犅 槡 解 析 由 点 犉 向 犃 犈 作 垂 线 即 可 解 析 本 题 考 查 相 似 三 角 形 的 性 质：对 应 高 之 比 等于 对 应 边 之 比 解 析 由 于 犃 犆 犇 犃 犅 犆，犅 犃 犆 犆 犃 犇，所 以 犃 犇
69、犆 犃 犆 犅，即 犃 犆犃 犅 犃 犇犃 犆 所 以 犃 犅 犃 犇 犃 犆 ，则 犃 犅 所 以 犅 犇 犃 犅 犃 犇 （）如 图（）犃 与 犅 是 犆 犇 对 的 圆 周 角，犃 犅 又 ，犃 犇 犈 犅 犆 犈（）如 图（），犃 犇 犃 犈 犃 犆，犃 犈犃 犇 犃 犇犃 犆 又 犃 犃，犃 犇 犈 犃 犆 犇 犃 犈 犇 犃 犇 犆 又 犃 犆 是 犗 的 直 径，犃 犇 犆 ，即 犃 犈 犇 直 径 犃 犆 犅 犇 犆 犇 犆 犅（）（）（第 题）（）如 图（）（第 题（）（）犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犇 犅 而 犇 犈 犃 犆，犃 犈 犇 犃 犇 平 分 犆 犃 犅，犆
70、犃 犇 犇 犃 犅 犃 犇 犈 犃 犅 犇 犃 犇 犃 犅 犃 犈 犃 犇 犃 犇 犃 犈 犃 犅（第 题（）（）连 结 犗 犇、犅 犆，它 们 交 于 点 犌，如 图（）犃 犆 犃 犅，即 犃 犆 犃 犅 ，不 妨 设 犃 犆 狓，犃 犅 狓 犃 犅 是 犗 的 直 径，犃 犆 犅 又 犆 犃 犇 犇 犃 犅，犇 犆 犇 犅 犗 犇 垂 直 平 分 犅 犆 犗 犇 犃 犈，犗 犌 犃 犆 狓 四 边 形 犈 犆 犌 犇 为 矩 形 犆 犈 犇 犌 犗 犇 犗 犌 狓 狓 狓 犃 犈 犃 犆 犆 犈 狓 狓 狓 犃 犈 犗 犇，犃 犈 犉 犇 犗 犉 犃 犈 犗 犇 犈 犉 犗 犉 犈 犉 犗
71、 犉 狓 狓 犗 犈犗 犉 （）犃 犅 犆 犃 犅 犆 ，且 相 似 比 为 犽（犽 ），犪犪 犽 犪 犽犪 又 犮 犪 ，犪 犽犮（）取 犪 ，犫 ，犮 ，同 时 取 犪 ，犫 ，犮 此 时 犪犪 犫犫 犮犮 ，犃 犅 犆 犃 犅 犆 且 犮 犪 （）不 存 在 这 样 的 犃 犅 犆 和 犃 犅 犆 理 由 如 下：若 犽 ，则 犪 犪 ，犫 犫 ，犮 犮 ，又 犫 犪 ，犮 犫 ，犪 犪 犫 犫 犮 犫 犮 犫 犮 犮 犮 犮 犪，而 犫 犮 犪，故 不 存 在 这 样 的 犃 犅 犆 和 犃 犅 犆 ，使 得 犽 年 模 拟 提 优 年 山 东 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 观
72、察 图 象 利 用 割 补 法 可 得 阴 影 部 分 的 面 积 是 个 小 正 方 形 组 成 的，易 得 阴 影 部 分 面 积 与 正 方 形 犃 犅犆 犇 的 面 积 比 或 根 据 相 似 多 边 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的平 方 来 计 算 解 析 过 点 犘 作 直 线 与 另 一 边 相 交，使 所 得 的 三 角 形与 原 三 角 形 已 经 有 一 个 公 共 角，只 要 再 作 一 个 等 于 犃 犅 犆的 另 一 个 角 即 可 过 点 犘 作 犃 犅 的 垂 线，或 作 犃 犆 的 垂 线，作 犃 犅 的 平 行 线，作 犅 犆 的 平 行 线 解
73、析 根 据 题 意 可 得，在 正 六 边 形 网 格 找 与 犇 犈 犉 相似 的 三 角 形；即 找 三 边 的 比 值 为槡 的 直 角 三 角 形；分 析 图 形 可 得：共 三 种 情 况，相 似 比 分 别 为 ，槡 ，解 析 依 题 意 可 知，犅 犘 犅 犉 犇 犎，犆 犙 犆 犌 犇 犎，又 犘 犅 犆 犙 犇 犎，犃 犘 犅 犃 犙 犆 犃 犎 犇 犃、犘、犙、犎四 点 共 线，平 面 展 开 图 形 为 平 行 四 边 形（如 图）（第 题）或 解 析 由 于 折 叠 前 后 的 图 形 不 变，要 考 虑 以 点犅、犉、犆 为 顶 点 的 三 角 形 与 犃 犅 犆 相
74、 似 时 的 对 应 情 况，分两 种情况讨论：犅犉 犆 犃 犅 犆时，犅 犉；犅犆 犉 犅 犆 犃 时，犅 犉 槡狀狀 解 析 由 狀 个 边 长 为 的 等 边 三 角 形 有 一 条 边在 同 一 直 线 上，则 犅 ，犅 ，犅 ，犅 狀 在 一 条 直 线 上，可 作 出直 线 犅 犅 易 求 得 犃 犅 犆 的 面 积 为 槡，然 后 由 相 似 三角 形 的 性 质，易 求 得 犛 槡 的 值，同 理 求 得 犛 槡，继而 求 得 犛 狀 的 值 狀 解 析 先 求 出 犔 ，犔 不 难 发 现规 律 解 析 ，（）犃（，），犃 犗 犅 犆 犇 犗 犇 犇 犈 犈 犉 狋 犉 犗
75、犅 狋狋 （）由 犃 犆 犉 犃 犗 犅，得槡槡 狋槡 狋犗 犅 犗 犅 狋 狋 犛 犗犃 犅 狋 狋（狋 ）（）要 使 犅 犈 犉 与 犗 犉 犈 相 似，犉 犈 犗 犉 犈 犅 ，只 要 犗 犈犈 犅 犈 犉犈 犉 或 犗 犈犈 犉 犈 犉犈 犅 即 犅 犈 狋 或 犈 犅 狋 当 犅 犈 狋 时，犅 犗 狋，狋 狋 狋 狋 （舍 去）或 狋 犅（，）当 犈 犅 狋 时，（）当 犅 在 犈 的 左 侧 时，犗 犅 犗 犈 犈 犅 狋，狋 狋 狋 狋 （舍 去）或 狋 犅（，）（）当 犅 在 犈 的 右 侧 时，犗 犅 犗 犈 犈 犅 狋，狋 狋 狋 狋 （舍 去）或 狋 犅（，）（）犃 犈
76、 犇是 由 犃 犅 犆 绕 点 犃 顺 时 针 旋 转 得 到 的，犅 犃 犆 犇 犃 犈 ，犅 犃 犇 犆 犃 犈，犃 犅 犃 犇，犃 犆 犃 犈 犃 犅 犇 犅 犃 犇 犆 犃 犈 犈 犆 犃 又 犅 犌 犃 犆 犌 犉，犃 犅 犌 犉 犆 犌（）存 在 由（）知 犃 犅 犌 犉 犆 犌，当 犅 犌 犆 犌 时，犃 犅 犌 犉 犆 犌 犃 犅 犆 犆 犃 犅 ，犌 犆 犅 犌 犅 犆 犃 犅 犃 犇，犌 犅 犃 犅 犇 犃 犅 犃 犇 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 在 原 点 左 侧 有 两 种 情 况，在 原 点 右 边 有 两 种 情况 解 析 位 似 图 形 与 犈 犗
77、 犉 有 可 能 在 犗 点 同 侧，也 有 可能 在 异 侧 解 析 设 小 刚 举 起 的 手 臂 时 总 长 为 狓 米，利 用 相 似 比求 得 狓 ，那 么 小 刚 举 起 的 手 臂 超 出 头 顶 是 （米）解 析 犃 犇 犃 犅 犛 犃 犇 犈 犛 槡犃犅 犆 解 析 犃 犅 犃 犆 犅 犆槡 ，犈 犉 犇 犆 犃 犅 解 析 相 似 三 角 形 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 解 析 树 高，得 树 高 等 于 犅 或 犆 或 犃 犈犃 犆 犃 犇犃 犅解 析 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 加 条 件 解 析 面 积 之 比 等 于 对 应 高
78、之 比 的 平 方 狀 解 析 先 求 出 犔 ，犔 ，不 难 发 现规 律 解 析 ，（）犅 （，）；（第 题）（）正 确 画 出 旋 转 图 形，则犗 犅 槡槡槡 ，犅 犅 的 弧 长 槡 槡 （）抛 物 线 与 狓 轴 交 于 犃（，）、犅 两 点，且 对 称 轴为 直 线 狓 ，点 犅 的 坐 标 为（，）可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 狔 犪（狓 ）（狓 ）又 抛 物 线 经 过 点 犆（，），犪（）（）犪 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 狔 （狓 ）（狓 ）即 狔 狓 狓 （）依 题 意，得 犗 犃 ，犗 犅 ，犛 犃犗 犆 犛 犅犗 犆 犗 犃（）犗 犆 犗 犅（
79、）犗 犆 犗 犃 犗 犅 （）在 抛 物 线 狔 狓 狓 上，存 在 符 合 条 件 的 点 犘（第 题）如 图，连 结 犅 犆，交 对 称 轴于 点 犘，连 结 犃 犘、犃 犆 犃 犆 长 为 定 值，要 使 犘 犃 犆 的 周 长最 小，只 需犘 犃 犘 犆最小 点犃关 于 对 称 轴狓 的 对 称 点 是 点 犅（，），抛 物 线 狔 狓 狓 与 狔 轴 交 点 犆 的 坐 标 为（，），由 几 何 知 识 可 知，犘 犃 犘 犆 犘 犅 犘 犆 为 最 小 设 直 线 犅犆 的 解 析 式 为 狔 犽狓 将 犅（，）代 入 得 犽 ，犽 狔 狓 当 狓 时，狔 点 犘 的 坐 标 为（
80、，）（）在 犅 犇 犈 和 犉 犇 犃 中，犉 犅 犅 犇，犃 犈 犈 犇，犅 犇犉 犇 犈 犇犃 犇 又 犅 犇 犈 犉 犇 犃，犅 犇 犈 犉 犇 犃（）直 线 犃 犉 与 犗 相 切 连 结 犗 犃、犗 犅、犗 犆 犃 犅 犃 犆，犅 犗 犆 犗，犗 犃 犗 犃，犗 犃 犅 犗 犃 犆 犗 犃 犅 犗 犃 犆 犃 犗 是 等 腰 三 角 形 犃 犅 犆 顶 角 犅 犃 犆 的 平 分 线 犃 犗 犅 犆 由 犅 犇 犈 犉 犇 犃，得 犈 犅 犇 犃 犉 犇 犅 犈 犉 犃 由 犃 犗 犅 犈 知，犃 犗 犉 犃 直 线 犃 犉 与 犗 相 切（第 题）考 情 预 测 解 析 由 于 犃
81、 犇 犈 犃 犅 犇 ，犅 犃 犇 犅 犇 犃 犅 犇 犃 犈 犇 犆，所 以 犅 犃 犇 犈 犇 犆，所 以 犅 犃 犇 犆 犇 犈，利 用 相 似 比 即 可 求 出 犃 犅 解 析 以 长 的 为 一 边，将 长 的 细 木 条 裁 成长 ，（剩 下 作 余 料），或 者 以 长 的 为 一 边，将长 的 细 木 条 裁 成 长 、（剩 下 作 余 料）解 析 两 个 三 角 形 相 似 比 是 槡 解 析 由 题 意 知：犃 犅 犆 犈 犉 犇，且 相 似 比 为 ，周 长 之 比 等 于 相 似 比 解 析 将 问 题 转 化 为 相 似 三 角 形，利 用 相 似 三 角 形的 性 质、矩 形 的 性 质、二 次 函 数 极 值 等 知 识 解 题 犈犉 将 梯 形 犃 犅犆 犇 分 成 两 个 梯 形 犃 犈犉 犇，犈 犅犆犉 相 似，犃 犇犈 犉 犈 犉犅 犆，即 犈 犉 犈 犉，得 犈 犉 犛 梯 形 犃犉 犉 犇犛 梯 形 犈犅 犆 犉 犃 犈（）犈 犅犈 犉（）犅 犆（）
