1、第八节函数与方程1.函数零点(1)定义：对于函数y=f(x)(xD)，把使_的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与_有交点函数y=f(x)有_.f(x)=0 x轴零点(3)零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数y=f(x)在区间_内有零点，即存在x0(a,b),使得_.f(a)f(b)0(a，b)f(x0)=02.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点_(x1,0)无交点零点x1,x2x1无(x1,0),(x2,
2、0)3.二分法(1)二分法的定义.对于在区间a，b上连续不断且_的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0一分为二(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.第一步：确定区间a,b,验证_,给定精确度.第二步：求区间(a,b)的中点c.第三步:计算f(c),f(a)f(b)0若f(c)=0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c);若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b).第四步：判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b)，
3、否则重复第二、三、四步.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标.(2)错误.函数f(x)=x2-x，在(-1，2)上有两个零点，但f(-1)f(2)0.(3)正确.当b2-4ac0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点.(4)错误.当函数零
4、点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法求零点的近似值.答案：(1)(2)(3)(4)1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是()【解析】选A.二分法适用于函数图象在a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数，观察图象知选A.2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2，4)上的近似零点，验证f(2)f(4)0，给定精确度=0.01，取区间(2，4)的中点计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为()(A)(2，4)(B)(3，4)(C)(2，3)(D)(2.5，3)【解析】选C.由零点存在性定理知x0(2,3).3.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3
5、的零点所在的区间为()【解析】选C.显然f(x)=ex+4x-3的图象连续不断，又由零点存在性定理知，f(x)在内存在零点.4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax(b0)的零点是()(A)0，2 (B)0，(C)0，(D)2，【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g(x)=bx2-ax=0得x=0或故选C.考向 1 函数零点的求解与判断【典例1】(1)(2012天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0，1)内的零点个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2013湛江模拟)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0
6、,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是_.【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数的单调性判断零点的个数.(2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间.【规范解答】(1)选B.因为f(x)=2xln 2+3x20,x(0,1),所以函数f(x)=2x+x3-2在(0，1)上单调递增，且f(0)=1+0-2=-10，f(1)=2+1-2=10，所以有1个零点.(2)设f(x)=x3-()x-2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y=x3与y=()x-2的图象如图所示.f(1)=1-()-1=-10,f(2)=8-()0=70,f(1)f(2)0,x0
7、(1,2).答案：(1，2)【互动探究】把本例题(2)改为“方程log3x+x=3的解为x0,若x0(n，n+1)，nN，试判断其解所在的区间”.【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3=0,又因为函数f(x)在(0，+)上是连续且单调递增的，所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).【拓展提升】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否
8、有f(a)f(b)0).(1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围.(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【思路点拨】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解.(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而用数形结合法求解.【规范解答】(1)方法一：等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需m2e,则g(x)=m就有实数根.方法二：作出g(x)=x+(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)=m有实数根，则只需m2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)=(x0
9、)的大致图象.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).【拓展提升】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【变
10、式训练】设函数f(x)=在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是()(A)(-1，log32)(B)(0,log32)(C)(log32,1)(D)(1,log34)【解析】选C.由题意知方程在区间(1，2)上有解，由1x2得23，log321，a(log32，1).备选考向二分法及其应用【典例】(1)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_.(2)(2013广州模拟)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值如下(精确度0.1)：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(保留3位有效数
11、字)为_.f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.437 5)=0.162f(1.406 25)=-0.054【思路点拨】按照用二分法求零点近似值的步骤求解.【规范解答】(1)令f(x)=x3-2x-1，则f(1)=13-21-1=-20，f(2)=23-22-1=30，f(1.5)=1.53-21.5-1=-0.6250，f(1.5)f(2)0，故下一步可断定该根所在区间为(1.5，2).答案：(1.5，2)(2)根据题意知函数的零点在区间(1.406 25，1.437 5)内，又|1.437 5-1.406 25|=0.031
12、 250.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25，保留3位有效数字为1.41.答案：1.41(答案不唯一)【拓展提升】利用二分法求方程的近似解(函数近似零点)需注意的问题(1)第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.【提醒】对于方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f(x)-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.【变式训练】用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似
13、值(保留三位有效数字)为_.f(1.600 0)=0.200f(1.587 5)=0.133f(1.575 0)=0.067f(1.562 5)=0.003f(1.556 2)=-0.029f(1.550 0)=-0.060【解析】由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56【易错误区】忽视定义域导致求函数零点个数失误【典例】(2012湖北高考)函数f(x)=xcos 2x在区间0，2上的零点的个数为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面(1)忽视x=0这一零点致
14、误.(2)误把y=cos 2x在0，2上的零点与y=cos x在0，2上的零点等同，导致错误.【规范解答】选D.当x=0时，f(x)=0.y=cos 2x在0，2上的零点为所以f(x)在区间0，2上的零点个数为5.【思考点评】解答本题应注意的两个问题(1)区间0，2是x的范围而不是2x的范围.(2)用整体的思想求解，即令2x=t，先求出t的范围，再在这个范围内寻找使cos t=0的t值即可.1.(2012北京高考)函数f(x)=的零点的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选B.在同一平面直角坐标系内作出的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数只有1个零点.2.
15、(2013茂名模拟)设方程的根分别为x1，x2，则()(A)0 x1x21 (B)x1x2=1(C)1x1x22 (D)x1x22【解析】选A.在同一坐标系内画出函数y=()x，y=log4x,的图象,如图所示，则x11x20.由0 x1x21，故选A.3.(2013韶关模拟)设x0是方程log3x=3-x的根，且x0(k,k+1),kZ，则k=()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.由log3x=3-x得log3x+x-3=0.设f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(2)=log32-10,f(3)=log33+3-3=10,f(2)f(3
16、)0,故x0(2,3),即k=2.4.(2013东莞模拟)已知x0是函数f(x)=的一个零点，若x1(1,x0),x2(x0,+),则()(A)f(x1)0，f(x2)0 (B)f(x1)0，f(x2)0(C)f(x1)0，f(x2)0 (D)f(x1)0，f(x2)0【解析】选D.令f(x)=0.从而有此方程的解即为函数f(x)的零点，在同一坐标系中作出函数y=ln x与的图象如图所示.由图象易知，ln x1，从而lnx1-0,故ln x1+0，即f(x1)0，同理f(x2)0.1.已知a是函数f(x)=2x-的零点，若0 x0a，则f(x0)的值满足()(A)f(x0)=0 (B)f(x0
17、)0(C)f(x0)0 (D)f(x0)的符号不能确定【解析】选C.在同一坐标系内，画出函数y=2x与的图象，如图所示，则0a1,0 x0a,从而2.设函数f(x)的定义域为R，且对任意的xR都有f(x+1)=f(x-1)，若在区间-1，3上函数g(x)=f(x)-mx-m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是()(A)0，(B)0，)(C)(0，(D)(0，【解析】选D.由f(x+1)=f(x-1)得f(x+2)=f(x)，则函数f(x)的周期为2，从而函数f(x)在区间-1，3上的图象如图所示，令u(x)=mx+m=m(x+1)，当m=0时，y=u(x)和y=f(x)有两个交点，不合题意，当m0时，直线恒过定点(-1，0)，当直线过点A(3，1)时，结合图象知函数y=u(x)和y=f(x)有四个交点时，m(0，故选D.
