1、2015-2016学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1设集合A=x|x1|3，B=x|2x+14，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D2，+）2设等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A52B78C104D2083设，则a、b、c的大小关系为（）AabcBcbaCbcaDbac4如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D35如图所示的程序框图中，输出S的值为（）A10B12C15D86已知函数f（x）=2x，若从区间2，2上任取一个实数x，则使不等式f（x）2成立的概率为（）ABCD7直线x+2y5
2、+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D48已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Amn，mnB，m，nmnCm，n，mnDm，n，m，n9若实数x，y满足|x1|ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）ABCD10函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）ABCD11在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为（）AB4CD512已知函数f（x）=，若对任意的xR，不等式f（x）m2m恒成立，则实数m的取值
3、范围是（）A（，B（，1，+）C1，+）D，1二、填空题（每题5分）13不等式3的解集是14若函数f（x）=，则f（3）=15函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则+的最小值为16当x（，1，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为三、解答题17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c18某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，1
4、00（）求图中a的值；（）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？19如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE20等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和21某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加
5、可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x（万元）（0x5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？22如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x4设圆C的半径为1，圆心在l上（1）若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围2015-2016学年湖南省娄底市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、
6、选择题（每题5分）1设集合A=x|x1|3，B=x|2x+14，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D2，+）【考点】并集及其运算【分析】根据题意先求出集合A和集合B，再求AB【解答】解：由|x1|3得到2x4，即A=2，4，由2x+14=22得到x1，即B=1，+），则AB=2，+），故选：D2设等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A52B78C104D208【考点】等差数列的性质【分析】由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=
7、24，解得a7=8，故S13=13a7=104，故选：C3设，则a、b、c的大小关系为（）AabcBcbaCbcaDbac【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】法一：构造函数g（x）=，通过讨论g（x）的单调性求出a，b，c的大小，法二：，分别看作函数y=lnx上A，B，C点与原点的斜率，问题得以解决【解答】解：法一：设g（x）=，则g（x）=，令g（x）0，解得：xe，令g（x）0，解得：xe，g（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，而543e，g（5）g（4）g（3），即，abc，故选：A；法二：，分别看作函数y=lnx上A，B，C点与原点的斜率，由图象可知，kOAkOBkOC，ab
8、c，故选：A4如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D3【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=t过点A（0，1）时，t最大是1，故选B5如图所示的程序框图中，输出S的值为（）A10B12C15D8【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5的值，计算可得答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序
9、，可知：该程序的作用是计算S=1+2+3+4+5S=1+2+3+4+5=15故选C6已知函数f（x）=2x，若从区间2，2上任取一个实数x，则使不等式f（x）2成立的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答【解答】解：已知区间2，2长度为4，满足f（x）2，f（x）=2x2，解得1x2，对应区间长度为1，由几何概型公式可得，使不等式f（x）2成立的概率P=故选：A7直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为（）A1B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距
10、离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得（x1）2+（y2）2=5，所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=圆心C到直线x+2y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为故选C8已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Amn，mnB，m，nmnCm，n，mnDm，n，m，n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，由线面垂直的判定定理得n；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，与相交或平行【解答】解：由m，n为两条不同的直线
11、，为两个不同的平面知：在A中：由mn，m，由线面垂直的判定定理得n，故A正确；在B中：由，m，nm与n相交、平行或异面，故B错误；在C中：m，n，mn与相交或平行，故C错误；在D中：m，n，m，n与相交或平行，故D错误故选：A9若实数x，y满足|x1|ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案【解答】解：|x1|ln=0，f（x）=（）|x1|其定义域为R，当x1时，f（x）=（）x1，因为01，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照
12、选项，只有B正确故选：B10函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到y=sin2（x）+）=sin（2x+）的图象，图象关于y轴对称，由诱导公式和偶函数可得=k+，解得=k+，kZ，由|，可得当k=1时，=，故f（x）=sin（2x），由x0，可得：2x，当2x=，即x=时，函数f（x）在0，上取最大值s
13、in（2）=，故选：B11在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为（）AB4CD5【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的定义、投影的定义、数量积的坐标运算即可得出【解答】解：如图所示，设与的夹角为则=由投影的定义可知：只有点F取点C时取得最大值=故选：C12已知函数f（x）=，若对任意的xR，不等式f（x）m2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，B（，1，+）C1，+）D，1【考点】分段函数的应用【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）m2m恒成立转化为m2m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m
14、的取值范围【解答】解：对于函数f（x）=，当x1时，f（x）=（x）2+；当x1时，f（x）=0则函数f（x）的最大值为则要使不等式f（x）m2m恒成立，则m2m恒成立，即m或m1故选B二、填空题（每题5分）13不等式3的解集是【考点】一元二次不等式的应用【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集【解答】解：由3，得30，即，则，解得：x0或不等式3的解集是故答案为：14若函数f（x）=，则f（3）=2【考点】函数的值【分析】由函数的解析式可得 f（3）=f（1）=f（1），运算求得结果【解答】解：函数f（x）=，故 f（3）=f（3+2）=f（1）=f（1+2）=f（1）=1+
15、1=2，故答案为 215函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，则+的最小值为4【考点】基本不等式；指数函数的图象变换【分析】函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），又点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，可得m+n=1利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：函数y=a1x（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线mx+ny1=0（m0，n0）上，m+n=1则+=（m+n）=2+2+2=4，当且仅当m=n=时取等号故答案为：416当x（，1，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为a【考点】函数恒成立问
16、题；指数函数综合题【分析】容易知道分母恒大于0，得到分子要恒大于0【解答】解：，1+2x+4xa0，设t=2x，因为x（，1，所以0t2y=1+t+at2，要使y0恒成立，即y=1+t+at20，所以设，则，因为0t2，所以，所以，所以a故答案为：（，+）三、解答题17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【考点】解三角形【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinCsinCcosAsinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c【解答】解：（1）c=asinCccosA，由正弦定
17、理有：sinAsinCsinCcosAsinC=0，即sinC（sinAcosA1）=0，又，sinC0，所以sinAcosA1=0，即2sin（A）=1，所以A=；（2）SABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即4=b2+c2bc，即有，解得b=c=218某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100（）求图中a的值；（）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（）现用分层抽样的方法从第3
18、、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【考点】分层抽样方法；频率分布直方图【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解【解答】解：（）由题意得10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1，所以a=0.005（）由直方图分数在50，60的频率为0.05，60，70的频率为0.35，70，80的频率为0.30，80，90的频率为0.20，90，100的频率为0.1
19、0，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5（）由直方图，得：第3组人数为0.3100=30，第4组人数为0.2100=20人，第5组人数为0.1100=10人所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组： =1人所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1
20、），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为19如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（I）根据线面平行的判定定理证出即可；（II）根据面面垂直的判定定理证
21、明即可【解答】证明：（I）O是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDEPA平面BDE（II）PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPO=OBD平面PAC，而BD平面BDE，平面PAC平面BDE20等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【分析】（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据
22、等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1
23、+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为21某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x（万元）（0x5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）求月销售利润y（万元）关于月产量x（百台）的函数解析式；（2）当月产量为多少时，销售利润可达到最大？最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）分类讨论：当0x5时，当x5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；（2）分别求出当0x5
24、时，及当x5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值【解答】解：（1）当0x5时，投影仪能售出x百台；当x5时，只能售出5百台，这时成本为（0.5+0.25x）万元依题意可得利润函数为y=R（x）（0.5+0.25x）=即（2）显然，y|x5y|x=5；又当0x5时，当x=4.75（百台）时有（万元）即当月产量为475台时可获得最大利润10.78125万元22如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x4设圆C的半径为1，圆心在l上（1）若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的
25、横坐标a的取值范围【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定【分析】（1）联立直线l与直线y=x1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围【解答】解：（1）联立得：，解得：，圆心C（3，2）若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=，则所求切线为y=3或y=x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，化简得：x2+（y+1）2=4，点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又点M在圆C上，C（a，2a4），圆C与圆D的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|=，13，解得：0a2016年8月13日
