1、第4讲直线、平面平行的判定及性质板块一知识梳理自主学习必备知识考点1直线与平面平行1判定定理2性质定理考点2平面与平面平行1判定定理2性质定理 必会结论1垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.2垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.3平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)平行于同一平面的两条直线平行()(5)若直线l
2、上有无数个点不在平面内，则l.()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018乌鲁木齐二诊已知直线l，m，其中只有m在平面内，则“l”是“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若l，则l与内的直线平行或异面；若lm，l不在平面内，则l，所以“l”是“lm”的必要不充分条件故选B.32018湖南长沙模拟已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()Am，n，则mn Bmn，m，则nCm，m，则 D，则答案C解析对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；对于B，mn，m，则n或n，故B
3、不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确故选C.42017全国卷如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MN
4、Q，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.板块二典例探究考向突破考向有关平行关系的判断 例12016全国卷，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析由mn，m，可得n或n在内，当n时，与可能相交，也可能平行，故错易知都正确触类旁通解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“
5、线在面外”易忽视 (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【变式训练1】2018潍坊模拟已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1 Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2答案D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知.故选D.考向直线与平面平行的判定与性质 命题角度1用线线平行证明线面平行例22016全国卷如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，
6、N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解(1)证明：由已知得AMAD2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3，得AEBC，AE.由AMBC，得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.命题角度2用线面平行证明线线平行例32018长春一调如图所示，E是以AB
7、为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EFAB.证明(1)E是半圆上异于A，B的点，AEEB.又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CBAB，CB平面ABE.又AE平面ABE，CBAE.BCBEB，AE平面CBE.又EC平面CBE.AEEC.(2)CDAB，AB平面ABE.CD平面ABE.又平面CDE平面ABEEF.CDEF.又CDAB.EFAB.触类旁通判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3
8、)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)考向面面平行的判定及性质 例4 2018云南模拟如图所示的几何体ABCDFE中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE平面BCF.解(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面ABC，平面BCED平面ABC，AO平面BCED.同理FG平面BCED.AOFG，VABCDFE42.(2)证明：由(1)知AOFG，AOFG，四边形AOFG为平行四边形，AGOF.
9、又DEBC，DEAGG，DE平面ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF，平面ADE平面BCF.触类旁通判定面面平行的方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)【变式训练2】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中
10、点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.核心规律1.平行问题的转化关系2.判断直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线满分策略证明平行问题应注意的三个问题(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现
11、错误(2)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.板块三启智培优破译高考规范答题系列 4证明线面平行的两种常用方法2015山东高考如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH.解题视点证法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点，M为DC的中点，可得HMBD，进而得BD平面FGH；证法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED平面FGH，进而得BD平面FGH.证明证法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DE
12、FABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.答题模板证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面
13、平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾，检查关键点及答题规范证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾，检查答题规范跟踪训练如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.证明证法一：如右图，作MEBC，交BB1于E，作NFAD，交AB于F，连接EF，则EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEB
14、CADNF，四边形MEFN为平行四边形NMEF.又MN面AA1B1B，EF平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.证法二：如图所示，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P平面AA1B1B.NDCNBP，.又CMDN，B1CBD，MNB1P.B1P平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，MN平面 AA1B1B.证法三：如下图，作MPBB1，交BC于点P，连接NP.BB1平面ABB1A1，MP平面ABB1A1，MP平面ABB1A1.MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN.，NPDCAB.AB平面ABB1A1，NP平面ABB1A1，NP平面ABB1A1，又MPNPP，平面M
15、NP平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018嘉兴月考对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故选D.22018揭阳模拟设平面，直线a，b，a，b，则“a，b”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由平面与平面平行的判定定理可知，若
16、直线a，b是平面内两条相交直线，且有“a，b”，则有“”；当“”，若a，b，则有“a，b”，因此“a，b”是“”的必要不充分条件故选B.3过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线的条数是()A2 B4 C6 D8答案C解析取A1C1，B1C1，AC，BC的中点E，F，G，H，易知平面EFHG平面ABB1A1，所以满足条件的直线有EF，FG，GH，HE，EG，FH，共6条直线故选C.42015安徽高考已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不
17、存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故选D.5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面答案A解析由长方体性质知
18、：EF平面ABCD，EF平面EFGH，平面EFGH平面ABCDGH，EFGH.又EFAB，GHAB.故选A.6设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题可以填入的条件有()，n；m，n；n，m.A B C D答案C解析由面面平行的性质定理可知正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故选C.72018云南统考设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a，b，a，b是异面直线，那么b；若a，b，a，b共面，那么ab；若，a，则a.上面命题中，所有真命题的序号是_答案
19、解析中的直线b与平面也可能相交，故不正确；由线面平行的性质得正确；由面面平行的性质可得正确8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为_cm2.答案解析如图所示，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，E为DD1的中点，SACE(cm2)92018延安模拟已知四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，SASD，SB，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且，SA平面BEF.(1)求实数的值；(2)求三棱锥FEBC的体积解(1)连接AC交EB于M，连接FM.MAEMCB，.SA平面BEF.平面S
20、AC平面BEFFM.SAFM.，即.(2)SASD，E为AD中点SEAD且SE2.BE，SB，SE2BE2SB2.SEBE.SE平面ABCD.VFEBCVSEBCVSABCD222.10.2016山东高考在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE，因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连接GI，HI.
21、在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.GI平面ABC.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.HI平面ABC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.B级知能提升12018大同模拟设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l1答案A解析由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l1，l2相交，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一个充分不必要条件故选A.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为
22、a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行 C垂直 D不能确定答案B解析连接CD1，在CD1上取点P，使D1P，MPBC，PNAD1.AD1BC1，PNBC1.MP面BB1C1C，PN面BB1C1C.面MNP面BB1C1C，MN面BB1C1C.故选B.3.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是_答案(8,10)解析设k(0k1)，1k，GH5k，EH4(1k)，周长82k.又0k1，周长的范围为(8,10)4.2018银川模拟如图所示，四棱锥PABC
23、D的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积解(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF. (2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC.同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GE
24、FH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD.从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14.从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK，得GKPO.即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.5.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)设BC3，求四棱锥BDAA1C1的体积解(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D.AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C.平面ABC平面AA1C1CAC，连接A1B，作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在RtABC中，AC.BE.四棱锥BAA1C1D的体积V(A1C1AD)A1ABE23.
