1、定远育才学校2021-2022学年度第一学期开学摸底考试高三理科数学一、单选题（本大题共12小题，共60分）1若复数z满足，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数（ ）A B C4 D52已知集合，集合若，则实数m的取值范围是（ ）A B C D3设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）A B C D4已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）A11 B9 C7 D15为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生
2、均参与网络评分某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示：评委序号评分108989109记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是（ ）A B C D与关系不确定6已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为（ ）A B C D7在棱长为2的正方体中，点M是对角线上的点点M与A、不重合，则下列结论正确的个数为（ ）存在点M，使得平面平面；存在点M，使得平面；若的面积为S，则；若、分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得A1个 B2个 C3个 D4个8已知，是双曲线的左，右焦点，过点
3、且倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B若，则双曲线C的离心率为（ ）A B C2 D9函数的图象大致为（ ）A B C D10已知函数是定义在R上的奇函数，当时，函数单调递增，则（ ）A BC D11已知数列的前n项和，则数列的前10项和等于（ ）A1023 B55 C45 D35122020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平
4、面的高度差约为（ ）A346 B373 C446 D473二、单空题（本大题共4小题，共20分）13将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为_14若，则_15学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_16抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边
5、三角形，则_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前n项和为（）求q的值；（）求数列的通项公式18（12分）某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差（参考公式：）（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米其中1号教学楼在2号教学楼的
6、正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35，55，105米，每个售价相应依次为1500，2000，4000元若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费（参考数据：，）19（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点在x轴上方，连结并延长交椭圆于另一点Q，设（1）若点P的坐标为，且的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若垂直于x轴，且椭圆C的离心率，求实数的取值范围20（12分）如图所示，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，O，M
7、分别为，的中点（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积21（12分）已知函数（1）判断并证明在的单调性；（2）已知a为正实数，且对于任意，都有恒成立，求正实数a的取值范围22（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物例如浮萍、蒲草、芦苇等，对国家级湿地公园-东昌湖进行进一步净化和绿化为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为，四月底浮萍覆盖面积为，八月底浮萍覆盖面积为若浮萍覆盖面积（单位：）与月份（2020年1月底记，2021年1
8、月底记）的关系有两个函数模型与可供选择（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到？（可能用到的数据）答案1D 2B 3D 4B 5C 6C 7C 8A 9A 10A 11C 12B13 14 15118.8 16617解：（1）等比数列的公比，且，是，的等差中项，可得，解得，由，可得或（舍去），则q的值为2；（2）由及可得，解得，故，设，可得时，时，可得，上式对也成立，则，即有，可得，相减可得，化简可得18解：（1）因为，所以中位数x满足，由，解得，设平均分为y，则由题意，剩余8个分数的平均值
9、为，因为10个分数的标准差，所以，所以剩余8个分数的标准差为（3）将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为：，因此若用一个覆盖半径为105米的屏蔽仪则总费用为4100元；将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为，因此若用3个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为4800元；将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为：，又因为，因此若用1个覆盖半径为55米和1个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为3700元；所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3700元19解：（1），为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，从而的周长为由题意，得，解得P的坐标为，解得椭圆C的方程为（2）轴，且P在x轴上方
10、，故设，设在椭圆上，解得，即，由，得，解得，点Q在椭圆上，即，从而，即的取值范围为20证明：（1），O为的中点，又平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，平面平面；解：（2）等腰直角三角形中，等边三角形的边长为2，又平面，三棱锥的体积21解：（1）在上单调递减，证明如下：函数，定义域为，则，因为，则，所以单调递减，故在上单调递减；（2）因为对于任意恒成立，即对于任意恒成立，当时，则有对于任意恒成立，即，令，则在上单调递增，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，即，故对于任意恒成立，令，则，令，则，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，所以，由洛必塔法则可得，当时，所以，又，故正实数a的取值范围为23解：（1）若选择数据和，由，解得，则，当时，与实际情况相符，由，解得，则，当时，与实际情况差别比较大，故选函数模型；（2）因为，而，所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到
