1、1.2.1任意角的三角函数在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾OabMPc条件：在直角三角形中为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论角，那么你能用坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进1个单位圆(圆心为原点，半径为1)；角的终边与单位圆交于P(a,b)XYoP(a,b)Mba已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进1个单位圆(圆心为原点，半径为1)；角的终边与单位圆交与P(a,b)XYoP(a,b)Mba锐角的三角函数可以用 终边与单位圆的交点坐标来表示 如果角是任意的角,它的三角函数也可以用终边与单位圆交点的坐标来表示。设是
2、一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y).MAoyxy叫的正弦：x叫的余弦：叫的正切：我们把正弦、余弦,正切,都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上三种函数统称三角函数(x0)解:在直角坐标系中,作BAoyx例1：求的正弦、余弦和正切值.则AOB的终边与单位圆的交点坐标为练习1：利用三角函数的定义求的三个三角函数值.(课本P15 第1题)oyx解:在直角坐标系中,作则AOB的终边与单位圆的交点坐标为B探究:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?三角函数的值与点P(x,y)在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.点P到原点O的距离oyx解:
3、x-3,y-4,Oyx例2：已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值练习2：已知角的终边过点P(-12,5),则练习3：已知角的终边上有一点P(-4a,3a)(a0),则2sin+cos的值是()C探究1：三角函数的定义域三角函数定义域sincostanRR探究2：根据三角函数的定义,研究三角函数值在各个象限的符号-+-+yOxOxyOxy一全正、二正弦、三正切、四余弦例3:求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三角限角证明:如果式都成立,那么为第三象限角.因为式都成立,所以 角的终边只能位于第三象限.于是 为第三象限角又若tan0,那么 角的终边可能位于第一或第三象限
4、.若sin0,那么 角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上公式作用:可以把求任意角的三角函数值.转化为求0到2(或0至360)角的三角函数值.终边相同的角的同一三角函数值相等公式一例5:求下列三角函数值yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()下面从图形角度认识一下三角函数角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线思考为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐
5、标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|当角的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sin有向线段MP叫角的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|
6、OM|=|x|=|cos|当角的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cos有向线段OM叫角的余弦线你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一样的线段来表示角的正切吗?思考TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的终边的终边的终边的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边或其反向延长线相交于点T.有向线段AT叫角的正切线这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTM OP的终边A(1,0)当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的正切值不存在.xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()
