1、1.4全称量词与存在量词课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题中,是真命题且是全称命题的是()A.对任意的a,bR,都有a2+b2-2a-2b+20”的否定形式是()A.x0R,3x00B.x0R,3x00C.xR,3x0D.xR,3x0”的否定形式是“x0R,3x00”.答案A3.下列四个命题,真命题的个数是()若xR,则x+1x2ac2bc2的充分不必要条件是ab命题“nN,n22n”的否定为“nN,n22n”A.0B.1C.2D.3解析对于,当x0时,x+1x2,x=0时,x+1x无意义,xb时,不能得出ac2bc2,即充分性不成立,当ac2bc2时,能得出ab,即必要性成立,所以ab是ac
2、2bc2的必要不充分条件,错误;对于,命题“n0N,n022n0”的否定为“nN,n22n”,正确.综上,正确的命题序号是.故选B.答案B4.已知命题p:x0,x+4x4;命题q:x0(0,+),2x0=12,则下列判断正确的是()A.p是假命题B.q是真命题C.p(q)是真命题D.(p)q是真命题解析由均值不等式知,命题p为真命题,而对任意x(0,+),都有2x1,所以不存在x0(0,+),使得2x0=12,即命题q为假命题,故p(q)是真命题.答案C5.已知命题p:x3,xm成立,则实数m的取值范围是()A.m3B.m3C.m3解
3、析对任意x3,xm恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m3.答案A6.命题“x0R,1f(x0)3”的否定形式是.解析根据特称命题的否定是全称命题,得命题“x0R,1f(x0)3”的否定形式是“xR,f(x)1或f(x)3”.答案xR,f(x)1或f(x)37.下列特称命题是真命题的序号是.有些不相似的三角形面积相等;存在一实数x0,使x02+x0+10,所以不存在实数x0,使x02+x0+10”是假命题,则实数a的取值范围是.解析由题意,命题“xR,x2-2ax+10”是假命题,可得出二次函数与x轴有交点,又由二次函数的性质,可得0,即4a2-40,解得a-1或a1.答案(-,-11,+)9.
4、用量词符号“”“”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x都能使x2+x+10成立;(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立;(4)所有的有理数x都能使13x2+12x+1是有理数.解(1)xR,x2+x+10,真命题.(2)a,bR,ax+b=0恰有一个解,假命题.(3)x0,y0Z,3x0-2y0=10,真命题.(4)xQ,13x2+12x+1是有理数,真命题.10.写出下列命题的否定并判断真假:(1)不论m取何实数,关于x的方程x2+x-m=0必有实数根;(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;(3)某些梯形的对
5、角线互相平分;(4)被8整除的数能被4整除.解(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,关于x的方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是:“存在实数m,使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根”,注意到当=1+4m0,即m-14时,一元二次方程没有实根,因此p是真命题.(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(3)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.能力提升1.命题“xR,n0N*,使得n02x+1”的否定形式是()A.xR,n0N*,使得n02x+1
6、B.xR,n0N*,使得n02x+1C.x0R,nN*,使得n2x0+1D.x0R,nN*,使得n2x0+1解析由题意可知,全称命题“xR,n0N*,使得n02x+1”的否定形式为特称命题“x0R,nN*,使得n2x0+1”,故选D.答案D2.已知命题p:xR,2x3x;命题q:xR,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是()A.pqB.(p)qC.p(q)D.(p)(q)解析由20=30知p为假命题.令h(x)=x3+x2-1,则h(0)=-10,所以方程x3+x2-1=0在(0,1)内有解.因此q为真命题,故
7、(p)q为真命题,故选B.答案B3.已知函数f(x)=ln1-ax+1(aR).命题p:aR,f(x)是奇函数;命题q:aR,f(x)在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是()A.pB.pqC.(p)qD.p(q)解析当a=2时,f(x)=ln1-2x+1=lnx-1x+1是奇函数,故命题p为真命题;当a=0时,f(x)=0在其定义域内不是增函数,故命题q为假命题,所以p(q)为真命题.答案D4.若命题“x(1,+),x2-(2+a)x+2+a0”为真命题,则实数a的取值范围是()A.(-
8、,-2B.(-,2C.-2,2D.(-,-22,+)解析判别式=(2+a)2-4(2+a)=(a+2)(a-2),当=(a+2)(a-2)0,即-2a2时,不等式恒成立,满足条件.当=(a+2)(a-2)0,即a2或a2或a-2,a0”为真命题,当a=0时,显然成立;当a0时,ax2+2ax+10恒成立可化为a0,4a2-4a0,解得0a1.综上,实数a的取值范围是0,1).答案0,1)6.以下给出五个命题,其中真命题的序号为.函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是a15;“任意菱形的对角线一定相等”的否定形式是“菱形的对角线一定不相等”;x0,2,x
9、tan x;若0ab1,则ln aln babba;“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的充分不必要条件.解析逐一考查所给的命题:函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,很明显a0,故f(-1)f(1)0,据此可得:(1-5a)(a+1)0,则a的取值范围是a15,题中的说法正确;“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”,原命题错误;令f(x)=x-tan x,则f(x)=1-1cos 2x=cos2x-1cos2x0,则f(x)单调递减,又f(0)=0,故f(x)0恒成立,即x-tan x0恒成立,据此可知x0,2,xtan x,题中的说法
10、正确;若0ab1,则ln aln b0,ba0,构造函数f(x)=lnxx,则f(x)=1-lnxx2,则函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,由于0ab1,故f(a)f(b),lnaalnbb,则ln abln ba,abba,综上可得,ln aln bab0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.解因为命题p:xR,x2+(a-1)x+10是假命题,所以命题p:x0R,x02+(a-1)x0+10,即(a-1)24,故a-12,即a3.因为命题q:x0R,ax02-2ax0-30不成立,所以命题q:xR,ax2-2ax-30成立,当a=0时,-30成立;当a0时,必须=(-2a)2+12a0,即a2+3a0,解得-3a0,故-3a0.综上所述,-3a-1.所以实数a的取值范围是-3,-1).
