1、第二节直线的交点坐标与距离公式【考纲下载】1能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1两条直线的交点2三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d1两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？提示：两条直线相交方程组有唯一解；两条直线平行方程组无解；两条直线重合方程组有无穷多解2使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使
2、用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等1(教材习题改编)原点到直线x2y50的距离是()A1 B. C2 D.解析：选Dd.2两条直线l1：2xy10和l2：x2y40的交点为()A. B.C. D.解析：选B解方程组得所以两直线的交点为.3(2014烟台模拟)已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为()A. B. C4 D8解析：选Bl1的方程可化为6x8y140，又因为l2的方程为6x8y10，所以l1与l2的距离d.4已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：因为l1
3、与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0.又因为l1与l2的距离是，所以，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy305若三条直线2x3y80，xy10和xby0相交于一点，则b_.解析：由得将其代入xby0，得b.答案：考点一两直线的交点问题 例1(1)经过直线l1：xy10与直线l2：xy30的交点P，且与直线l3：2xy20垂直的直线l的方程是_(2)(2014锦州模拟)当0k0.5时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第_象限自主解答(1)法一：由方程组解得即点P(2,1)，设直线l的方程为y1k(x2)，l3l，k，直线l的方程
4、为y1(x2)，即x2y0.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l与l3垂直，2(1)(1)0，解得.直线l的方程为xy0，即x2y0.(2)l1与l2的直线方程联立得解方程得又0k0.5，所以x0，故l1与l2的交点在第二象限答案(1)x2y0(2)二【互动探究】若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程 解：由方程组解得即点P(2,1).又ll3，即k=2,故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y+5=0【方法规律】经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点的
5、直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(这个直线系方程中不包括直线A2xB2yC20)或m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0.已知直线l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分别求满足下列条件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形解：(1)直线l1，l2的方程联立得解得即直线l1，l2的交点为P(1，2)又点P在直线l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.当直线l3与l1，l2均相交时，有解得k且k1，综上可得k，且k，且k1.考点二对 称 问 题 例2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关
6、于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程自主解答(1)设A(x，y)，则由已知得解得A.(2)在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如D(1,1)，E(4,3)，则D，E关于点A(1，2)的对称点D、E均在直线l上，易得D(3，5)，E(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3
7、y90.法二：ll，设l的方程为2x3yC0(C1)点A(1，2)到两直线l，l的距离相等，由点到直线的距离公式得，解得C9，l的方程为2x3y90.法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.【方法规律】 (1)关于中心对称问题的处理方法：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到
8、所求直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.直线y2x是ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A(4,2)，B(3,1)，求点C的坐标解：把A，B两点的坐标代入y2x，知A，B不在直线y2x上，因此y2x为ACB的平分线，设点A(4,2)关于y2
9、x的对称点为A(a，b)，则kAA，线段AA的中点坐标为，解得A(4，2)y2x是ACB平分线所在直线的方程，A在直线BC上，直线BC的方程为，即3xy100.由解得即C(2,4)高频考点考点三 距离公式的应用1距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离这三种距离在高考中经常体现，试题难度不大，多为容易题或中档题，以选择、填空的形式呈现，有时也会在解答题中有所体现2高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)求距离的最值例3(1)(2014安康模拟)点P到点A(1,0)和直线x1的距离相等，且P到直线yx的距离等于，这样的点P共有(
10、)A1个 B2个 C3个 D4个(2)(2014启东模拟)l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_自主解答(1)设点P(x，y)，由题意知|x1|，且，所以即或解得或解得因此，这样的点P共有3个(2)当两条平行直线与A、B两点连线垂直时，两条平行直线的距离最大又kAB2，所以两条平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案(1)C(2)x2y30与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离利用两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线的距离公式直接求解，也可利用“化归”法将两条平行线间的距
11、离转化为点到直线的距离(2)已知距离求参数值可利用距离公式，得出含参数的方程，解方程即可求解(3)求距离的最值可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值1在OAB中，O为坐标原点，A(1，cos )，B(sin ，1)，则OAB的面积的取值范围是()A(0,1 B.C. D.解析：选DOA的方程为ycos x，且|OA|，而B到OA的距离d，所以S O A B|OA|d(1sin cos )sin 2，又1sin 21，sin 2.2已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程解：因为l1与l2平行，所以.解得m4.当m4时
12、，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，两平行线间的距离d，解得n18或n22.此时l1的方程为4x8y180或4x8y220，即2x4y90或2x4y110.当m4时，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，两平行线间的距离d，解得n22或n18.此时l1的方程为4x8y220或4x8y180，即2x4y110或2x4y90.综上可知l1的方程为2x4y90或2x4y110或2x4y110或2x4y90.课堂归纳通法领悟1条规律与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.1种思想转化思想在
13、对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决2个注意点判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d的前提是将两方程中的x，y的系数化为对应相等 方法博览(六)妙用直线系求直线方程1平行直线系由于两直线平行，则它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数及常数项有必然的联系典例1求与直线3
14、x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程解题指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1)解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.点评与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(C1C)，再由其他条件求C1.2垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的关系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程解题指导依据两直
15、线垂直方程的特征设出方程，再由待定系数法求解解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.点评与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.3过直线交点的直线系方程典例3求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解题指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解法一：解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率
16、为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.法二：设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.点评本题法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解全盘巩固1(2014北京模拟)已知点A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，则直线AB的方程为()Ayx或
17、yxByx或yxCyx1或yx1Dyx或yx解析：选B因为|AB| .所以cos ，sin ，kAB.即直线AB的方程为y(x1)2已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A. B C2 D2解析：选A因为l1，l2关于直线yx对称，所以l2的方程为x2y3，即yx，即直线l2的斜率k为.3已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20解析：选D依题意知，直线l的斜率存在，故设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0.由已知，得
18、.所以k2或k.即所求直线方程为2xy20或2x3y180.4(2014南昌模拟)P点在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为 ，则P点坐标为()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)解析：选C设P(x,53x)，则d，|4x6|2,4x62，即x1或x2，故P(1,2)或(2，1)5直线l通过两直线7x5y240和xy0的交点，且点(5,1)到l的距离为，则l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40解析：选C由得交点(2,2)，当l的斜率不存在时，不合题意，所以设l的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，依题意有，解得k3
19、.所以l的方程为3xy40.6曲线1与直线y2xm有两个交点，则m的取值范围是()Am4或m4 B4m3或m3 D3m3解析：选A曲线1的草图如图所示与直线y2xm有两个交点，令y0，则x，所以2，所以m4或m4.7已知坐标平面内两点A(x，x)和B，那么这两点之间距离的最小值是_解析：d .即最小值为.答案：8若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_解析：依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，因此c2或6.答案：2或69已知0k1时，0，此时交点在第二象限；当1a0，0，此时交点在第四象限；当a1时，0，1，此时交
20、点在y轴上；当a1时，0，因此，直线的倾斜角的取值范围为.2若动点A、B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A3 B2 C3 D4解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即xy60，根据点到直线的距离公式， 得M到原点的距离的最小值为3.高频滚动1(2013辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0解析：选C若OAB为直角三角形，则A90或B90.当A90时，有ba3；当B90时，有1，得ba3.故(ba3)0.2若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75.其中正确答案的是_(写出所有正确答案的序号)解析：很明显直线l1l2，直线l1，l2间的距离为d，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|d，则在RtABC中，sinABC，所以ABC30，又直线l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角为453075或453015.答案：
