1、第八章平面解析几何第一节直线的斜率与直线方程1.表示直线方向的两个量（1）直线的倾斜角定义：范围：0，）.（2）直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90,则其斜率k=_;计算公式：若由A（x1,y1）,B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴，则斜率k=_.tan 2.直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0,y0)_不含直线x=x0斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b_不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1)，(x2,y2)_不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)y-y0=k(x-x0)y=kx+b（x1x2,y1y2）名称已知条件方程适用范围截距式
2、直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b_不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_平面直角坐标系内的直线都适用（a0,b0）Ax+By+C=0（A，B不同时为0）判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()（3）直线倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系.()（4）过点P（1，1）的直线方程为y-1=k(x-1)，kR.()（5）过点（a,0）和（0，b）的直线方程为()（6）平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程.()【解析】（1）正确.直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的倾斜
3、程度，不能确定直线的位置.（2）错误.当倾斜角=90时，其斜率不存在.（3）错误.倾斜角是0的直线有无数条.（4）错误.当斜率k不存在时，直线方程为x=1.（5）错误.当ab=0时，直线方程为x=0或y=0.（6）错误.当直线与x轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式方程表示.答案：（1）(2)(3)(4)(5)(6)1.直线l经过原点和点（-1，-1），则它的倾斜角是()（A）45（B）135（C）135或225（D）0【解析】选A.斜率又0180,倾斜角为45.2.某直线l的方程为9x-4y=36，则l在y轴上的截距为()（A）9 （B）-9 （C）-4 （D）【解析】选B.l的方程9x-4y
4、=36化为斜截式为y=x-9，其截距为-9.3.过点M（-2,m），N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_.【解析】由斜率公式得：解得m=1.答案：14.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为则直线l的方程为_.【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：y-5=(x+2)，即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=05.经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为_.【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为即3x+2y+1=0.答案：3x+2y+1=06.过点M（3，-4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.【解析】当在两坐标轴上截距均为0时，
5、设方程为y=kx，又过M(3,-4)，有-4=3k,得直线的方程为当在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为由过点M（3，-4）得3+4=a,得a=7,方程为x-y-7=0.综上可知直线方程为或x-y-7=0.答案：或x-y-7=0考向 1直线的倾斜角与斜率【典例1】（1）（2013西安模拟）点A（2，0）在直线l：xcos+ysin+1=0(0)上，则直线l的倾斜角为()(A)30 (B)60 (C)120 (D)150（2）（2013宜春模拟）直线xcos y+2=0的倾斜角的范围是()（3）已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜
6、率k的取值范围为_.【思路点拨】(1)由已知先求出角的值，再求斜率，进而求倾斜角大小.（2）根据直线方程求出直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围.（3）先确定直线PA，PB的斜率，再数形结合求解，或先写出直线l的方程，再由点A，B在直线l的异侧（或A，B之一在直线l上）求解.【规范解答】（1）选A.因为点A（2，0）在直线l:xcos+ysin+1=0上，所以，有2cos+1=0，即又0,而直线l的斜率又直线的倾斜角的范围是0180，=30.（2）选B.由xcos+y+2=0得直线斜率设直线的倾斜角为,则结合正切函数在上的图像（如图所示）可知，（3）方法一：因为A(2,-3)，B
7、(-3,-2)，P(1,1)，所以如图所示：因此，直线l的斜率k的取值范围为k-4或方法二：依题设知，直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直线l与线段AB有交点，则A，B两点在直线l的异侧（或A，B之一在直线l上），故(2k+4-k)(-3k+3-k)0，即(k+4)(4k-3)0,解得：k-4或答案：k-4或【互动探究】本例题（3）变为：直线l：与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k的取值范围如何？【解析】直线l：过定点作出两直线如图所示，要使两者交点位于第一象限，从图中可以看出直线l的斜率的取值范围为【拓展提升】1.直线的斜率k与倾斜角之间的关系009
8、09090180k0k0不存在k02.斜率取值范围的两种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定.（2）构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率k满足的不等关系，构造不等式求解.3.求倾斜角范围的两个关键点（1）求：求出斜率k=tan 的取值范围.（2）看：借助正切函数图像数形结合得到倾斜角的取值范围.【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当2x3时,求的取值范围.【解析】由的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD上任一点P(x,y)连线的斜率,如图.线段的端点为C(2,4),D(3,2),的取值范围是考向
9、 2直线的方程【典例2】（1）若直线l：（a+1）x+y+2-a=0(aR)在两坐标轴上截距相等，则a的值为_.（2）已知直线l过点P（3,2）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.【思路点拨】（1）要分截距均为0，均不为0两种情况讨论.（2）先设出AB所在的直线方程，再求A，B两点的坐标或得到系数满足的关系，将ABO的面积用引入系数表示，最后利用相关的数学知识求出最值.【规范解答】（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，a=2；当直线不过原点时，由截距相等且均不为0，得即a+1=1，a=0.综上可知，a=0或a=2.答
10、案：0或2(2)方法一：由题可设直线l的方程为(a0,b0),则A（a,0）,B(0,b).l过点P（3,2）,且a3,b2.从而当且仅当即a=6时,(SABO)min=12,此时此时直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有A（0）,B(0,2-3k),当且仅当即时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.方法三：由题可设直线方程为(a0,b0),代入P（3,2）,得得ab24,从而SABO=ab12,当且仅当时,等号成立,SABO取最小值12，此时此时直线l的方程为2x+3y
11、-12=0.【互动探究】在本例题（2）的条件下，求l在两坐标轴上的截距之和最小时直线l的方程.【解析】设l的斜率为k(k0)，则l的方程为y=k(x-3)+2,令x=0得B(0,2-3k),令y=0得A(0),l在两坐标轴上的截距之和为(当且仅当时，等号成立)，时，l在两坐标轴上截距之和最小，此时l的方程为【拓展提升】1.利用待定系数法求直线方程的三个步骤【提醒】选方程时一定要注意方程的适用条件.2.直线方程综合问题的两大类型及解法（1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决.（2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程
12、、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式备选】ABC的三个顶点为A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：（1）BC所在直线的方程.（2）BC边上中线AD所在直线的方程.（3）BC边的垂直平分线DE的方程.【解析】（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（-2，3）两点，由两点式得BC所在直线的方程：即x+2y-4=0.（2）设BC中点D的坐标为（x,y），则BC边的中线AD过A（-3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线方程为即2x-3y+6=0.（3）直线BC的斜率则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由点斜式得直线DE的
13、方程为2x-y+2=0.【易错误区】直线的倾斜角与斜率关系不清致误【典例】（2013合肥模拟）已知直线2xsin+2y-5=0，则该直线的倾斜角的变化范围是_.【误区警示】解答本题容易出现的错误：认为直线斜率k=tan 在0，）上是单调函数，从而根据k=-sin-1，1，得到倾斜角的错误结论.【规范解答】由题意，得直线2xsin+2y-5=0的斜率为k=-sin.又-1sin 1，所以-1k1.当-1k0时，倾斜角的变化范围是）；当0k1时，倾斜角的变化范围是.故直线的倾斜角的变化范围是）.答案：）【思考点评】1.根据直线斜率k的取值范围求其倾斜角取值范围的注意点当根据直线斜率k的取值范围求直
14、线倾斜角的取值范围时，一定要注意正确利用正切函数的图像.正切函数k=tan 在0，）上并不是单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是.2.根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围的注意点当根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围时，除了注意正切函数在0，）上并不是单调函数外，还要特别注意，当直线的倾斜角为时，直线斜率是不存在的.1.（2013铜陵模拟）倾斜角为120，在x轴上的截距为-1的直线方程是()【解析】选D.由于倾斜角为120，故斜率又直线过点（-1，0）,所以方程为即2.(2013咸阳模拟)经过两点A（4，2y+1）,B(2,-3)的直线的倾斜角为则y=()
15、（A）-1 （B）-3 （C）0 （D）2【解析】选B.由得y+2=tan =-1，y=-3.3.（2013安庆模拟）设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足()(A)a+b=1 (B)a-b=1(C)a+b=0 (D)a-b=0【解析】选D.由已知得即，又sin+cos=0，所以sin=-cos，由得，即a=b,a-b=0.4.（2013南昌模拟）设直线l的方程为x+ycos+3=0(R),则直线l的倾斜角的范围是()【解析】选C.当cos=0时，方程变为x+3=0，其倾斜角为当cos 0时，由直线方程可得斜率cos-1，1且cos 0,k(-,-11,+)，t
16、an(-,-11,+).又0,),综上知，倾斜角的范围是5.（2013汉中模拟）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A，B两点，求使|PA|PB|最小时l的方程.【解析】设直线的方程为(a2,b1)，则A(a,0),B(0,b).又P（2,1），又当且仅当即a=b=3时，取得最小值.此时直线l的方程为x+y-3=0.1.在平面直角坐标系中，矩形OABC，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形折叠，使O点落在线段BC上，则折痕所在直线斜率的范围为()(A)0，1(B)0，2(C)-1，0(D)-2，0【解析】选D.O点落在线段BC上，O点与BC上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，而kOC的斜率不存在，k的取值范围为-2，0，故选D.2.如图所示，点A，B在函数的图像上，则直线AB的方程为_.【解析】如题干图所示，当时，由正切函数图像和性质得，得x=2,故A点坐标为(2,0).同理得B点坐标为(3,1)，直线AB的方程为y=x-2，即x-y-2=0.答案：x-y-2=0
