1、 5年高考3年模拟A版高考数学4.2 导数的应用基础篇考点 一 导数与函数的单调性 设函数()在区间()内可导 ()是()的导数则()()在()上单调递增()()是()在区间()上单调递增(减)的充分不必要条件.()()是()在区间()内单调递增(减)的必要不充分条件.若 ()在区间()的任意子区间内都不恒等于零则 ()()是()在区间()内单调递增(减)的充要条件.考点 二 导数与函数的极（最）值1.函数的极值极值满足条件极 小 值点 与 极小值函数 ()在点 处的函数值()比它在点 附近其他点处的函数值都小()在点 附近的左侧()就把 叫做函数 ()的极小值点()叫做函数()的极小值极 大
2、 值点 与 极大值函数 ()在点 处的函数值()比它在点 附近其他点处的函数值都大()在点 附近的左侧 ()右侧()函数在解集与定义域的交集上为增函数解不等式 ().()讨论()的单调性()若 ()的图象与 轴没有公共点求 的取值范围.解析()()()()().当 时 ()函 数 ()在 上 单 调 递 减 在 上单调递增.()()的图象与 轴没有公共点 函数()在()上没有零点由()可得函数()在 上单调递减在 上单调递增 ()解得 故实数 的取值范围是 .考法 二 利用导数研究函数的极（最）值1.解决函数极值问题的一般思路2.可导函数()的极值点存在问题可转化为导函数 ()的变号零点存在问
3、题.3.求函数的最值不仅要研究其极值情况还要研究其单调性并通过单调性和极值情况画出函数的大致图象然后借助图象观察得出函数最值.例 2(全国乙理 分)设 若 为函数()()()的极大值点则()5年高考3年模拟A版高考数学.解析 ()()()令 ()得 .()若 要使函数()在 处取得极大值则 需 ()在()上 单 调 递 增 在 上单调递减此时需 得 .()若 得 .综上可知故选.答案 例 3(全国乙理 分)设函数()()已知 是函数 ()的极值点.()求()设函数()()().证明:().解析()()()()()()()()是函数 ()的极值点()可得 .当 时()()令()()()则()()
4、()易知当()时()当()时()函数 ()()在()上为增函数在()上为减函数.当 时 是函数 ()的极值点.()证明:由()知 ()()()当()时()()()()要证()()()().只需证()()只需证()()令()()()则()()()当()时()()单调递增当()时()()()()在()()上恒成立.().考法 三 利用导数研究不等式1.利用导数证明不等式的方法证明()()()可以构造函数()()().如果()则()在()上是减函数同时若()则由减函数的定义可知()时有()即证明了()()恒 成 立()()()().)()()()().专题四导数及其应用()()()().()()()
5、().()()()().上述函数在其定义域内都存在最值.3.利用导数构造函数解不等式常见的构造函数模型总结:)关系式为“加”型()()构造 ()则()()().()()构造 ()则()()().()()构造 ()则 ()()()()().(注意对 的符号进行讨论)关系式为“减”型()()构造 ()则()()()()()().()()构造 ()则 ()()().()()构造 ()则()()()()()().例 4(多选)(山东日照二模)若实数 则下列不等式中一定成立的是().()()()().()().().()()()()解析 对于 令 ()则 ()当 时 ()所以()()所以()()()故
6、正确对于 由 知函数()在()上单调递减因为 所以 所以()()即()()即()()()()所以()()所以()()故 正确对于 当 时 故 错误 或假设()成 立 则()即()当()时 ()所以()在)上单调递增在()上单调递减若()()()()()()()即()()()()故 正确.答案 考法 四利用导数研究函数的零点或方程的根1.先求函数的单调区间和极值根据函数的性质画出图象然后将问题转化为函数图象与 轴交点问题主要是应用数形结合思想和分类讨论思想.2.构造函数将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.3.分离参变量即由()分离参变量得()研究直线 与 ()的图象的交点问题.例 5(课标
7、理 分)已知函数()()()为()的导数.证明:()()在区间 存在唯一极大值点()()有且仅有 个零点.证明()设()()则()()().当 时()单调递减而()当 时().所以()在()单调递 增 在 单 调 递 减 故 ()在 存 在 唯 一 极 大 值 点 即 ()在 存在唯一极大值点.()()的定义域为().()当(时由()知 ()在()单调递增而 ()所以当()时 ()故()在()单调递减.又()从而 是()在(的唯一零点.()当 时由()知 ()在()单调递增在 单调递减而 ()当 时 ()所以当 时().从而 ()在 没有零点.()当 时 ()()所以()从而()在()没有零点
8、.综上()有且仅有 个零点.例 6(课 标 分)已 知 函 数().()若 证明:当 时()()若()在()只有一个零点求.专题四导数及其应用解析()证明:当 时()等价于().设函数()()则()()().当 时()()没有零点.()当 时()().当()时().所以()在()单调递减在()单调递增.故()是()在()的最小值.若()即 ()在()没有零点若()即 ()在()只有一个零点若()由于()所以()在()有一个零点.由()知当 时 所以()()().故()在()有一个零点.因此()在()有两个零点.综上()在()只有一个零点时 .考法 五 利用导数研究三次函数的性质对于三次函数()
9、()求导得 ()当 ()时不妨设 ()的两个实根是 且 图象单调区间增区间:()和()减区间:()增区间:()增区间:()减区间:()和()减区间:()极值()为极大值()为极小值无极值()为极小值()为极大值无极值二、三次函数图象的对称性 三次 函 数 ()()的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 且 对 称 中 心 为 点 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标.三、一元三次方程的根的情况()()对应的方程根的情况:5年高考3年模拟A版高考数学图象()()()根的个数例 7(课 标 分)已 知 函 数().()讨论()的单调性()若()有三个零点求 的取值范围.解析()().当 时()故(
10、)在()上单调递增.当 故()在()上单调递增.当 时令 ()得 .当 ()时 ()当 时().故()在 单 调 递 增 在 单调递减.()由()知当 时()在()上单调递增()不可能有三个零点.当 时 为()的极大值点 为()的极小值点.此时 且().根据()的单调性当且仅当 即 时()有三个零点解得 .因此 的取值范围为 .例 8(全国乙文 分)已知函数().()讨论()的单调性()求曲线 ()过坐标原点的切线与曲线()的公共点的坐标.解析()由()可得 ()对于 .当 时即 ()在 上恒成立此时()在 上单调递增.当 方程 的两个根为 故 当 时()当 时()所 以()在 和 上单调递增 在 上单调递减.()设过原点的切线与曲线 ()相切于点()则切线的斜率为 ()故以点 为切点的切线方程为 ()().由 且切线过 专题四导数及其应用原点得 即()()解得 从而得().所以切线方程为 ()联立()消去 得 即()()或 公共点为()与().
