1、第四节数列的求和1.公式法（1）使用已知求和公式求和的方法.（2）数列求和常用公式：等差数列前n项和公式Sn=_=_等比数列前n项和公式前n个正整数之和1+2+n=_前n个正奇数之和1+3+5+(2n-1)=_前n个正整数平方和na1n22.裂项相消求和法把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.3错位相减求和法（1）适用的数列：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.（2）方法：设Sn=a1b1+a2b2+anbn,则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1，-得：(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-a
2、nbn+1，就转化为根据公式可求的和.4其他求和方法名称含义简单示例分解法分解为基本数列求和an=2n+(2n-1)分组法分为若干组整体求和an=(-1)nn,求S2n倒序相加法把求和式倒序后两和式相加函数f(x)图像关于点(1,1)对称，求f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）如果数列an为等比数列，则其前n项和()（2）当n2时，()（3）求Sn=a+2a2+3a3+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()（4）如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm=mSk.()（5）
3、如果数列an是公差d0的等差数列，则()【解析】（1）错误.当q=1时，Sn=na1.（2）正确.直接验证或倒推可知正确.（3）错误.需要分a=0,a=1，以及a0且a1三种情况求和.（4）正确.根据周期性可得.（5）正确.直接验证或倒推可得.答案：（1）（2）（3）（4）（5）1等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=()(A)7 (B)8 (C)15 (D)16【解析】选C.4a1，2a2，a3成等差数列，4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q,q2-4q+4=0,q=2,S4=15.2sin21+sin22+sin23+sin288
4、+sin289=()(A)44.5 (B)45 (C)(D)89【解析】选A.设S=sin21+sin22+sin23+sin288+sin289,则S=sin289+sin288+sin287+sin22+sin21,即S=cos21+cos22+cos23+cos288+cos289,与第一个式子相加，得2S=89，所以S=44.5.3数列an的通项公式an=2n-(-1)n，设此数列的前n项和为Sn，则S10S21S100的值是()(A)9 746 (B)4 873 (C)9 736 (D)9 748【解析】选A.当n为奇数时，an=2(n+1)；当n为偶数时，an=2(n-1)，故有故
5、S10S21S100=9 746.4一个数列an，当n是奇数时，an=5n+1；当n为偶数时，则这个数列的前2m项的和是_【解析】所有奇数项的和所有偶数项的和两部分相加即得.答案：2m+1+5m2+m-2考向 1 公式求和法【典例1】解答下列各题：（1）已知数列an的前n项和Sn=32n-n2，求数列|an|的前n项和Tn.（2）已知数列an的通项公式是an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3，求其前n项和Sn.【思路点拨】（1）根据数列an的前n项和可得数列an的通项公式，根据求出的通项公式把数列|an|分段求解.（2）由于存在(-1)n，按照n为奇数和偶数分
6、别求解.【规范解答】（1）当n=1时，a1=S1=31，当n2时，an=Sn-Sn-1=33-2n，an=33-2n（nN+），即数列an是公差为-2，首项为31的等差数列，令an=33-2n0，则n16，故当0n16时，Tn=Sn=32n-n2；而当n17时，Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16，即Tn=-32n+n2+2(3216-162)=n2-32n+512，（2）Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+（-1）n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+（-1）nnln 3,所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列（1）等差
7、数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解.（2）奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式.（3）等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.【变式训练】解答下列各题：（1）在等差数列an中，a1=-60，a17=-12,求其前30项的绝对值之和.（2）已知数列an为等比数列，a2=6,a5=162设Sn是数列an的前n项和，求Sn【解析】（1）设等差数列的前n项和为Sn，前n项的绝对值之和为Sn，由-60+16d=-12得d=3，an=-60+3(n-1)=3n-6
8、3，由此可知当n20时，an0,a1）【提醒】裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项，不要漏写或写错.【变式训练】等差数列an的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，bn为等比数列,b1=1，且S2b2=64,S3b3=960(1)求an与bn.(2)求和：【解析】（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an=3+(n-1)d，bn=qn-1.依题意有解得或(舍去)故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+（2n+1)=n(n+2),考向 3 错位相减求和法【典例3】（1）数列n4n-1的前n项和Sn=_.(2)（2013安庆模拟）设数列an的前n项和
9、为Sn，且2an=Sn+2n+1(nN+).求a1,a2,a3;求证：数列an+2是等比数列;求数列nan的前n项和Tn.【思路点拨】（1）写出和式Sn后，把该式等号两边同时乘以4后两式相减.（2）利用an与Sn的关系求解;证明常数;根据an+2为等比数列，求出an，根据nan的特征，利用错位相减法求解.【规范解答】（1）设an=n4n-1,Sn=a1+a2+an=1+241+342+n4n-1，4Sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n，两式相减得-3Sn=1+41+42+43+4n-1-n4n答案：（2）由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3.当n=2时，得2a
10、2=(a1+a2)+5,解得a2=8.当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7，解得a3=18.所以a1=3,a2=8,a3=18.因为2an=Sn+2n+1,所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立,两式相减得：2an+1-2an=an+1+2.所以an+1=2an+2(nN+)，即an+1+2=2(an+2).所以数列an+2是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列.由得:an+2=52n-1，即an=52n-1-2(nN+).则nan=5n2n-1-2n(nN+).设数列5n2n-1的前n项和为Pn,则Pn=5120+5221+5322+5(n-1)2n-2+5n2n-1,所以2
11、Pn=5121+5222+5323+5(n-1)2n-1+5n2n,所以-Pn=5(1+21+22+2n-1)-5n2n,即Pn=(5n-5)2n+5(nN+).所以数列nan的前n项和整理得，【互动探究】把题（1）中“数列n4n-1”改为“数列”，求其前n项和Sn.【解析】由题得则两式错位相减得【拓展提升】错位相减法求和的关注点（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.【变式备选】a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列an是递增的等差数列，数列b
12、n的前n项和为Sn，且(1)求数列an，bn的通项公式.(2)记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【解析】(1)解x2-12x+27=0得x1=3,x2=9，因为an是递增的，所以a2=3，a5=9，解得所以an=2n-1.在中，令n=1得当n2时，两式相减得所以bn是等比数列，两式相减得：所以【满分指导】解答数列求和问题【典例】（12分）（2012江西高考）已知数列an的前n项和（其中kN+）,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an.（2）求数列的前n项和Tn.【思路点拨】已知条件条件分析数列an前n项和的最大值根据Sn最大值为8可得k值数列an前n项和的表达式根据前n项和与通项
13、的关系可得数列an的通项公式数列的通项公式错位相减法求和【规范解答】（1）当n=k，kN+时，取最大值，即 2分故k2=16，因此k=4,3分从而又适合，5分所以 6分（2）设7分8分所以12分【失分警示】（下文见规范解答过程）1.（2013安庆模拟）已知数列an的通项公式是an=(-1)n（n+1），则a1+a2+a3+a10=()(A)-55 (B)-5 (C)5 (D)55【解析】选C.由an=(-1)n(n+1),得a1+a2+a3+a10=-2+3-4+5-6+-10+11=51=5.2.（2013西安模拟）等差数列an的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和
14、为()(A)70 (B)75 (C)100 (D)120【解析】选B.因为等差数列an的通项公式为an=2n+1，所以Sn=n2+2n,所以3+4+5+1275.3.（2012大纲版全国卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1，所以an=1+(n-1)=n，所以又4.（2012江西高考）已知数列an的前n项和Sn=kcn-k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3.（1）求an.（2）求数列nan的前n项和Tn.【解析】(1)当n1时，an=Sn-Sn-1=k(c
15、n-cn-1），则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)，即k(c2-c1)=4，解得k=2，an=2n（n1），当n=1时，a1=S1=2，综上所述an=2n(nN+）.(2)nan=n2n，则Tn=2+222+323+n2n2Tn=122+223+324+（n-1)2n+n2n+1-得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1，Tn=2+(n-1)2n+1.1.若数列an满足(nN+，d为常数），则称数列an为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是()(A)10 (B)100 (C)200 (D)400【解析】选B.由已知得bn为等差数列，且b4+b6=20,又bn0,所以当且仅当b4=b6时等号成立.2.已知数列an满足a1=1,a2=2,则该数列的前20项的和为_.【解析】当n为奇数时，an+2=an+1，故奇数项组成了首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于当n为偶数时，an+2=2an，故偶数项组成了首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为所以，数列an的前20项之和为55+2 046=2 101答案：2 101
