1、江苏省泰州中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合_.【答案】【解析】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，所以考点：集合交集运算2.总体由编号为的个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取个个体，选取方法是从所给的随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为 _.【答案】【解析】【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第行的第列和第列数字组合成的两位数为65，
2、从65开始由左到右依次选取两个数字，将在内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为，因此第个个体的编号为.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是_.【答案】【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有种排法，其中甲、乙相邻共有种排法，因此所求概率考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便(4)排列、组合数
3、公式法4.命题，有的否定是_.【答案】xR，x2+1x【解析】试题分析：全程命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“xR，有x2+1x”的否定是：xR，x2+1x考点：全称命题与特称命题5.已知函数，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数第二段可得，再利用分段函数第一段解析式可得结果.【详解】解：因为当时，故，因为当时，故，故答案为.【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解.6.已知样本的平均数是，标准差是，则_.【答案】96【解析】，7.执行下面的流程图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】
4、此程序框图是循环结构图，由且可先假设，然后模拟程序逐层判断；如若不成立，再假设，然后模拟程序逐层判断，直至满足条件，得出结果.【详解】解：因为且，则先假设，第1次循环：，因为，故输出，不符合题意.再假设，程序执行过程如下：，第1次循环：，第2次循环：，因为，故输出，符合题意.成立，显然是的最小值.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图.8.某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为_.类别老年教师中年教师青年教师合计人数900180016004300【答案】180.【解析】
5、试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.故答案为：.考点：分层抽样.9.在面积为的内部任取一点，则的面积小于的概率为_.【答案】【解析】【分析】取AB,AC的中点E,F,根据题意知点P落在四边形EFCB内时的面积小于，根据图形求出面积比即可【详解】如图所示，EF为的中位线，当点P落在四边形EFCB内时的面积小于，已知总事件为的面积S，设满足条件的事件为事件A，则故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是基础题10.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】在含有根号的函数
6、中求值域，运用换元法来求解【详解】令，则,，函数的值域为【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域。11.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造新函数，研究新函数的性质（单调性与奇偶性等），从而得出的解集.【详解】解：设因恒成立，故，故恒成立，所以恒成立，所以的定义域为R，因为，所以，即函数为奇函数，当时，为增函数，为增函数，根据复合函数的性质可得为增函数，而为增函数，为增函数，所以当时，函数为增函数，因为函数为奇函数，故在R上是单调递增函数，所以可转化为根据奇偶性可得，根据单调性可得，解得：，故原不等式的
7、解集为.【点睛】本题考查了不等式问题、函数的性质问题等等，解题的关键是要能构造出新的函数，研究出新的函数的性质，从而解决问题.12.已知函数在上单调递增，若恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围，由于恒成立，即求，从而得出的取值范围.【详解】解：当时，由函数在上是增函数得，则，又，故取得，所以，因为，根据函数的图像可得，所以，.【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解.13.如图所示是一次歌唱大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平
8、均数为，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由茎叶图可知，最高分与最低分为79、93，根据平均数得到，再根据的取值范围利用二次函数图像求解的最小值.【详解】解：根据题意，去掉最高分93，最低分79，剩余数的平均数为，解得，即，其中满足，即，即，且是整数，令，故当时，取得最小值，最小值是.【点睛】本题考查了茎叶图的认识、二次函数最值的求解，解题的关键是要能准确读出茎叶图中数据，还要能对二次函数的定义域有正确的求解.14.已知函数，若存在个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】把的零点问题归结为与函数有两个不同交点的问题，通过移动动直线得实数的取值范围.【详解】有两个不同的零点等价于有
9、两个不同的解，即有两个不同的解，所以的图像与有两个不同的交点.画出函数的图像，当即时，两图像有两个不同的交点，故答案为.【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为动直线，另一个函数不含参数，其图像是确定的.二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取人进行问卷调查，已知高一、高二、高三、的家长委员会分别有人，人，人.求从三个年级的家长委员会分别应抽到
10、的家长人数；若从抽到的人中随机抽取人进行调查结果的对比，求这人中至少有一人是高三学生家长的概率.【答案】(1) 3，1，2 (2)【解析】试题分析：（I）由题意知总体个数是54+18+36，要抽取的个数是6，做出每个个体被抽到的概率，分别用三个年级的数目乘以概率，得到每一个年级要抽取的人数（II）本题为古典概型，先将各区所抽取的家长用字母表达，分别计算从抽取的6个家长中随机抽取2个的个数和至少有1个来自高三的个数，再求比值即可试题解析：（1）家长委员会人员总数为541836108，样本容量与总体中的个体数的比为，故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2. （2）得A1，A2，A3为
11、从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长则抽取的全部结果有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，C1），（A1，C2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，C1），（A2，C2），（A3，B1），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），共15种令X“至少有一人是高三学生家长”，结果有：（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），共9种，所以这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是P（X）.考
12、点：概率的应用16.已知集合.若，求；若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据集合的交集运算法则可求；（2）由交集与子集的关系，可以得出，利用分类讨论，可分析出.试题解析：由解得，所以，由得（1）时，所以（2） ， 若时，显然不成立，若时，所以.17.已知命题函数在区间上是单调递增函数；命题函数的定义域为，如果命题或为真，且为假，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】先根据函数的性质分别求出命题成立的等价条件，根据题意得出命题的真假关系，从而求解得出结果.【详解】解：因为函数在区间上是单调增函数，所以对称轴方程，所以，又因为函数的定义域为，所以，解得，又因
13、为“或”为真，“且”为假，所以命题是一真一假，所以或，所以或，所以实数的取值范围是或.【点睛】本题考查了函数的单调性、对数与对数函数、命题及其关系和简单逻辑联结词，解题的关键是要准确地求解出两个命题成立的等价条件.18.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。【答案】（），函数的值域为;（）【解析】【分析】(1)将函数化简整理，根据正三角形的高为，可求出，进而可得其值域；(2)由得到，再由求出，进而可求出结果.【详解】解：(1)由已知可得，又正三角形的高为，则，所以函数的最小正周期，即，得，函数的值域为(2)
14、因为，由(1)得，即，由，得，即，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型.19.已知函数当时，证明：函数不是奇函数；若函数是奇函数，求的值；在的条件下，解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）证明函数不是奇函数，只要找出关于原点对称的两个点的函数值不等即可；（2）方法一：由奇函数的定义，代入进行化简，对恒成立即可得出m，n的值；方法二：由奇函数的性质知，代入函数解析式解得，函数解析式可化为，又由得，将m，n的值代入解析式，再利用奇函数的定义检验即可；（3）由（2）可知的关系式，由在R上是单调减函数，且函数为奇函数
15、，由，得，即可解得不等式.试题解析：解:（1）当时，函数不是奇函数。（2）方法一：由定义在R上的函数是奇函数得对一切恒成立即，整理得对任意恒成立，故，解得，方法二：由题意可知，此时，又由得，此时，经检验满足符合题意。（3）由在R上是单调减函数，又因为函数为奇函数且，由得化简得考点：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断.20.设区间，定义在上的函数集合若，求集合设常数.讨论的单调性；若，求证【答案】（1）（2）见解析；见证明【解析】分析】（1）把b代入函数解析式，求出导函数，由f（x）0，可知f（x）在3，3上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；（2）求出函数的导函数，解得
16、导函数的零点，然后根据与3的关系分类求得函数的单调区间；当b1时，由可知，当0a时，求得函数的最小值小于0，得到矛盾，故此时实数a不存在；当a时，由可得f（x）minf（3），f（），得到f（3）0，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（3）0，证明f（）0，这与xD，f（x）0恒成立矛盾，故此时实数a不存在【详解】（1）当时，则 由可知恒成立，故函数在上单调递增， 所以，解得，所以集合 （2） 由得，因为，则由，得在上列表如下：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增（）当，即时，则，所以在上单调递减； （）当，即时，此时，在和上单调递增；在上单调递减综上，当时，在上单调
17、递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减（方法一）当时，由可知，（）当时，在上单调递减，所以，这与恒成立矛盾，故此时实数不存在； （）当时，在，上单调递增；在上单调递减，所以 若，这与恒成立矛盾，故此时实数不存在；若，此时，又，则，下面证明，也即证：因为，且，则，下证：令，则，所以在上单调递增，所以，即这与恒成立矛盾，故此时实数不存综上所述， （方法二）（）当时，成立；（）当时，由题意可知恒成立，则，设，则，令，解得因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以； （）当时，由题意可知恒成立，则设，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以，所以若，则存在实数满足，则成立，即，也即成立，则，这与矛盾，所以【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，难度较大
