1、莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则满足的集合的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】可以是共4个，选D.2. 若复数满足（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得，所以，选A.3. “”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以
2、“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4. 已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】由题设，81是该数列中的一项，即，所以，因为，所以是80的因数，故不可能是3，选B.5. 给出关于双曲线的三个命题：双曲线的渐近线方程是；若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】对于：双曲线的渐近线方程是，故错误；对于：双
3、曲线的焦点为，从而离心率，所以正确；对于：的中点坐标均不满足渐近线方程，所以正确；故选C.6. 记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.7. 将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中
4、，处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.8. 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据9. 我国南宋时期
5、的数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了计算多项式 的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式： ，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】秦九韶算法的过程是，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入，选A.10. 已知函数（，），若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故.再由，得，故
6、选B.点睛：已知函数的性质求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.11. 过正方体的顶点作平面，使棱、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D【解析】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条故选D12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则对任意，函数的零点个数至多有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个【答案】A【解析】当时，由此可知在上单调递减，在上单调递增，且,又在上的奇函数，,
7、而时，所以的图象示意图如图所示，令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，方程至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个，故选A.点睛：复合函数的零点问题的求解步骤一般是：第一步：现将内层函数换元，将符合函数化为简单函数；第二步：研究换元后简单函数的零点（一般都是数形结合）；第三步：根据第二步得到的零点范围转化为内层函数值域，进而确定的个数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则_【答案】3【解析】，所以.14. 若 ，则_【答案】251【解析】，所以.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，
8、再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 已知，若向量满足，则的取值范围是_【答案】【解析】易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.16. 已知各项都为整数的数列中，且对任意的，满足 ， ，则_【答案】【解析】由，得，两式相加得，又 ，所以，从而.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知中，.（）求边的长；（）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由得，展开求得，从而知三角形为等腰三角形；
9、（）根据面积公式求得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理即可求解.试题解析：（）因为，所以，由得 .即，从而，又，所以，所以.（）由已知得 ，所以.在中，由余弦定理得 ，再由正弦定理得，故.18. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（）该
10、企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【答案】（1）不能认为（2）（3）17.6【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图，一、二等品所占比例的估计值为，可做出判断.（2）由频率分布直方图的频率分布可知8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，分类讨论各种情况可得.（3）算出“质量提升月”活动前，后产品质量指标值为，可得质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6试题解析：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种
11、产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：一等品2件，二等品1件，三等品1件；一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.619. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2
12、的正三角形， ,.（）求证：平面平面；（）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）要证平面平面，只需证平面即可.（）分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可.试题解析：（）取的中点，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，又，所以，且，于是，从而，由得平面，而平面，所以平面平面.（）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，所以是的中点.由（）知，、两两垂直，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则、，由、坐标得，从而，设是平面的一个法向量，则由得，取，得，易知平面的一个法向量是，
13、所以 ，由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆：（）的离心率为，、分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆： （，）的一条直径的两个端点.（）求椭圆的方程；（）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【
14、解析】试题分析：（）椭圆的焦距等于圆的直径，所以，根据离心率求出；（）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，点在以线段为直径的圆内 韦达定理代入求解即可.试题解析：（）将圆的方程配方得：，所以其圆心为，半径为2.由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，又，所以，从而，故椭圆的方程为.（）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，与联立得：，由其判别式得，设，则，.从而 ， .因为的坐标为，所以，.注意到与同向，与同向，所以点在以线段为直径的圆内 ，当且仅当 即时，
15、总存在，使成立.又当时，由韦达定理知方程 的两根均为正数，故使成立的，从而满足.故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.21. 已知函数，.（）证明：，直线都不是曲线的切线；（）若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；（）原问题转化为，令，, 则，使成立，讨论函数的最小值即可.试题解析：（）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则 ，即，设，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，成立，这与矛盾.所以，直线都不是曲线的切线；（）即，令，
16、则，使成立， ，（1）当时，在上为减函数，于是 ，由得，满足，所以符合题意；（2）当时，由及的单调性知 在上为增函数，所以，即，若，即，则，所以在上为增函数，于是 ，不合题意；若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以 ，由得 ，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数
17、的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.（）求圆的参数方程；（）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.【答案】（1）为参数（2）【解析】试题分析：（）利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆 的参数方程（）解法一：设，得代入整理得，令。则问题得解解法二：由（）可得，设点 可得，可得 ，再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值试题解析：（）因为，所以， 即为圆C的普通方程 所以所求的圆C的参数方程为(为参数) （） 解法一：设，得代入整理得 (*)，则关于方程必有实数根 ，化简得解得，即的最大值为11. 将代入方程(*)得，解得，代入得故的最大值为11时，点的直角坐标为. 解法二：由（）可得，设点, , 其中，当时， 此时，,即，所以，点的直角坐标为. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（）证明：；（）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）利用绝对值三角不等式得到，进而证明即可；（）讨论去绝对值求解即可.试题解析：（） （）因为 ，所以 ，或，解之得，即的取值范围是.
