1、第七节正弦定理和余弦定理正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容（R是ABC外接圆的半径）在ABC中，有a2=_;b2=_；c2=_b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C定理正弦定理余弦定理变形公式a=_,b=_,c=_；sin Asin Bsin C=_；，sin C=；2Rsin A2Rsin B2Rsin Cabc定理正弦定理余弦定理解决的问题已知两角和任一边，求其他边和角已知两边和其中一边的对角，求其他边和角已知三边,求各角已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）在ABC中，AB必有si
2、n Asin B.()（2）正弦定理对直角三角形不成立.()（3）在ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.()（4）余弦定理对任意三角形均成立.()（5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.()【解析】(1)正确.由正弦定理可得又sin B0,sin Asin B.（2）错误.正弦定理对任意三角形均成立.（3）错误.当已知三个角时不能求三边.（4）正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.（5）错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案：（1）（2）（3）（4）（5）1.在ABC中，a=3,A=30,B=60，则b等于()【解析】选A.由正弦定理得
3、2.在ABC中，则边c等于()【解析】选B.由余弦定理得c=2.3.ABC满足acos B=bcos A，则ABC的形状为()(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得，sin Acos B=sin Bcos A，即sin Acos B-cos Asin B=0,故sin(A-B)=0.A,B为ABC的内角，A-B=0，A=B,所以ABC是等腰三角形.4.在ABC中，B30，C120，则abc_.【解析】A1803012030，由正弦定理得，答案：5.在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A等于_.【解析】由已知得
4、b2c2a2bc，又答案：考向1 正弦定理的应用【典例1】（1）（2013唐山模拟）在ABC中,则B=()（2）（2013惠阳模拟）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若则sin C等于()（3）（2013西安模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若求A的值；若求sin C的值.【思路点拨】（1）利用正弦定理求解即可.（2）先求出B，再利用正弦定理求A，进而得sin C.（3）利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值；利用正弦定理及同角三角函数关系式求解.【规范解答】（1）选C.由正弦定理可得,又或（2）选A.由A+C=2B且A+B+C=得由正弦定理得又
5、ab,AB,sin C=1.(3)因为所以又因为所以在ABC中，由正弦定理得3sin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C解得又sin2C+cos2C=1,sin2C+8sin2C=1,又【互动探究】在本例（2）中，若条件不变，将结论“则sin C等于”改为“则ABC的面积等于”，则结果如何？【解析】选C.由例（2）知故ABC为直角三角形，所以【拓展提升】1.已知两边和其中一边的对角时解三角形的情况已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.2.解三角形中的常用公式和结论（1）A+B+C=.（2）sin(A+B
6、)=sin C，cos(A+B)=-cos C，tan（A+B）=-tan C.（3）三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【变式备选】（2013岳阳模拟）如图,在ABC中，点D在BC边上，AD=33,（1）求sinABD的值.（2）求BD的长.【解析】（1）因为所以因为所以因为ABD=ADC-BAD,所以sinABD=sin(ADC-BAD)=sinADCcosBAD-cosADCsinBAD（2）在ABD中，由正弦定理，得所以考向 2余弦定理的应用【典例2】(1)(2013重庆模拟)在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c
7、，若a2+b2=2c2，则角C的最大值为()（2）（2013济南模拟）已知ABC中，sin Asin Bsin C=324，则cos C等于()（3）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足则边a=()【思路点拨】(1)利用余弦定理及不等式a2+b22ab得cos C的范围，从而得C的最大值.（2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定理求解.（3）利用已知可得cos A及b，c的值，再利用余弦定理求a.【规范解答】(1)选C.由cos C=而a2+b2=2c2,故cos C=等号成立的条件是a=b，故C为锐角,故0C ,因而C的最大值为.（2）选B.由sin
8、Asin Bsin C=324,及得abc=324.设a=3k,b=2k,c=4k(k0),则（3）选C.因为所以由得bccos A=3，所以bc=5.由bc=5，及b+c=6，解得或由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=20,解得【互动探究】若将本例题(3)中的改为如何求a?【解析】由得故又由得故由正弦定理得【拓展提升】正、余弦定理间的相互转化在应用正、余弦定理解题时，应注意公式的灵活性，尤其要注意两个定理间的相互转化，如a2=b2+c2-2bccos A可以转化为sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明.【变式备选】
9、在ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小.（2）若求a,c的值.【解析】（1）由余弦定理及得：整理得a2+c2-b2=-ac.（2）由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,又ac=3.由得或即a=1,c=3或a=3,c=1.考向 3利用正、余弦定理判断三角形的形状【典例3】(1)(2013哈尔滨模拟)在ABC中,若a=2bcosC,则ABC是()(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.求A的大小；若sin B+si
10、n C=1，试判断ABC的形状.【思路点拨】(1)利用正弦定理化边为角,再将sinA转化为sin(B+C)展开整理可得解.（2）利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可解；先求出sin B,sin C的值，再求出角B，C，可判断三角形的形状.【规范解答】(1)选B.由a=2bcosC及正弦定理得sinA=2sinBcosC.又sinA=sin(B+C),故sin(B+C)=2sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,得sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0.又B,C为ABC的内角,所以B-C=0,即B=C,故ABC为等腰三角形.（2）由
11、已知及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，整理得a2=b2+c2+bc，b2+c2-a2=-bc,又由得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得因为故所以ABC是等腰的钝角三角形.【拓展提升】1.三角形形状的判断思路(1)若出现边与边的关系时主要看是否有等边或是否符合勾股定理等.(2)若出现角与角的关系时主要是看是否有等角、有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理或余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系后进行判断.(2)利用正弦定理或余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出边与边之间
12、的关系后进行判断.【提醒】判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外在变形过程中要注意角A，B，C 的范围对三角函数值的影响.【变式训练】（1）在ABC中，则ABC的形状为()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形(2)ABC中，已知a-b=ccos Bccos A，则ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形（3）ABC中，若b=asin C,c=acos B,则ABC的形状为()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰或直角三角形【解析】（1）选B.方法一：asin A
13、bsin B.由正弦定理得a2=b2，ab，ABC为等腰三角形.方法二：asin Absin B.由正弦定理可得2Rsin2A2Rsin2B，sin Asin B，AB或AB（不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.(2)选D.由已知结合余弦定理可得整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,a=b或a2+b2=c2,ABC为等腰三角形或直角三角形.（3）选C.由c=acos B可知整理得b2+c2=a2，ABC是直角三角形，且A=90.又由b=asin C,得B=C,ABC是等腰直角三角形.【满分指导】解正、余弦定理综合题的解题规范【典例】(12分)（2012江苏高考）在ABC中，已知（1）求证：
14、tan B=3tan A.（2）若求A的值【思路点拨】已知条件条件分析利用向量数量积转化为边角关系，再利用正弦定理转化为角的关系可得tan C，再将tan B转化为tan(A+C)整理可解【规范解答】（1）由得即为cbcos A=3cacos B,2分bcos A=3acos B，由正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B，3分两边同除cos Acos B得tan B=3tan A.即tan B=3tan A成立.5分（2）因为所以C为锐角，所以tan C=2,由（1）知tan B=3tan A，且A+B+C=，得tan-(A+C)=3tan A,6分即即8分所以tan A=1或
15、10分因tan B=3tan A，由内角和为知两角均为锐角，故应舍去.所以tan A=1，所以12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013萍乡模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于()【解析】选D.根据正弦定理，由acos A=bsin B,得sin Acos A=sin2B,sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.2.(2012湖北高考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C等于()(A)30(B)45(C)60(D)1
16、20【解析】选D.由(a+b-c)(a+b+c)=ab,可知a2+b2-c2=-ab.又cosC=所以C=120.3.(2013合肥模拟)在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()(A)(0,(B),)(C)(0,(D),)【解析】选C.由已知及正弦定理得a2b2+c2-bc,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,于是b2+c2-2bccosAb2+c2-bc,可得cosA ,又0A,故A(0,.4.(2012北京高考)在ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=,则b=.【解析】b+c=7,c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2acco
17、sB,即b2=4+(7-b)2-22(7-b)(),解得b=4.答案:45.(2013巢湖模拟）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若且sin C=cos A.（1）求角A，B，C的大小.（2）设函数求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离.【解析】（1）由题设及正弦定理知：得sin 2A=sin 2B,2A=2B或2A+2B=,即A=B或当A=B时，有sin(-2A)=cos A,即得当时，有即不符合题设,（2）由（1）及题设知：当时，为增函数,即的单调递增区间为(kZ).它的相邻两对称轴间的距离为1.在ABC中，若2acos B=c，则的取值范围是()【
18、解析】选C.由2acos B=c得2sin Acos B=sin C=sin(A+B),即2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,故A=B.又故B为锐角，即所以2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,如果cos(2B+C)+2sin Asin Bc2 (B)a2+b2a2 (D)b2+c2a2【解析】选B.cos(2B+C)+2sin Asin B=cosB+(-A)+2sin Asin B=-cos(B-A)+2sin Asin B=-(cos Bcos A+sin Asin B)+2sin Asin B=-(cos AcosB-sin Asin B)=-cos(A+B)0,cos C0.由余弦定理得a2+b2c2.
