1、第二课时函数奇偶性的应用(习题课)【选题明细表】知识点、方法题号利用奇偶性求函数值2,3,6,7利用奇偶性求解析式5,8奇偶性与单调性的综合应用1,4,9,10,11,12,131.(2018山东省菏泽市十三校高一期中)下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是(A)(A)y=|x| (B)y=1-x(C)y= (D)y=-x2+4解析:选项B中,函数不具备奇偶性;选项C中,函数是奇函数;选项A,D中的函数是偶函数,但函数y=-x2+4在区间(0,1)上单调递减.故选A.2.奇函数f(x)在(-,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0, +)上有(B)(A)最大值
2、- (B)最大值(C)最小值- (D)最小值解析:法一当x0时,f(x)有最大值.法二当x0时,-x0,则(C)(A)f(-2)f(1)f(3)(B)f(1)f(-2)f(3)(C)f(3)f(-2)f(1)(D)f(3)f(1)0,故f(x)在x1,x2(-,0(x1x2)上单调递增.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在0,+)上单调递减,且满足nN*时,f(-2)=f(2),由3210,得f(3)f(-2)f(1).故选C.5.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x,则当x0时,f(x)的解析式是(A)(A)f(x)=-x(x+2)(B)f(x)=x(x-2
3、)(C)f(x)=-x(x-2)(D)f(x)=x(x+2)解析:设x0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2),故选A.6.若奇函数f(x)当1x4时的解析式是f(x)=x2-4x+5,则当-4x-1时,f(x)的最大值是(D)(A)5 (B)-5 (C)-2 (D)-1解析:当-4x-1时,1-x4,因为1x4时,f(x)=x2-4x+5.所以f(-x)=x2+4x+5,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-x2-4x-5=-(x+2)2-1(-4x-1).当x=-2时,取最大值-1.7.(2018洛阳高一月考)若函数f(x)=为奇函数
4、,则f(g(-1)=.解析:根据题意,当x0时,f(x)=x2+|x|-1,那么x0时,f(x)=x2+|x|-1=x2+x-1,当x0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又因为f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1,即f(x)=-x2+x+1.答案:-x2+x+19.f(x)是定义在-2,2上的偶函数,且f(x)在0,2上单调递减,若f(1-m)f(m)成立,求实数m的取值范围.解:因为f(x)在0,2上单调递减,且f(x)是定义在-2,2上的偶 函数,故f(x)在-2,0上单调递增,故不等式f(1-m)f(m)可化为解得-1mf(-3)(B)f()f(-
5、3.14)f(-3.14)f(-3)(D)f()f(-3)f(-3.14)解析:由题意函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).因为|-3|-3.14|f(|-3.14|)f(),所以f()f(-3.14)f(-3).故选B.11.设奇函数f(x)在(0,+)上为减函数,且f(1)=0,则不等式 0的解集为.解析:因为f(x)为奇函数,0,所以0,即1时,f(x)0.因为奇函数图象关于原点对称,所以在(-,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,即x0.综上使0的解集为(-,-1)(1,+).答案:(-,-1)(1,+)12.已知y=f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且在 0,+)
6、 上为增函数,(1)求证:函数在(-,0上也是增函数;(2)如果f()=1,解不等式-1f(2x+1)0.(1)证明:设x1,x2是(-,0上任意两个不相等的实数,且x1-x2,x=x2-x10,y=f(x2)-f(x1).因为f(x)是奇函数,且在0,+)上是增函数,-x1-x2,所以f(-x1)f(-x2).又因为f(x)为奇函数,所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).所以-f(x1)-f(x2),即f(x1)0.所以函数f(x)在(-,0上也是增函数.(2)解:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,f(-)=-f()=-1.由-1f(2x+1)0,得f(-)
7、f(2x+1)f(0).又因为f(x)在(-,0上是增函数,所以-2x+10,得-x-.所以不等式的解集为x-0.(1)若ab,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)0,求实数m的取值范围.解:(1)因为ab,所以a-b0,由题意得0,所以f(a)+f(-b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)0,即f(a)f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)0,所以f(1+m)-f(3-2m),即f(1+m)f(2m-3),所以1+m2m-3,所以m4.所以实数m的取值范围为(-,4.
