1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算三年8考高考指数:1.了解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.1.平面向量基本定理前提：e1,e2是同一个平面内的两个_.条件：对于这一平面内的任一向量a,_实数1,2满足a=_.结论：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线向量有且只有一对1e1+2e2【即时应用】判断
2、下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)在ABC中，可以作为基底.()(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的.()(3)零向量不能作为基底.()【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确；(2)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)错误.答案：(1)(2)(3)2.平面向量的坐标表示(1)向量的夹角定义：如图，两个_a和b，作则向量a与b的夹角是_.范围：向量a与b的夹角的范围是_.当0时,a与b_.当180时,a与b_.当=90时,a与b_.非零向量或AOB0180同向反向垂直(2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个_的向量.(
3、3)平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此向量a的坐标是_，记作a=(x,y)，其中a在x轴上的坐标是_，a在y轴上的坐标是_互相垂直(x,y)xy(4)规定相等的向量坐标_，坐标_的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系相同相同【即时应用】(1)思考：在ABC中，向量与的夹角为ABC，是否正确？提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量与的夹角为-ABC.(2)已知
4、A(2，0)，a=(x+3，x-3y-5)，若a=，O为原点，则x=_,y=_.【解析】答案：-1 -23.平面向量坐标运算向量的加、减法实数与向量的积向量的坐标【即时应用】(1)已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则=_.(2)已知点A(-1，-5)和向量a=(2,3).若，则点B的坐标为_.(3)设则实数p、q的值分别为_、_.【解析】(1)(2)设B(x,y)，则=(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).(3)(3，-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),答案：(1)(，)(2)(5，4)(3)1 44.平面
5、向量共线的坐标表示设则ab_.x1y2-x2y1=0【即时应用】(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=_.(2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量a+b与向量c=(2,1)共线，则=_.【解析】(1)ab,(-1)2-3x=0,x=.(2)a+b=(1,1)+(-1,0)=(-1,),又(a+b)c,(-1)1-2=0,=-1.答案：(1)(2)-1平面向量基本定理及其应用【方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方
6、便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知试用c,d表示【解题指南】直接用c,d表示有难度，可换一个角度，由表示进而求【规范解答】方法一:设则将代入得 代入得方法二:设因为M，N分别为CD，BC的中点，所以因而即【反思感悟】1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同,表示也不同.2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.平面向量的坐标运算【方法点睛】两向量相等的充要条件两向量a=(x1,y1)，b=
7、(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等，即，利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于()(A)(7，3)(B)(7，7)(C)(1，7)(D)(1，3)(2)已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，求；若,求m,n.【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可.(2)利用为点B的坐标减去点A的坐标求解.利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).(2)=(5，4)-(2，3)=(3
8、，1).=(7，10)-(2，3)=(5，7)，=(7，10)-(5，4)=(2，6)，=m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)=(3，1)，【反思感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.平面向量共线的坐标表示【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量.(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若则ab的
9、充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.【提醒】1.注意0的方向是任意的.2.若a、b为非零向量，当ab时，a,b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.【例3】已知a=(1,0),b=(2,1),(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线.(2)若且A、B、C三点共线，求m的值.【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可.(2)可引入参数使求m，或利用 的坐标形式求m.【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b与a+2b共线，2(k-2)-(-1)5=0,即2k-
10、4+5=0,得k=.(2)方法一:A、B、C三点共线，即,解得m=.方法二：=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),A、B、C三点共线，8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,m=.【反思感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关键.2.若 ，则A、B、C三点共线，注意这一结论的应用.【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误【典例】(2011湖南高考)设向量a,b满足且a与b的方向相反，则a的坐标为_.【解题指南】设a=b(0),利用列出关于的方程求解即可.【规范解答】a与b方向相反，可设a=(2,1)=(2,).由解得=-2,或=2(舍)
11、，故a=(-4,-2).答案：(-4，-2)【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错:(1)误认为“a与b的方向相反 ab”致使设a=b出现增解(4，2)(2)知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解或无法解题.备考建议解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几点易错，在备考时要高度关注:(1)遗漏零向量，零向量与任一向量平行(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件1.(2012宿州模拟)设x,yR且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则x+y=()(A)-1(B)1(C)0(D)2【解析】选B.如图，设则x=
12、1-,y=,x+y=1.2.(2011上海高考)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)4【解析】选B.方法一：取特殊值，令A1(0,0),A2(0,1),A3(1,1),A4(1,0),则满足的条件的点有且仅有1个，即为正方形A1A2A3A4的中心，故选B.方法二：设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则=(xi-x,yi-y).由得 ，点M只能有一个，故选B.3.(2012济宁模拟)已知向量a=(3，x-1)，b=(1，2)，若ab，则实数x的值为()(A)5(B)6(C)7(D)8【解析】选C.a=(3，x-1)，b=(1，2)，且ab，x=7.4.(2011北京高考)已知向量若与c共线，则k=_.【解析】又 与c共线，c,-3k=0,解得k=1.答案：1
