1、第二节等差数列及其前n项和三年19考高考指数:1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.1.等差数列的定义(1)条件：一个数列从_，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.(2)公差：是指常数，一般用字母d表示.(3)定义表达式：_(nN*).第2项起an+1-an=d
2、【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或“否”)(1)数列()(2)数列a，2a，3a，4a，()(3)数列an满足an=an-1+1(n2,nN*)()(4)数列an满足an+1=an+1(n2,nN*)()【解析】根据等差数列的定义知，(2)(3)是等差数列，(1)不是等差数列，(4)中数列an从第2项起满足等差数列的定义，第1项不一定满足，故不是等差数列.答案：(1)否(2)是(3)是(4)否2.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.a1+(n-1)d【即时应用】(1)在等差数列an中，a5=10,a12=31,则数列的通
3、项公式为_.(2)等差数列10，7，4，的第20项为_.【解析】(1)a5=a1+4d,a12=a1+11d,an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得a20=10+(20-1)(-3)=-47.答案：(1)an=3n-5 (2)-473.等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=.【即时应用】(1)A=是a，A，b成等差数列的_条件.(2)若等差数列an的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项为_.【解析】(1)若A=可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b成等差数列；反之，若a,
4、A,b成等差数列，则A=故A=是a，A，b成等差数列的充要条件.(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即解得a=0,故数列an的前三项依次为0，1，2，则a5=0+41=4.答案：(1)充要(2)44.等差数列的前n项和公式(1)已知等差数列an的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn=.(2)已知等差数列an的首项a1与公差d，则其前n项和公式Sn=.【即时应用】(1)在等差数列an中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_.(2)在等差数列an中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_.(3)在等差数列an中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=_.【解析】(1
5、)(2)(100-49)=2 550.(3)由an=a1+(n-1)d得,-10=a1+(15-1)2,解得a1=-38,答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360等差数列的基本运算【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列前n项和公式的应用方法等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用Sn=na1+在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.【例1】(1)(
6、2011广东高考)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=_.(2)(2011湖北高考)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.(3)(2011福建高考)已知等差数列an中，a1=1,a3=-3.求数列an的通项公式；若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.(2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解.(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，
7、根据Sk=-35求k的值.【规范解答】(1)S4=S9,解得则由ak+a4=0，得k=10.答案：10(2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列an为等差数列.又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4.解得方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且数列an为等差数列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3 3a5+9d=4 联立解得答案：(3)设等差数列an的公差为d，由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n.由知an=3-2n,由Sk
8、=-35得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.又kN*,故k=7.【反思感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.等差数列的判定【方法点睛】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立；(3)通项公式法：验证an=pn+q；(4)前n项和公式
9、法：验证Sn=An2+Bn.【提醒】在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式和前n项和的公式的方法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.【例2】已知数列an中，(n2,nN*),数列bn满足(nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.【解题指南】利用定义法证明数列bn是等差数列；先求bn，再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.【规范解答】(1)又数列bn是以为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知则设则f(x)在区间(-,)和(+)上为减函数.当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.【反思感悟】本例中在
10、用定义法证明bn是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易被忽视的问题.等差数列的性质及应用【方法点睛】等差数列的常见性质(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则am+an=ap+aq=2ak.(2)若an,bn都是等差数列，k,mR,数列kan+mbn仍为等差数列.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(mN*).(4)am=an+(m-n)dd=(mn,m,nN*)(5)项数为偶数2n的等差数列an:S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).S偶-S奇=nd,(6)项数为奇数(2n+1)
11、的等差数列an:S2n+1=(2n+1)an+1.【例3】(1)(2011辽宁高考)Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_.(2)已知等差数列an中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于_.(3)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n6),求数列an的项数及a9+a10.【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.(2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解.(3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.【规范解答】(1)S2=S6，S6-S
12、2=a3+a4+a5+a6=0，2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，a5=-a4=-1.答案：-1(2)设等差数列an的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，且S3=40，S6-S3=20.S9-S6=20+(-20)=0，S9=S6=60.答案：60(3)由题意知a1+a2+a6=36an+an-1+an-2+an-5=180+得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，a1+an=36,又 18n=324,n=18.a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.【反思感悟】1.在等差数列an中，若m+n=p+q=2k,
13、则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第(1)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.2.本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单.【满分指导】等差数列主观题的规范解答【典例】(12分)(2012广州模拟)已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】(1)分析题意，列方程组求解；(2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键.【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，因为a3=7，a5
14、+a7=26，所以有解得a1=3,d=2，3分所以an=3+2(n-1)=2n+1,6分(2)由(1)知an=2n+1，所以9分所以11分即数列bn的前n项和12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)利用方程的思想联立方程组求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；(2)在求解数列bn的前n项和时，不能熟练准确地利用裂项公式.备考建议解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注:(1)对通项公式与前n项和公式记忆错误；(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数
15、列是否为等差数列时，易忽略验证第一项.另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题.1.(2011江西高考)设an为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11，则a1=()(A)18 (B)20 (C)22 (D)24【解析】选B.因为S10=S11，所以a11=0,而a11=a1+10d=a1+10(-2)=0,所以a1=20.2.(2012临沂模拟)等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=12，则S13等于()(A)52(B)54(C)56(D)58【解析】选A.an为等差数列，a3+a7+a11=3a7=12，a7=4，S13=13a
16、7=134=52.3.(2011天津高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，nN*,若a3=16,S20=20,则S10的值为_.【解析】由题意知解得答案：1104.(2011重庆高考)在等差数列an中，a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_.【解析】a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，a2+a4+a6+a8=372=74.答案：745.(2012济南模拟)设同时满足条件：(nN*);bnM(nN*,M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列.(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4,S3=18,求Sn;(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,(2)由得故数列Sn适合条件.而(nN*),则当n=4或5时，Sn有最大值20,即Sn20,故数列Sn适合条件.综上,数列Sn是“特界”数列.
