1、巩固层知识整合提升层题型探究等差、等比数列的判定【例1】已知数列an的前n项和Sn1an，其中0(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求解(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an由a10，0且1得an0，所以因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an(2)由(1)得Sn1由S5得1，即解得1判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法an1and(常数)an是等差数列q(非零常数)an是等比数列中项公式法2an1anan2(nN)an是等差数列aanan2(an1anan20)an是等比数列通项公式法an
2、pnq(p，q为常数)an是等差数列ancqn(c，q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列Snkqnk(k为常数，且q0，k0，q1)an是等比数列提醒在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法，通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用1设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn2an，数列bn满足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式解(1)当n1时，a1S12a1，解得a11；当n2时，anSn
3、Sn1an1an，即(n2，nN*)所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，故数列an的通项公式为an(2)因为a11，所以b12a12因为bn，所以1，即1(n2)所以数列是首项为，公差为1的等差数列所以(n1)1，故数列bn的通项公式为bn数列通项公式的求法【例2】(1)若数列an是正项数列，且n23n(nN*)，则an_(2)已知在数列an中，an1an(nN)，且a14，则数列an的通项公式an_(1)4(n1)2(2)(1)因为n23n(nN*)，所以(n1)23(n1)(n2)，得n23n(n1)23(n1)2(n1)，所以an4(n1)2(n2)又12314，故a116，也满足
4、式子an4(n1)2，故an4(n1)2(2)法一：由an1an，得，故，(n2)，以上式子累乘得，因为a14，所以an(n2)，因为a14满足上式，所以an法二：由an1an，得(n2)an1nan，(n2)(n1)an1(n1)nan，(n1)nan是常数列，又(11)1a18，则(n1)nan8，an已知递推公式求通项公式的常见类型(1)类型一：an1anf(n)把原递推公式转化为an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解(2)类型二：an1f(n)an把原递推公式转化为f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解(3)类型三：an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)先用
5、待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再利用换元法转化为等比数列求解2(1)已知数列an满足a12，anan1n(n2，nN)，则an_(2)已知数列an满足a12，an1a(an0，nN)，则an_(1)(n2n2)(2) (1)由题意可知，a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上式子累加得，ana123n因为a12，所以an2(23n)2(n2)因为a12满足上式，所以an(2)因为数列an满足a12，an1a(an0，nN)，所以log2an12log2an，即2，又a12，所以log2a11，故数列log2an是首项为1，公比为2的等比数列，所以log2a
6、n2n1，即an22n1数列求和的常用方法【例3】Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如090，lg 991(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1所以an的通项公式为annb1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893数列求和的常用方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到
7、qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论.3设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3a7，a82a33(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn
8、解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a13，d2，ana1(n1)d2n1(2)由(1)得Snna1dn(n2)，bnTnb1b2bn1bn用函数思想解决数列问题探究问题1若函数f(x)x2x在1，)上单调递增，则的取值范围是什么？提示由于f(x)x2x是图像开口向上的二次函数，要使其在1，)上单调递增，则需1即2，故的取值范围是2，)2当x为何值时，函数f(x)有最小值？提示 当x时，f(x)的最小值为f3数列与其对应的函数有什么区别？提示与数列对应的函数是一种定义域为正整数集(或它的前几个组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数【例4】(1)若数列an的通项公
9、式为ann2n，且an是递增数列，则实数的取值范围是_(2)设数列an，bn满足a1b16，a2b24，a3b33，若an1an是等差数列，bn1bn是等比数列分别求出数列an，bn的通项公式；求数列an中最小项及最小项的值思路探究：(1)利用an1an求解，或利用函数yx2x的图像求解；(2)根据等差、等比数列的通项公式求an，bn的通项公式，然后利用函数的思想求an的最小项及最小项的值(1)(3，)法一：an1an(n1)2(n1)(n2n)2n1，由于an是递增数列，故2n10恒成立，即2n1，又nN，2n13，故3法二：由于函数yx2x在上单调递增，结合其图像可知，若数列an是递增数列
10、，则a2a1，即2221，即3(2)解a2a12，a3a21，由an1an成等差数列知其公差为1，故an1an2(n1)1n3；b2b12，b3b21，由bn1bn成等比数列知，其公比为，故bn1bn2，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(2)162n8，bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b16223n因为an，所以n3或n4时，an取到最小值，a3a431(变条件)把例4(2)中的数列an换为an，求其最小项和最大项解an1，当n9时，an1递减且小于1；当n9时，an1递减且大于1，所以a8最小，a9最大，且a8，a92(变结论)例4(2)的条件不变，求数列bn中最大项及最大项的值解由例4(2)的解析可知bn223n，易知数列bn是递减数列，所以当n1时，an取到最大值，a122316函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集1,2,3，n)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题
