1、浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高一下学期数学期中联考试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.向量 a=(-4,5) ， b=(,1) ，若 ab ，则 的值是（ ） A.-45B.-43C.-54D.452.已知向量 a ， b 满足 |a|=2,|b|=4 ，且 a 与 b 夹角为 ，则“ ab=4 ”是“ =3 ”的（ ） A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，若向量 OZ 对应的复数为 z ，且 |z|=5 ，则 1z= （ ） A.15+25iB.-15-25iC.15-25iD.-15+25i4.一
2、个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） A.B.C.D.5.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 26 ，则该正四棱锥外接球的表面积为（ ） A.16B.24C.36D.646.在 ABC 中， C 是直角，则 sin2A+2sinB （ ） A.无最大值，也无最小值B.有最大值，也有最小值C.有最大值，而无最小值D.有最小值，而无最大值7.在 ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 ac=b2-a2,A=6 ，则 ABC 的形状为（
3、） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等 腰三角形8.已知 O 是 ABC 的外心， AB=4,AC=6,AO=xAB+yAC, 且 3x+8y=4 ，若 x0 ，则 cosBAC 的值为（ ） A.916B.59C.512D.516二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.如图， ABC 表示水平放置的 ABC 根据斜二测画法得到的直观图， AB 在 x 轴上， BC 与 x 轴垂直，且 BC=2 ，则下列说法正确的是（ ） A.ABC 的边 AB 上的高为2B.ABC 的边 AB 上的高为4C.ACBCD.AC0,0,00,0) ，则 13+1 的最小值为_ 18.已
4、知向量 |a|=|b|=ab=2,c=a+b(,R), 且 |c-a+b2|=|a-b2| ，则 + 的取值范围是_ 四、解答题：本大题共5小题，每题12分，共60分19.已知平行四边形 ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ， DAB=60 ，点 E 是线段 BC 的中点 （1）求 ACAE 的值； （2）若 AF=AE+AD ，且 BDAF ,求 的值 20.如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 a ，过 PO 上的一点 O 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱 （1）若 O 是 PO 的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； （2）当 OO 为何值时，被挖去的圆柱的侧
5、面积最大？并求出这个最大值 21.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 若 a2+c2+ac=b2 （1）求角 B 的大小； （2）设 BC 的中点为 D ，且 AD=3 ，求 a+2c 的取值范围 22.如图，已知两条公路 AB ， AC 的交汇点 A 处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P ，在两公路旁 M ， N （异于点 A ）处设两个销售点，且满足 A=PMN=75 ， MN=6+2 （千米）， PM=23 （千米），设 AMN= （注： sin75=6+24 ） （1）试用 表示 AM ，并写出 的范围； （2）当 为多大时，工厂产生的噪声对学校
6、的影响最小（即工厂与学校的距离最远） 23.在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A,B,C 三点满足 OC=13OA+23OB. （1）求 |AC|CB| 的值； （2）已知 A(2sinx,cosx),B(2sinx+cosx,cosx),x0,2 ， f(x)=OAOC-(2m|AB|+23)OAAB ，若 f(x) 的最小值记为 g(m) ，求 g(m) 表达式，并求 g(m) 的最大值答案解析部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.【答案】 A 【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】解：由 ab得（-4）1-5=0，解得=-45
7、 ， 故答案为：A. 【分析】由平行向量的充要条件直接求解即可.2.【答案】 C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解：当 ab=4 时，即abcos=24cos=4 ， 则cos=12 ， 又（0，），则=3 ， 所以充分性成立； 当=3时，则cos=12 ， 所以ab=abcos=24cos=4 ， 所以必要性成立，所以ab=4是=3的充分必要条件. 故答案为：C. 【分析】根据向量的数量积，结合充要条件的判定直接判定即可3.【答案】 D 【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】由题意，设 z=-1+bi(b0)
8、，则 |z|=1+b2=5 ，解得 b=2 ，即 z=-1+2i ， 所以 1z=1-1-2i=-1+2i(-1-2i)(-1+2i)=-1+2i5=-15+25i 故答案为：D 【分析】 根据图形可设z=-1+bi，b0，利用复数的模5可求出b，从而求出z的共轭复数，最后利用复数的除法法则进行运算即可4.【答案】 B 【考点】棱锥的结构特征，球内接多面体 【解析】【解答】解：如图所示，设三棱锥S- ABC的各棱长均相等球O是它的内切球, 设H为底面ABC的中心，根据对称性可得内切球的球心O在三棱锥的高SH上, 由SC、SH确定的平面交AB于D，连结SD、CD，得到截面SCD， 截面SCD就是
9、经过侧棱SC与AB中点的截面， 平面SCD与内切球相交，截得球大圆如图所示. 因为SCD中，圆O分别与SD、CD相切于点E、H，且SD= CD ,圆O与SC相离, 所以对照各个选项，可得只有B项的截面图形符合题意. 故答案为：B 【分析】本题考查三棱锥的内切球问题，关键在于明确内切球的球心O在三棱锥的高SH上，并明确圆O分别与SD、CD相切，与SC相离即可判断.5.【答案】 C 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：如图所示， 设外接球半径为R，底面ABCD的外接圆半径为r，正四棱锥的高为h, 则由题意得r=AE=12AC=1242+42=22 ， h=PE=PA2-AE2=262-2
10、22=4 ， 又R=AO， 则由R2=r2+h-R2得R=3， 所以 该正四棱锥外接球的表面积为S=4R2=36 故答案为：C 【分析】本题主要考查正棱锥的外接球问题，利用R2=r2+h-R2直接求解即可.6.【答案】 A 【考点】诱导公式，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：因为在ABC中,C是直角，所以A+B=2 ， 所以A=2-B ， 由题意得0B2 ， 所以sinB0,1 ， 则 sin2A+2sinB=sin22-B+2sinB=cos2B+2sinB=-sin2B+2sinB+1 ， 设t=sinB，则t0,1 ， y=-t2+2t+1 ， 其图象的对称轴为t=1， 所以函数
11、没有最值，即 sin2A+2sinB 无最大值，也无最小值 故答案为：A 【分析】利用三角形内角和 的性质，结合三角恒等变换，以及二次函数的最值求解即可.7.【答案】 B 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形的形状判断 【解析】【解答】解：根据题意，已知ac=b2-a2, 则b2=a2 +ac 由余弦定理得: b2=a2 +c2- 2accosB，则a2+ac=a2 +c2-2accosB, 得a=c-2acosB(c0)， 由正弦定理得: sinA=sinC-2sinAcosB，得sinA=sin(-A-B)-2sin AcosB，得sinA=sin( A+B
12、)-2sinAcosB， 得sinA=sinAcos +cosAsin B-2sin AcosB得sinA=sin(B-A) 因0B，则A=B-A,得 B=2A=3 ， 得C=-A-B=2 故ABC的形状为直角三角形. 故答案为：B 【分析】根据正弦定理，余弦定理，以及两角和与差的正弦公式求解即可.8.【答案】 A 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的性质及其运算律，三角形五心 【解析】【解答】解： 如图所示，过点O作ODAB,OEAC，垂足分别为D，E， 因为点O是ABC的外心，所以AO=OB=OC，所以AD=12AB,AE=12AC ， 则AOAB=12AB2=8 ，
13、AOAC=12AC2=18 ， 因为 AO=xAB+yAC, 所以AOAB=xAB2+yABAC=8 ， 即16x+24ycosBAC=8， 同理AOAC=xABAC+yAC2=18,即36y+24xcosBAC=18， 又3x+8y=4， 联解，得cosBAC=916 故答案为：A 【分析】利用三角形外心的性质，同时根据向量的数量积直接求解即可二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.【答案】 B,D 【考点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CD/y，则CDB=45， 又因为 AB在x轴上，BC与x轴垂直，且BC=2 ， 所以CD=2， 则根据斜二测画法，
14、ABC的边AB上的高为2CD=4， 又根据斜二测画法，还原可得ABC ， 如图所示，易知在RtBCD中，AC1无解，所以A符合题意； B项，由正弦定理csinC=bsinB得sinC=cbsinB=523sin45=56-1,1 ， 且cb，所以此三角形有两个解，所以B不符合题意； C项，由正弦定理asinA=bsinB得sinA=absinB=1510sin120=3341无解，所以C符合题意； D项，由正弦定理csinC=bsinB得sinB=bcsinC=663sin60=12-1,1 ， 且cb，所以B=30，C=60，A=90，此三角形有一个解，所以D不符合题意. 故答案为：AC 【
15、分析】由正弦定理，结合正弦函数的值域以及三角形的性质逐项判断即可.12.【答案】 A,B 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义，向量加减法的应用 【解析】【解答】解： 【解答】解：A，a+b=e1+2e2+2e1-e2=1+2e1+2-1e2=1+2,2-1 ， 所以A正确； B，a=e1+2e22=e12+22e1e2+2e22=1+2211cos34+2=1 ， 所以B正确； C，因为ab=e1+2e22e1-e2=2e12+e1e2+2e22=3220 ， 所以C错误； D， b在a上的投影为aba=3221=322 ， 又b=2e1-e22=5 ， 所以 b
16、在a上的投影向量为ababb=322b5=3105b ， 所以D错误. 故答案为：AB 【分析】根据题意中的 反射坐标系 ，结合向量的加法，向量的模，向量 的数量积，以及投影向量的定义和运算法则逐项进行求解和判断即可.三、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分13.【答案】 2+2 【考点】平面图形的直观图，斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：由斜二测画法知原平面图形是直角梯形，如图所示， 其中AB=2,AD=1,ABBC，BC=1+2, 则直角梯形ABCD的面积为S=AD+BCAB2=1+1+222=2+2. 故答案为：2+2 【分析】根据斜二测画法，易知原平面图形是直角梯形ABCD，
17、并分别求出AB，AD，BC，利用梯形面积公式直接求解即可.14.【答案】 一 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：原式=34-4i+i2=33-4i=33+4i3-4i3+4i=9+12i25=925+1225i ， 对应的点的坐标为925，1225 ， 位于第一象限 故答案为：一 【分析】根据复数的运算，以及复数的几何表示直接求解即可15.【答案】 y=2sin(2x+23) 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】解：由图象易知A=2，12T=512-12=2 ， 则T=，则=2T=2 ， 所以函数为y=
18、2sin(2x+)， 又因为点-12，2作为五点作图法中的第二个点， 所以2-12+=2 ， 解得=23 ， 故函数的解析式为y=2sin(2x+23) 故答案为：y=2sin(2x+23). 【分析】本题主要考查y=Asinx+的图象与性质，根据正弦函数的图象与性质逐个求解A， ， 即可.16.【答案】 109 【考点】平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：由 在ABC中，|AB+AC|=|AB-AC| ， 得ABC=90， 又因为 E,F为BC的三等分点， 则CB=AB-AC,CF=13CB,CE=23CB ， 又因为AE=AC+CE,AF=AC+CF
19、 ， 则AE=23AB+13AC,AF=13AB+23AC ， 所以AEAF=23AB+13AC13AB+23AC=29AB2+29AC2=2922+2912=109 【分析】由题意易知ABC是直角三角形，再根据向量的线性运算用AB,AC表示AE,AF ， 再根据向量数量积直接求解即可.17.【答案】 163 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量加减混合运算及其几何意义 【解析】【解答】解：由题意得 AP=AB+AC=AB+3AD ， 又P,B,D三点共线，则+3=1， 则13+1=+313+1=103+103+2=163 ， 当且仅当=14时，取等号. 所以13+1的最小值为163.
20、故答案为：163 【分析】利用向量的线性运算，结合三点共线的充要条件求得+3=1，再利用基本不等式求最值即可.18.【答案】 1-33,1+33 【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：设向量a，b的夹角为，则由 |a|=|b|=ab=2 ， 又 ab=abcos=2解得cos=12 ， 所以=60， 故如图所示，可设a=1，3，b=-1，3，c=x,y ， 则由|c-a+b2|=|a-b2|得x2+y-32=1 ， 即x2+y-32=1 ， 则可令x=cosy=3+sin, 又c=a+b ， 则x,y=1，3+-1，3 所以x=-y=3+ ，
21、则=12x+36y=-12x+36y ， 所以+=12x+36y+-12x+36y=33y=333+sin=1+33sin ， 又因为sin-1,1， 所以+1-33，1+33. 故答案为：1-33，1+33 【分析】由题意易得向量a，b的夹角为=60，则可将a，b坐标化，结合题意可判断向量c的轨迹是圆，并将其轨迹参数化，利用化归思想，将+的取值范围转化为正弦函数的值域问题求解即可.四、解答题：本大题共5小题，每题12分，共60分19.【答案】 （1）解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则：A（0，0），C（4，），E（3， 3 ） B（2，0）D（2， 2
22、3 ） AC=(4，23)，AE=(3，3) ， ACAE=43+233=18 （2）解： BD=(0，23) ， AF=(3+2，3+23) ， BDAF， BDAF=23(3+23)=0 ， =-12 方法二：用基底向量求酌情给分。【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【分析】（1）建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示直接求解即可； （2）根据向量的线性运算求得向量AF ， 再利用向量垂直的坐标表示直接求解即可.20.【答案】 （1）解：当 O 是PO中点时，圆柱的底面半径 a4 ，高为 a2 ，圆锥的母线长为 52a S剩表=S
23、圆柱侧+S圆锥表 =2a4a2+(a2)2+a252a = 2+54a2 V剩=V圆锥-V圆柱 =13（a2）2a-(a4)2a2 =596a3 （2）解：设 OO=x(0xa) ，圆柱的底面半径为 r 则 ra2=a-xa r=12(a-x) S圆柱侧=212(a-x)x =-(x2-ax) =-(x-a2)2+14a2 0xa 当 x=a2 ， 即OO=a2 时， S圆柱侧 有最大值 14a2 【考点】二次函数在闭区间上的最值，旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【分析】（1）根据圆锥的表面积公式直接求解即可； （2）根据圆柱的侧面积公式，结合二次函数最值的求法直接求解即可，考查了化归思想
24、.21.【答案】 （1）解：由题意得 a2+c2-b2=-ac cosB=-12 又B(0，) ， B=23 （2）解：设BAD，则ABD中，由 B=23 可知 (0，3) ， 由正弦定理及 AD=3 ，可得 BDsin=ABsin(3-)=ADsin23=2 ，所以 a2=2sin，c=2sin(3-) a+2c=4sin+4sin(3-)=4(12sin+32cos)=4sin(+3) 由 (0，3) ，可知， +3(3，23) ， sin(+3)(32，1 ， a+2c(23，4 【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，余弦定理的应用 【解析】【分析】（1）
25、由余弦定理直接求解即可； （2）由正弦定理，结合正弦函数的性质求解即可.22.【答案】 （1）解：因为 AMN= ，在 AMN 中， MNsin75=AMsin(75+) 因为 MN=6+2 ，所以 AM=4sin(75+) ， (0105) （2）解：在 APM 中， AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP =16sin2(75+)+12-163sin(75+)cos(75+) =81-cos(2+150)-83sin(2+150)+12 =20-83sin(2+150)+cos(2+150) =20-16sin(2+180)(0105) =20+16sin2 ， (0105) 当且
26、仅当 2=90 ，即 =45 时， AP2 取得最大值36，即 AP 取得最大值6所以当 =45 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小【考点】三角函数的最值，函数模型的选择与应用，余弦定理 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，从而求出 表示 AM 的关系式，再利用实际问题的已知条件求出角 的取值范围。 （2） 在 APM 中， 结合余弦定理求出 AP2=20+16sin2 ，再利用角 的取值范围结合正弦型函数图象求最值的方法，进而求出 AP2 的最大值，从而求出AP的最大值。 23.【答案】 （1）解：由题意可得 A,B,C 三点满足 OC=13OA+23OB, 可得 OC-OA=2
27、3(OB-OA) ，所以 AC=23AB=23(AC+CB) ，即 13AC=23CB, 即 AC=2CB ，则 |AC|=2|CB| 所以 |AC|CB|=2 .（2）解：由题意可得： OA=(2sinx,cosx),OB=(2sinx+cosx,cosx), OC=13OA+23OB=(2sinx+23cosx,cosx), AB=OB-OA=(cosx,0) f(x)=OAOC-(2m|AB|+23)OAAB=2sin2x+223sinxcosx+cos2x-(2mcosx+23)2sinxcosx =sin2x-22msinx+1=(sinx-2m)2+1-2m2 令 t=sinx ，因为 x0,2 ，所以 t0,1, 令 h(t)=(t-2m)2+1-2m2,t0,1, 当 m22 时， h(t) 在 0,1 递减， h(t) 的最小值为 h(1)=2-22m ，即 g(m)=2-22m. 综上可得， g(m)=1,m22 可得 g(m) 的最大值为1.【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量的坐标运算，平面向量坐标表示的应用 【解析】【分析】（1）利用三点共线的充要条件，结合向量的线性运算法则求解即可； （2）利用向量运算的坐标表示，结合三角恒等变换和二次函数最值的求法直接求解，注意分类讨论思想的运用.
