1、4.2简单线性规划课后篇巩固探究A组1.(2017北京高考)若x,y满足x3,x+y2,yx,则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析:由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+23=9.故选D.答案:D2.(2017山东高考)已知x,y满足约束条件x-2y+50,x+30,y2,则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.3解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-12x+12z,作直线l0:y=-12x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易
2、求点A的坐标为(-1,2),所以zmax=-1+22=3.答案:D3.已知在平面直角坐标系xOy内的区域D由不等式组0x2,y2,x2y给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(2,1),则z=OMOA的最大值为()A.42B.32C.4D.3解析:画出可行域,而z=OMOA=2x+y,所以y=-2x+z.令l0:y=-2x,将l0平移到过点(2,2)时,截距z有最大值,故zmax=22+2=4.答案:C4.已知x,y满足x+y4,2x+y3,0x3,y1则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()A.2B.22C.22D.522解析:不等式组x+y4,2x+y3,0x3,y1
3、所表示的可行域如图阴影部分.其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为2+22=22.故选B.答案:B5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.解析:由y=|x-1|=x-1,x1,-x+1,x0,x+m0表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.则m的取值范围是()A.-,43B.-,13C.-,-23D.-,-53解析:由线性约束条件可画出如图所示的可行域,要使可行域内存在点P(x0,y0),使x0-2y0=2成立,只需点A(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方即可,即-m-2m-20,解得mkBD,因为kBD=1,所
4、以a1,即a的取值范围是(1,+).答案:D6.导学号33194073设实数x,y满足x-y-20,x+2y-50,y-20,则z=yx+xy的取值范围是.解析:令k=yx,则y=kx.因为x0,所以k存在,直线y=kx恒过原点,而在可行域x-y-20,x+2y-50,y-20中,当直线过边界点(1,2)时,斜率有最大值,k=2;当直线过边界点(3,1)时,斜率有最小值,k=13,所以斜率k的取值范围是13,2,又z=yx+xy=k+1k,利用函数单调性的定义可知k13,1时,z=k+1k为减函数;k1,2时,z=k+1k为增函数,可得z的取值范围为2,103.答案:2,1037.若x,y满足
5、约束条件x+y1,-x+y1,2x-y2,(1)求目标函数z=12x-y+12的最值;(2)求点P(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.解(1)根据约束条件,作出可行域如图,则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直线12x-y+12=0,由图像可知过点A时,z取得最小值,zmin=123-4+12=-2,过点C时,z取得最大值,zmax=12+12=1.故z的最大值为1,最小值为-2.(2)由图像可知,所求的最大值即是点A到直线x+y+2=0的距离,则d=|3+4+2|1+1=922.8.导学号33194074在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点M的横、纵坐标分别为茎叶图中的中位数和众数,若点N(x,y)的坐标满足x2+y24,2x-y0,y0,求OMON的最大值.解由茎叶图可得中位数为23,众数为23,所以点M为(23,23),所以OMON=23x+23y.设z=23x+23y,作出不等式组对应的平面区域如图.作一平行于z=23x+23y的直线,当直线和圆相切时,z=23x+23y取得最大值.由圆心到直线的距离d=|z|232+232=|z|232=2,解得|z|=462.所以z=462或z=-462(舍去),故OMON的最大值是462.
