1、2015-2016学年湖南省岳阳一中、湘潭一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x=3n+1，nN，B=4，6，8，10，12，则集合AB中的元素个数（）A1B2C3D42已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）ABCD23已知为钝角，sin=，则tan（+）=（）A3BC3D4某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A =10x+200B =10x+200C =10x200D =10x2005执行如
2、图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出S的值是（）A45B46C55D566函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）ABCD7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A45B60C90D1208给出如下四个命题：若“pq”为真命题，则p，q均为真命题；“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；“xR，x2+x1”的否定是“x0R，x+x01”；“x1”是“x0”的充分不必要条件其中不正确的命题是（）ABCD9已知（a2），（xR），则p，q的大小关系为（）ApqBpqCpq
3、Dpq10一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）AB21C21+D21+11设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A（0，）B（0，1）C（0，D（，+）12从双曲线=1（a0，b0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的大小关系为（）A|MO|MT|baB|MO|MT|=baC|MP|MT|baD不确定二、填空题：本大题共4个小题，共
4、20分，将答案填写在题中的横线上.图313在直角坐标系xOy中，设集合=（x，y）|0x1，0y1，在区域内任取一点P（x，y），则满足x+y1的概率等于_14设抛物线y2=4x焦点F，经过点P（4，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=_15如图，已知|=2，|=2， =0点C在线段AB上，AOC=30，用和来表示向量，则等于_16若函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且x1，1时，f（x）=1x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
5、17如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，ADBC，CEBG，且BCD=BCE=，平面ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2求证：（）ECCD；（）求证：AG平面BDE；（）求：几何体EGABCD的体积18函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，且f（）=（）求f（x）的解析式，（）用函数单调性的定义证明f（x）在（1，1）上是增函数19已知直线y=kx+1与双曲线x2y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（2，0）（1）求实数k的取值范围；（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围20如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB
6、=90，侧面PAB为等边三角形，侧棱（）求证：PCAB；（）求证：平面PAB平面ABC；（）求二面角BAPC的余弦值21已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=4n+（1）n1（为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立22已知椭圆C： +=1（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；（）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E， =， =判断+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理
7、由2015-2016学年湖南省岳阳一中、湘潭一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=x|x=3n+1，nN，B=4，6，8，10，12，则集合AB中的元素个数（）A1B2C3D4【考点】交集及其运算【分析】由题意求出A与B的交集，即可作出判断【解答】解：A=x|x=3n+1，nN，B=4，6，8，10，12，AB=4，10，则集合AB中的元素个数为2，故选：B2已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双
8、曲线的简单性质【分析】利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，可得a=2b，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，a=2b，c=b，双曲线的离心率是e=故选：A3已知为钝角，sin=，则tan（+）=（）A3BC3D【考点】两角和与差的正切函数【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，进而利用两角和的正切函数公式可求tan（+）的值【解答】解：为钝角，sin=，cos=，tan=2，tan（+）=故选：D4某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A =10x+200B =10x+2
9、00C =10x200D =10x200【考点】回归分析【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=10x2000不符合题意故选A5执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出S的值是（）A45B46C55D56【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=11时不满足条件i10，退出循环，输出S的值为46，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得n=10，i=1，s=1满足条件i10，执行循
10、环体，s=1，i=2满足条件i10，执行循环体，s=2，i=3满足条件i10，执行循环体，s=4，i=4满足条件i10，执行循环体，s=7，i=5满足条件i10，执行循环体，s=11，i=6满足条件i10，执行循环体，s=16，i=7满足条件i10，执行循环体，s=22，i=8满足条件i10，执行循环体，s=29，i=9满足条件i10，执行循环体，s=37，i=10满足条件i10，执行循环体，s=46，i=11不满足条件i10，退出循环，输出s的值为46故选：B6函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）ABCD【考点】正弦函数的图象；函数的图象与图象变化【分析】画出y=|sinx|的图象即可
11、得到答案【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A45B60C90D120【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中求出此角即可【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EFA1B、GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60，故选B8给出如下四个命题：若“pq”为真命
12、题，则p，q均为真命题；“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；“xR，x2+x1”的否定是“x0R，x+x01”；“x1”是“x0”的充分不必要条件其中不正确的命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据复合命题真假关系进行判断，根据否命题的定义进行判断，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可，根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若“pq”为真命题，则p，q至少有一个是真命题，故错误；“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，故正确，“xR，x2+x1”的否定是“x0R，x+x01”；故错误，若x1，则x0成立，即充分性成立，
13、若当x=满足x0，但x1不成立，即x0“x1”是“x0”的充分不必要条件故正确，故错误的是，故选：C9已知（a2），（xR），则p，q的大小关系为（）ApqBpqCpqDpq【考点】不等式比较大小【分析】利用基本表达式求出p的最小值，求出q的最大值，即可判断p，q的大小【解答】解：2+2=4，当且仅当a=3时，取得等号；而由于x222，故，当且仅当x=0时，取得等号，故pq故选A10一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）AB21C21+D21+【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为
14、2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=622611+2=21+故选：D11设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A（0，）B（0，1）C（0，D（，+）【考点】函数的值域【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围【解答】解：函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在a，bD，使f（x）在a，b上的值域是，f（x）在a，b上是增函数；，即，方程+t
15、=0有两个不等的实根，且两根都大于0；，解得：0t，满足条件t的范围是（0，），故答案选：A12从双曲线=1（a0，b0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|与ba的大小关系为（）A|MO|MT|baB|MO|MT|=baC|MP|MT|baD不确定【考点】双曲线的简单性质【分析】将点P置于第一象限设F1是双曲线的右焦点，连接PF1由M、O分别为FP、FF1的中点，知|MO|=|PF1|由双曲线定义，知|PF|PF1|=2a，|FT|=b由此知|MO|MT|=（|PF1|PF|）+|FT|=ba【解答】
16、解：将点P置于第一象限设F1是双曲线的右焦点，连接PF1M、O分别为FP、FF1的中点，|MO|=|PF1|又由双曲线定义得，|PF|PF1|=2a，|FT|=b故|MO|MT|=|PF1|MF|+|FT|=（|PF1|PF|）+|FT|=ba故选：B二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.图313在直角坐标系xOy中，设集合=（x，y）|0x1，0y1，在区域内任取一点P（x，y），则满足x+y1的概率等于【考点】几何概型【分析】本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的集合=（x，y）|0x1，0y1，满足条件的事件A=（x，y）|0x1，0y1，x+y1，算出
17、两个集合对应的面积，面积之比就是要求的概率【解答】解：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的集合=（x，y）|0x1，0y1，S=11=1，满足条件的事件A=（x，y）|0x1，0y1，x+y1，SA=，由几何概型公式得到P=，故答案为：14设抛物线y2=4x焦点F，经过点P（4，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=10【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义，得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1又根据中点坐标公式，可得x1+x2=8，代入前式即可得到|AF|+|BF|的值【解答】解：设A
18、（x1，y1），B（x2，y2），作出抛物线的准线：x=1，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，根据抛物线的定义，得|AF|=|AC|=x1+1，|BF|=|BD|=x2+1，故|AF|+|BF|=（x1+x2）+2AB中点为P（4，1），（x1+x2）=4，可得x1+x2=8|AF|+|BF|=（x1+x2）+2=10故答案为：1015如图，已知|=2，|=2， =0点C在线段AB上，AOC=30，用和来表示向量，则等于+【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用三角形知识求出AC，AB，用表示出，于是【解答】解：，OAOBOA=2，OB=2，|AB|=4，A=60，B=30AO
19、C=30，OCAB，AC=，=，=+故答案为： +16若函数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），且x1，1时，f（x）=1x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为8【考点】函数的周期性【分析】判断出f（x）的周期为2，转化为函数f（x）与g（x）函数图象的交点个数，画出图象即可判断【解答】解：数y=f（x）（xR）满足f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为2，h（x）=f（x）g（x）在区间5，5内的零点的个数为，函数f（x）与g（x）函数图象的交点个数，根据函数图象判断：f（x）与g（x）函数图象的交点个数8，故
20、答案为：8三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，ADBC，CEBG，且BCD=BCE=，平面ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2求证：（）ECCD；（）求证：AG平面BDE；（）求：几何体EGABCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）利用面面垂直的性质，证明EC平面ABCD，利用线面垂直的性质证明ECCD；（）在平面BCEG中，过G作GNCE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AGDM，即可证明AG平面BDE；（）利用分割法即可求出几何体EGABCD的
21、体积【解答】（）证明：由平面ABCD平面BCEG，平面ABCD平面BCEG=BC，CEBC，CE平面BCEG，EC平面ABCD，又CD平面BCDA，故ECCD（）证明：在平面BCEG中，过G作GNCE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MNBCDA，且，MGAD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，AGDMDM平面BDE，AG平面BDE，AG平面BDE（）解：18函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，且f（）=（）求f（x）的解析式，（）用函数单调性的定义证明f（x）在（1，1）上是增函数【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明【分析】（）根据奇函数的性质
22、可知f（0）=0，求出b，a值；（）利用定义的方法判断函数单调性，设x1，x2（1，1）且x1x2，判断f（x1）f（x2）的正负即可【解答】解：（）由题知，f（x）是（1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0又因为f（）=所以a=1，f（x）=；（）证明：x1，x2（1，1）且x1x2，则有f（x1）f（x2）=，x1x2，x1，x2（1，1），f（x1）f（x2）=0，f（x1）f（x2），函数在（1，1）上是增函数19已知直线y=kx+1与双曲线x2y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（2，0）（1）求实数k的取值范围；（2）求直线MC在y轴上的截距的
23、取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由直线y=kx+1代入双曲线x2y2=1，可得（1k2）x2+2kx2=0，再直线y=kx+1与双曲线x2y2=1的左支相交于不同的两点A，B，利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围（2）由直线l经过C（2，0）及线段AB的中点M，知直线MC的方程为x（2k2+k+2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=设f（k）=2k2+k+2=2（k）2+，则f（k）在（1，）上是减函数，由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围【解答】解：（1）直线y=kx+1代入双曲线x2y2=1，可得（1k2）x22kx2=0，直线y=kx+1
24、与双曲线x2y2=1的左支相交于不同的两点A，B，1k20，=4k2+8（1k2）0，解得1kk的取值范围是（1，）（2）设M（x0，y0），x0=，y0=kx0+1=，直线l经过C（2，0）及线段AB的中点M，直线MC的方程为：，整理，得x（2k2+k+2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=设f（k）=2k2+k+2=2（k）2+，则f（k）在（1，）上是减函数，f（）f（k）f（1），且f（k）0，2+f（k）1，且f（k）0，b2，或b2，故直线l在y轴上的截距b的取值范围是（，2）（2，+）20如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90，侧面PAB为等边三角
25、形，侧棱（）求证：PCAB；（）求证：平面PAB平面ABC；（）求二面角BAPC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）由题意，证明PCAB可通过证明AB平面PCD，用线面垂直证线线垂直；（II）要证明两个平面垂直，可以证明两个平面所成的二面角是直角，根据三边长满足勾股定理得到直角，得到结论（III）方法一：过D作DEPA于E，连接CE，则CEPA所以DEC是二面角BAPC的平面角，在三角形中求角即可；方法二：（空间向量法）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，给出各点的坐标，建立方程求出两个平面的法向量，用公式求出二面角的余弦值，【解答】解：（）设AB中点为D
26、，连接PD，CD，因为AP=BP，所以PDAB又AC=BC，所以CDAB因为PDCD=D，所以AB平面PCD因为PC平面PCD，所以PCAB（）由已知ACB=90，AC=BC=2，所以，又PAB为正三角形，且PDAB，所以因为，所以PC2=CD2+PD2所以CDP=90由（）知CDP是二面角PABC的平面角所以平面PAB平面ABC（）方法1：由（）知CD平面PAB过D作DEPA于E，连接CE，则CEPA所以DEC是二面角BAPC的平面角在RtCDE中，易求得因为，所以所以即二面角BAPC的余弦值为方法2：由（）（）知DC，DB，DP两两垂直以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系易知D（0，0，
27、0），所以，设平面PAC的法向量为n=（x，y，z），则即令x=1，则y=1，所以平面PAC的一个法向量为易知平面PAB的一个法向量为所以由图可知，二面角BAPC为锐角所以二面角BAPC的余弦值为21已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=4n+（1）n1（为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立【考点】数列递推式【分析】（1）本题由条件Sn+1+Sn1=2Sn+1，借助项与和关系SnSn1=an，可确定数列为等差数列，进而求出数列an的通项公式an=n+1
28、（2）由an通项写出bn的通项，欲证明数列为递增数列，可借助作差法证明bn+1bn0即可，进行整理变形即转化为对（1）n12n1（nN*）恒成立的证明借此讨论N的奇数偶数两种情况就可求出的范围，再综合为非零的整数即可确定的具体取值【解答】解：（1）由已知，（Sn+1Sn）（SnSn1）=1（n2，nN*），即an+1an=1（n2，nN*），且a2a1=1数列an是以a1=2为首项，公差为1的等差数列an=n+1（2）an=n+1，bn=4n+（1）n12n+1，要使bn+1bn恒成立，bn+1bn=4n+14n+（1）n2n+2（1）n12n+10恒成立，34n3（1）n12n+10恒成立，
29、（1）n12n1恒成立（）当n为奇数时，即2n1恒成立，当且仅当n=1时，2n1有最小值为1，1（）当n为偶数时，即2n1恒成立，当且仅当n=2时，2n1有最大值2，2即21，又为非零整数，则=1综上所述，存在=1，使得对任意nN*，都有bn+1bn22已知椭圆C： +=1（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；（）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E， =， =判断+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可得，解得即可（2）易知
30、直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y0）与椭圆的方程联立化为（1+4k2）x2+8k2x+4k24=0，可得根与系数的关系，由=， =利用向量的线性运算即可得出【解答】解：（1）由题意可得，解得，椭圆的方程为=1（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y0）联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k24=0，0，（*），（1x1，y1）=（x2+1，y2），可得（x1+1）=（x2+1）得由=，可得（4x1，y0y1）=（x2+4，y2y0），可得（x1+4）=（x1+4），得+=，把（*）代入分子=+8=0，+=02016年9月20日
