1、2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）第一次质检数学试卷一、选择题（5×8=40）1下列函数中，周期为1的奇函数是（）Ay=12sin2xBCDy=sinxcosx2已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）ABy=2sin2xCDy=2sin4x3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D254在数列an中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），则a2007=（）A4B1C1D55等差
2、数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A28B29C30D316在等比数列an中，a1=2，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于（）A2n+12B3nC2nD3n17函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinxcosx|的最小正周期为（）A2BCD8关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A是周期函数，周期为B在上是单调递增的C在上最大值为D关于直线对称二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ，a4
3、，a6的等比中项为 ，数列的最大值是 10在ABC中，已知向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则= ， = ，ABC的面积为 11若一个三角形两内角、满足2+=，则y=cos6sin的范围为 12在ABC中，已知a=5，b=4，cos（AB）=，则cosC= ，AB= 13在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则若ab，则f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序
4、号是 14在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），则该数列的通项an= 15已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为 三、解答题（154+16=76）16已知向量（1）若f（）=的值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2ac）cos B=bcos C，若f（A）=，试判断ABC的形状17已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且，求非零常数c；（3）若（2）中的bn的前n项和为Tn，求证：18已知数列
5、an的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象y=4x5上，其中nN*令bn=an+12an，且a1=1（1）求数列bn通项公式；（2）求数列nbn的前n项和Tn19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，E，F分别是AC，AB的中点，（1）若C=60，b=1，c=3，求ABC的面积； （2）若3AB=2AC，t恒成立，求t的最小值20设数列an的各项都是正数，a1=1，bn=an2+an（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的通项公式；（3）求证：12016-2017学年浙江省宁波市余姚中学高一（下）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5×8
6、=40）1下列函数中，周期为1的奇函数是（）Ay=12sin2xBCDy=sinxcosx【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H3：正弦函数的奇偶性【分析】对A先根据二倍角公式化简为y=cos2x为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案【解答】解：y=12sin2x=cos2x，为偶函数，排除A对于函数，f（x）=sin（2x+）sin（2x+），不是奇函数，排除B对于，T=1，排除C对于y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且T=，满足条件故选D2已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函
7、数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）ABy=2sin2xCDy=2sin4x【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数f（x）=2sin（x），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，求得=2图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x）的图象，由此求得y=g（x）的解析式【解答】解：函数=2sin（x），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，可得=，=2将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x）的图象，故y=g（x）的解析式是
8、y=2sin2x，故选B3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D25【考点】8F：等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值【解答】解：数列an为等差数列且首项a1=0，公差d0，又ak=（k1）d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d故k=22故选A4在数列an中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），则a2007=（）A4B1C1D5【考点】8H：数列递推式【分析】利用a1=1
9、，a2=5，an+2=an+1an（nN*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列an是以6为周期的周期数列，由此能求出a2007【解答】解：a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），a3=51=4，a4=45=1，a5=14=5，a6=5+1=4，a7=4+5=1，a8=1+4=5，数列an是以6为周期的周期数列，2007=3346+3，a2007=a3=4，故选A5等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A28B29C30D31【考点】8E：数列的求和【分析】方法一：利用奇数项与偶数项的差为a（2n+1）nd，从而可求
10、方法二：等差数列有2n+1，S奇S偶=an+1，即可求得答案【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项：a1，a3，a5，a（2n+1），令其和为Sn=319，偶数项共n项：a2，a4，a6，a2n，令其和为Tn=290，有SnTn=a（2n+1）（a2a1）+（a4a3）+a（2n）a（2n1）=a（2n+1）nd=319290=29，有a（2n+1）=a1+（2n+11）d=a1+2nd，则a（2n+1）nd=a1+nd=29，数列中间项为a（n+1）=a1+（n+11）d=a1+nd=29故选B方法二：由等差数列的性质，若等差数列有2n+1，则S奇S偶=（a1+a3+a5+
11、a2n+1）（a2+a4+a6+a2n）=（an+an+2）an+1=an+1=319290=29，故an+1=29，故选B6在等比数列an中，a1=2，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于（）A2n+12B3nC2nD3n1【考点】89：等比数列的前n项和【分析】根据数列an为等比可设出an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn【解答】解：因数列an为等比，则an=2qn1，因数列an+1也是等比数列，则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+a
12、n+2=2an+1an（1+q22q）=0q=1即an=2，所以sn=2n，故选C7函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinxcosx|的最小正周期为（）A2BCD【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】由题意，不难发现sinx和cosx相互置换后结果不变根据诱导公式化简可得周期【解答】解：由f（x）的表达式可知，sinx和cosx相互置换后结果不变f（x+）=|sin（x+）+2cos（x+）|+|2sin（x+）cos（x+）|=|cosx2sinx|+|2cosx+sinx|=f（x）；可见为f（x）的周期，下面证明是f（x）的最小正周期考察区间0，当0x时，f（x）=2
13、cosx，f（x）单调递减，f（x）由2单调递减至；当x时，f（x）=2sinx，f（x）单调递增，f（x）由单调递增至2；由此可见，在0，内不存在小于的周期，由周期性可知在任何长度为的区间内均不存在小于的周期；所以即为f（x）的最小正周期，故选C8关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A是周期函数，周期为B在上是单调递增的C在上最大值为D关于直线对称【考点】H2：正弦函数的图象【分析】分类讨论、利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数y=sin|2x|+|cos2x|，当2x0，），y
14、=sin2x+cos2x=sin（2x+）；当2x，），y=sin2xcos2x=sin（2x）；当2x，），y=sin2xcos2x=sin（2x+）；当2x，2），y=sin2x+cos2x=sin（2x）；故函数y的周期为2，故排除A在上，2x，即2x，2x+，函数y=sin（2x+） 单调递减，故B正确由于函数y的最大值最大值为，不会是，故排除C；当时，函数y=1，不是最值，故函数的图象不会关于直线对称，故排除D，故选：B二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=3，a4，a6的等比中项
15、为243，数列的最大值是【考点】88：等比数列的通项公式【分析】对于第一空：根据已知条件得出2S52S4=a63（a53）=a6a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得q的值；对于第二空：由a5=2S4+3求得a1的值，易得该数列的通项公式，求出a4，a6的值，由等比中项的性质计算可得答案；对于第三空：设bn=，计算可得数列的通项公式为bn=，分析可得bn+1bn=，结合n的范围可得bn+1bn=0，即数列bn=为递减数列，可得n=1时，数列有最大值，将n=1代入计算可得答案【解答】解：a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a53，2S5=a632
16、S52S4=a63（a53）=a6a5=2a5即3a5=a63a5=a5q解得q=3，则由a5=2S4+3得到：34a1=2+3，解得a1=3，则a4=a1q3=34，a6=a1q5=36，则a4，a6的等比中项为=243，设bn=，又由a1=3，q=3，则an=a1qn1=3n，则有=，即数列的通项公式为bn=，bn+1bn=，当n1时，有bn+1bn=0，即数列bn=为递减数列，则其最大值为b1=；故答案为：3，243，10在ABC中，已知向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则=1， =2，ABC的面积为【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】根据向量的模长
17、=可得答案在根据向量加减的运算求出，可得|，即可求出三角形的面积【解答】解：向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则=c=，=a=，+=（2cos63+cos18，2cos27+cos72）可得|=b=）=由余弦定理，可得cosB=，则sinB=则ABC的面积S=acsinB=故答案为：1，2，11若一个三角形两内角、满足2+=，则y=cos6sin的范围为（5，1）【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】先由：2+=，结合配方法将y=cos（2）6si转化为：y=2（sin）2，再令t=sin（0，1），用二次函数的性质求解【解答】解：一个三角形两内角、满足2+
18、=，、均大于零，2，（0，）则y=cos6sin=cos（2）6sin=cos26sin=2sin26sin1=2（sin）2，令t=sin，根据（0，），可得t（0，1），则y=2，当t=0时，y=1；当t=1时，y=5，且函数y在（0，1）上单调递减，y（5，1），故答案为：（5，1）12在ABC中，已知a=5，b=4，cos（AB）=，则cosC=，AB=6【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】由已知得AB在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5x在ADC中，cosDAC=cos（AB）=，由余弦定理求出x=4，从而cosC=，再由余弦定理能求出AB【解
19、答】解：在ABC中，a=5，b=4，cos（AB）=，ab，AB在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5x在ADC中，cosDAC=cos（AB）=，由余弦定理得：（5x）2=x2+422x4，即：2510x=16x，解得：x=4在ADC中，AD=AC=4，CD=1，cosC=，AB=6故答案为：，613在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则若ab，则f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+ta
20、nB）=2，则，其中错误命题的序号是【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由正弦定理，可知命题正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，可得a2=b2+c2；由三角函数的公式可得，由的范围可得（1，；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍）；展开变形可得，即tan（A+B）=1，进而可得【解答】解：由正弦定理，ab等价于sinAsinB，sinAsinB0，f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数，故正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，故可得a2b2=c2，即a2=b2+c2，故ABC是Rt，故正确；由三角函数的公式可得，0c，c，
21、（，1，（1，故取不到最小值为，故错误；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍），A=B，故正确；展开可得1+tanA+tanB+tanAtanB=2，1tanAtanB=tanA+tanB，即tan（A+B）=1，故错误；错误命题是故答案为14在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），则该数列的通项an=2n+13【考点】8H：数列递推式【分析】由题意知an+1+3=2（an+3）（n1），由此可知该数列的通项an=2n+13【解答】解：在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），an+1+3=2（an+3）（n1），即an+3是以
22、a1+3=4为首项，为公比的等比数列，an+3=42n1=2n+1，所以该数列的通项an=2n+1315已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32【考点】8H：数列递推式【分析】由题意知an中任何一项均为正整数，若a5为奇数，得到a5=0不满足条件若a5为偶数，则a5=2a6=2，满足条件；若a4为奇数，得不满足条件若a4为偶数，则a4=2a5=4，满足条件由此能求出m的取值【解答】解：由题意知an中任何一项均为正整数，a6=1，若a5为奇数，则3a5+1=1，得a5=0不满足条件若a5为偶数，则a5=2a6=2，满足条件a5=2若a4为奇
23、数，则3a4+1=2，得不满足条件若a4为偶数，则a4=2a5=4，满足条件a4=4（1）若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1满足条件若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0不满足条件若a2为偶数，则a2=2a3=2满足条件若a1为奇数，则3a1+1=2，得不满足条件若a1为偶数，则a1=2a2=4，满足条件（2）若a3为偶数，则a3=2a4=8，满足条件若a2为奇数，则3a2+1=8，得不满足条件若a2为偶数，则a2=2a3=16，满足条件若a1为奇数，则3a1+1=16，得a1=5，满足条件若a1为偶数，则a1=2a2=32，满足条件故m的取值可以是4，5，32故答案为：4，5，32三
24、、解答题（154+16=76）16已知向量（1）若f（）=的值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2ac）cos B=bcos C，若f（A）=，试判断ABC的形状【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算可得函数解析式f（x）=sin（+）+，由f（）=，可得=4k+，kZ，代入即可计算得解cos（）的值（2）利用正弦定理化简已知等式，利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，进而可求B=，由f（A）=，可求A的值，即可判定三角形形状【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知可得：f（x）=sinc
25、os+cos2=sin+cos+=sin（+）+，2分f（）=，可得：sin（+）+=，=4k+，kZ，cos（）=cos（4k）=1，6分（2）（2ac）cosB=bcosC，（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，8分2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，可得：cosB=，B=，f（A）=，10分sin（+）+=，可得： +=或，解得：A=或，又0，A=，ABC为等边三角形12分17已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且，求非零常数c；（3）若（2）中的bn的
26、前n项和为Tn，求证：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；8F：等差数列的性质【分析】（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an（2）代入等差数列的前n和公式可求sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c（3）要证原不等式ABAM，BM，分别利用二次函数及均值不等式可证【解答】解：（1）an为等差数列，a3a4=117，a2+a5=22又a2+a5=a3+a4=22a3，a4是方程x222x+117=0的两个根，d0a3=9，a4=13d=4，a1=1an=1+（n1）4=4n3（2）由（1）知，bn
27、是等差数列，2b2=b1+b3，2c2+c=0，（c=0舍去），当时，bn=2n为等差数列，满足要求（3）由（2）得，2Tn3bn1=2（n2+n）3（2n2）=2（n1）2+44，但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn3bn1=2（n2+n）3（2n2）=2（n1）2+44，n=3时取等号（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以18已知数列an的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象y=4x5上，其中nN*令bn=an+12an，且a1=1（1）求数列bn通项公式；（2）求数列nbn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合【分析】（1）将点代入直线方
28、程，求得Sn+1=4an+3，当n2时，Sn=4an1+3，两式相减即可求得an+12an=2（an2an1）（n2），即可求得数列bn是与2为公比的等比数列，由a1=1，即可求得b1，根据等比数列通项公式即可求得数列bn通项公式；（2）由（1）可知，利用“错位相减法”即可求得数列nbn的前n项和Tn【解答】解：（1）将点（an+2，Sn+1）代入y=4x5，即Sn+1=4（an+2）5，Sn+1=4an+3，当n2时，Sn=4an1+3，两式相减an+1=4an4an1，an+12an=2（an2an1）（n2）由bn=an+12an，则=2，（n2）数列bn是与2为公比的等比数列，首项b1
29、=a22a1，而a2+a1=4a1+3，且a1=1，a2=6，b1=a22a1=4，bn=42n1=2n+1，数列bn通项公式bn=2n+1；（2）nbn=n2n+1，数列nbn的前n项和Tn=b1+2b2+3b3+nbn，=122+223+324+n2n+1，2Tn=123+224+325+n2n+2，得Tn=22+23+24+25+n2n+1n2n+2，=n2n+2，=4（12n）n2n+2，Tn=4+（n1）2n+2，数列nbn的前n项和Tn，Tn=4+（n1）2n+219在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，E，F分别是AC，AB的中点，（1）若C=60，b=1，c=3，求A
30、BC的面积； （2）若3AB=2AC，t恒成立，求t的最小值【考点】HR：余弦定理【分析】（1）由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，代入解得a可得SABC=（2）令AC=6m，AB=4m，则AE=3m，AF=2m在ABE中，BE2=16m2+9m224m2cosA在ACF中，CF2=40m224m2cosA可得=1即可得出【解答】解：（1）由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，32=a2+122acos60，化为：a2a8=0，解得a=SABC=（2）令AC=6m，AB=4m，则AE=3m，AF=2m在ABE中，BE2=AB2+AE22ABAEcosA=16m2+9m22
31、4m2cosA在ACF中，CF2=AC2+AF22ACAFcosA=40m224m2cosA=11cosA1，164024cosA64，ttmin=20设数列an的各项都是正数，a1=1，bn=an2+an（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的通项公式；（3）求证：1【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式；8H：数列递推式【分析】（1）利用数列bn与数列an的关系得出数列bn相邻项之间的关系是解决本题的关键，常常要转化为特殊数列问题，要注意特殊数列的相关公式的运用；（2）利用（1）中求得的bn的通项公式，通过方程思想解出数列an的通项公式；（3）根据数列an的单调性寻找所证和式中的每一项与特殊数列的关系是解决本题的关键，通过放缩转化为特殊数列求和从而达到证明该不等式的目的【解答】解：（1）由条件得：an+12+an+1=2（an2+an）bn+1=2bnb1=a12+a1=2bn为等比数列bn=2n（2）由an2+an=2n得又an0（3）证明：=an为递增数列an2+an=（1+an）an（1+an）an+1从而=2017年8月10日
