1、提能拔高限时训练21 三角函数的综合应用一、选择题1.当0x时,函数的最小值是( )A. B. C.2 D.4解析:,当时,f(x)的最小值为4,故选D.答案:D2.当0x时,函数的最小值为( )A.2 B. C.4 D.解析:.0x,tanx0.当时,f(x)min=4.故选C.答案:C3.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是( )A. B.C. D.解析:由题中图象知,T=2,=1.y=cosx的图象向右平移个单位即为所给图象.答案:D4.已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(ab),则mx+ny的最大值为( )A. B. C. D.解析:设,则.答案:B5.若2+=
2、,则y=cos-6sin的最大值和最小值分别为( )A.7,5 B.7, C.5, D.7,-5解析:y=cos(-2)-6sin=2sin2-6sin-1,-1sin1,-5y7.答案:D6.若(a为实常数)在区间0,上的最小值为-4,则a的值为( )A.-6 B.4 C.-3 D.-4解析:f(x)=2cos2x+sin2x+a=cos2x+1+sin2x+a.x0,2x0,1.,即a=-4.故选D.答案:D7.定义在R上的函数f(x)满足及f(-x)=f(x),则f(x)可以是( )A. B.f(x)=2sin3xC. D.f(x)=2cos3x解析:,f(x)的周期.可排除A、C.f(
3、-x)=f(x),f(x)是偶函数.可排除B.故选D.答案:D8.若关于x的方程4cosx-cos2x+m-3=0恒有实数解,则实数m的取值范围是( )A.-1,+) B.-1,8 C.0,5 D.0,8解析:方程4cosx-cos2x+m-3=0可化为(cosx-2)2-1=m.cosx-1,1,当cosx=1时,m最小=0,当cosx=-1时,m最大=8.m0,8.故选D.答案:D9.设,则f(2 006)+f(2 007)+f(2 008)+f(2 009)等于( )A.0 B.1 C. D.解析:;f(2 008)=f(2 004);f(2 009)=f(2 005).f(2 006)
4、+f(2 007)+f(2 008)+f(2 009)=0.故选A.答案:A10.设点P是函数f(x)=29sinx的图象C的一个对称中心,如果点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为,那么函数f(x)的最小正周期为( )A.2 B. C. D.解析:设函数f(x)的最小正周期为T,由题意,得,则.答案:D二、填空题11.已知函数(xR),若当y取最大值时,x=;当y取最小值时,x=,且,则sin(-)=_.解析:.当sinx=-1时,y取得最大值,当时,y取得最小值.此时sin=-1,cos=0,.答案:12.给出下列四个命题:若,则,kZ;函数的图象关于点(,0)对称;函数y=sin|x|是
5、周期函数,且周期为2;函数y=cos(sinx)(xR)为偶函数.其中所有正确命题的序号是_.解析:由,kZ.不正确.函数的对称中心为(,0)(kZ),当k=0时,为(,0).正确.函数y=sin|x|是非周期函数,不正确.f(-x)=cossin(-x)=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x),函数y=cos(sinx)为偶函数.正确.答案:13.已知f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是定义域为R的奇函数,且当x=2时,f(x)取得最大值2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=_.解析:f(x)=Asin(x+)是定义在R上的奇函数f(0)=0,=k,|.=0.
6、当x=2时,f(x)max=2,A0,A=2.sin2=1(0),f(x)=2sinx.f(1)+f(3)+f(5)+f(99)=f(1)+f(3)f(2)+f(4)+f(6)+f(100)=f(2)+f(4)=2(1+0)=2.f(1)+f(2)+f(100)=.答案：14.下面有五个命题:函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是;终边在y轴上的角的集合是|,kZ;在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;把函数的图象向右平移个单位得到y=3sin2x的图象;角为第一象限角的充要条件是sin0.其中,真命题的编号是_.(写出所有真命题的编号)解析:y=(sin
7、2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,.(正确)终边在y轴上的角的集合为|,kZ.(错误)当(0,)时,sinxx,又y=sinx与y=x均为奇函数,它们的图象只有一个公共点.(错误)正确.若角为第一象限角,则sin0;若sin0,则角为第一、二象限角或终边落在y轴正半轴上.(错误)答案:三、解答题15.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x(0,).(1)向量a、b是否共线?请证明你的结论.(2)若函数f(x)=|b|-(a+b)c,求f(x)的最小值,并指出取得最小值时的x值.解:(1)因为c
8、osx(1-cos2x)-sin2xsinx=2cosxsin2x-2cosxsin2x=0,所以ab,即a、b共线.(2).因为x(0,),所以sinx(0,1.则sinx=1,即时,f(x)取得最小值-1.16.已知函数.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)()当a0且x0,时,函数f(x)的值域是3,4,求a+b的值;()当a0时,函数f(x)的值域是3,4,求a+b的值.解:(1)当a=1时,当(kZ)时,f(x)是增函数.函数f(x)的单调递增区间为,(kZ).(2)由0x,得,1.()a0,当sin(x+)=1时,f(x)取最小值3,即;当时,f(x)取最大值4,即b=4.将b=4代入式,得,故.()当a0时,函数f(x)取得最小值3,即;当时,函数f(x)取得最大值4,即.由+,得.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】设(0,),f(x)的定义域为0,1,f(0)=0,f(1)=1,当xy时,有,求、.解:,.【例2】已知0a1,判断函数的奇偶性，并求出函数f(x)的周期.解:,得.f(x)是偶函数.又,而cos2x的周期,f(x)的周期是.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
