1、第2讲平面向量的基本定理及坐标表示板块一知识梳理自主学习必备知识考点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，称e1，e2为基底若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底考点2平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axiyj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)考点3平面向量的坐
2、标运算1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.考点4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abx1y2x2y10；(2)若a0，则与a平行的单位向量为.必会结论1若a与b不共线，ab0，则0.2已知(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且1常被当作隐含条件运用3平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组考点自测1判断下列结论的正误(正确的
3、打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)22018郑州一模设向量a(x,1)，b(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是()A0 B2 C2 D2答案D解析由题意可得ab，所以x24，解得x2或2，又a，b方向相反，所以x2.故选D.3课本改编已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为()A(7,4) B(7,14) C(5,4)
4、D(5,14)答案D解析设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得故选D.42017山东高考已知向量a(2,6)，b(1，)若ab，则_.答案3解析ab，26(1)0，解得3.52015江苏高考已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.板块二典例探究考向突破考向平面向量基本定理的应用例12018许昌联考在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则()A.ab B.abCab Dab答案B解析如图，设，.而bb，.因此，b.由于a，b不
5、共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得，.故ab.故选B.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解【变式训练1】如图，已知ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，e1e2.同理可得y(2e1e2)，即e1e2
6、.考向平面向量的坐标表示例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)触类旁通平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则
7、来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用【变式训练2】2018山东日照一中月考在ABC中，点P在BC上，点Q是AC的中点，且2.若(4,3)，(1,5)，则等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)答案A解析由题知，(1,5)(4,3)(3,2)又因为点Q是AC的中点，所以.所以(1,5)(3,2)(2,7)因为2，所以33(2,7)(6,21)故选A.考向平面向量共线的坐标表示例32018正定检测已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，ka
8、b与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.触类旁通利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a(x1，y1)
9、，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便【变式训练3】平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)核心规律1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向
10、量进行分解2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用满分策略1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.板块三启智培优破译高考创新交汇系列4坐标法求向量中的最值问题2
11、017全国卷在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C. D2解题视点建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，用三角函数表示出点P的坐标，最后转化为三角函数的最值问题解析分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，可设P.则(0，1)，(2,0)，.又，sin1，cos1，2sincos2sin()，其中tan，()max3.答案A答题启示本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出的最大值.引入向量的坐标
12、运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.跟踪训练2018湖南模拟给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求xy的最大值解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos，sin)，由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12018东北三校联考已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(8
13、,1) B.C. D(8，1)答案B解析设P(x，y)，则(x3，y2)而(8,1)，解得P.故选B.2已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，若ab，则3a2b()A(7,2) B(7，14)C(7，4) D(7，8)答案B解析ab，m40，m4，b(2，4)，3a2b3(1，2)2(2，4)(7，14)故选B.3若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(3,5)，(2,4)，则()A(1，1) B(5,9)C(1,1) D(3,5)答案A解析由题意可得(2,4)(3,5)(1，1)故选A.42018福建模拟在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2
14、)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析若e1(0,0)，e2(1,2)，则e1e2，故a不能由e1，e2表示，排除A；若e1(1,2)，e2(5，2)，因为，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a(3,2)表示出来，C，D选项中e1，e2都为共线向量，故a不能由e1，e2表示故选B.52018广西模拟若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c()Aab B.abC.ab Dab答案B解析设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，121，122，解得1，2，所以cab.故选
15、B.6已知O为坐标原点，且点A(1，)，则与同向的单位向量的坐标为()A. B.C. D.答案A解析与同向的单位向量a，又|2，故a(1，).故选A.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 BkCk1 Dk1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.故选C.8若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_答案解析(a1,3)，(3,4)，据题意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.9201
16、8延安模拟已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_答案(2,4)解析因为在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，所以(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，所以解得故点D的坐标为(2,4)10向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，
17、b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61，23.解得2，4.B级知能提升12018广东七校联考已知向量i，j不共线，且imj，nij，m1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案C解析因为A，B，D三点共线，所以，存在非零实数，使得，即imj(nij)，所以(1n)i(m)j0，又因为i与j不共线，所以则mn1.故选C.22018枣庄模拟在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足，则的值为()A. B. C. D.答案B解析由已知得，32，即2()，即2，如图所示，故C为BA的靠近A点的三等分点，因而.选B.3
18、.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_.答案解析选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得即故.42018杭州测试如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.5.2018衡水中学调研如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，求的值解解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，所以|OA1|B1C|4，所以42，所以4，2，所以6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.
