1、22一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1会解简单的分式不等式和简单的高次不等式(重点)2会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题(重点、难点)1通过学习分式不等式与高次不等式，培养数学运算素养2通过一元二次不等式的实际应用，提升数学建模素养1分式不等式的解法阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题(1)0与f(x)g(x)0同解(2)0与f(x)g(x)0同解(3)0与f(x)g(x)0且g(x)0同解(4)0与f(x)g(x)0且g(x)0同解思考：(1)不等式0与f(x)g(x)0或f(x)0同解吗？提示同解(2)解分式不等式的主导思想是什么？提示化分式不等式为整式不
2、等式2高次不等式的解法阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？提示可以(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？提示把f(x)最高次项的系数化为正数1不等式0的解集是()A BC DA0(4x2)(3x1)0x或x，此不等式的解集为2函数f(x)的定义域是 (，0)1，)由题意得0，即x(x1)0且x0，解之得x1或x0，故其定义域是(，0)
3、1，)3不等式(x1)(x2)(x3)0的解集为 (，2)(1,3)如图所示：由图知原不等式的解集为(，2)(1,3)4不等式0的解集为 x|4x3或x1原式可转化为(x1)(x2)2(x3)(x4)0，根据穿针引线法，解集为4x3或x1分式不等式和高次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)0；(2)2；(3)(6x217x12)(2x25x2)0解(1)由0，得0，此不等式等价于(x4)(x3)0，原不等式的解集为x|x4或x3(2)法一：移项得20，左边通分并化简有0，即0，同解不等式为x2或x5原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0，此不等式等价于或解得x5，解得x2，原
4、不等式的解集为x|x2或x5(3)原不等式可化为(2x3)(3x4)(2x1)(x2)0，进一步化为(x2)0，如图所示，得原不等式的解集为1分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型0(0)或0(0)，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可2一元高次不等式f(x)0用穿针引线法求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式
5、的解集1解下列不等式：(1)1；(2)x42x33x20(3)0解(1)移项得10，即0，同解不等式为，x4，故原不等式的解集为(2)原不等式可化为x2(x3)(x1)0，当x0时，x20，由(x3)(x1)0，得1x3；当x0时，原不等式为00，无解原不等式的解集为x|1x3，且x0(3)sin x20，解得x4，或x4，或x0，所以0x100即当花卉带的宽度在(0,100内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半不等式恒成立与有解问题探究问题1设f(x)mx22x1，若f(x)0对任意的xR恒成立，f(x)的图像如何？求m的范围提示由条件知m0，即f(x)的图像开口向上，且和x轴没有交点，故解
6、之得m12设f(x)的值域是1,2，(1)若f(x)a恒成立，求a的取值范围；提示a1(2)若f(x)a有解，求a的取值范围提示a2【例3】设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于任意x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围思路探究：(1)讨论m的符号，结合函数f(x)的图像求解(2)求f(x)的最大值，使其最大值小于m5；或分离参数m后，转化为求函数的最值问题解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，4m04m0(2)法一：要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60在x1,3上恒成立令g(x)mm6
7、，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0综上所述：m法二：当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60恒成立x2x10，又m(x2x1)60，m函数y在1,3上的最小值为，只需m即可1(变条件)把例3中的函数换为：f(x)x2(a4)x(52a)，若f(x)0对任意的xR都成立，求实数a的取值范围解由题意可知，f(x)的图像开口向上，故要使f(x)0恒成立，只需0即可，即(a4)24(52a)0，解得2a22(变结论)例3的条件不变，
8、若存在x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解不等式f(x)m5可化为mx2mx1m5，即m(x2x1)6，由于x2x10，故原不等式等价于m当x1,3时，x2x11,7，故，由题意可知m6有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解1解高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到
9、大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集注意分式不等式分母不为零对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论2一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式2与3x52(x1)同解()(2)0与(x1)(x2)0同解()(3)应用穿针引线法解不等式(x2)2(x3)0，可得其解集为(2,3)()答案(1)(2)(2)提示(1)
10、错误，不等式2与0同解；(2)错误，0与(x1)(x2)0且x20同解；(3)错误，(x2)2(x3)0的解集为(3，)2对任意的xR，x2ax10恒成立，则实数a的取值范围是()A(2,2) B(，2)(2，)C2,2 D(，22，)A由题意可知a240，解得2a23不等式2的解集为 原不等式可化为0，故(4x5)(x3)0且x3，故解集为4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)400，解得：15x20所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x15,20)
