1、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页）绝密启用前试卷类型：（A）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准一、选择题1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D7.B 8.A 9.B 10.C 11.D 12.B二、填空题：13.14 14.32 15.19 16.38 r3.17（本小题满分 12 分）已知数列na的首项123a=，112nnnnaaaa+=*(0,)nanN（1）证明：数列 11na 是等比数列；（2）数列nna的前n 项和nS 解：（1）112nnnnaaaa+=*(0,)nanN
2、，111111222nnnnaaaa+=+，11111(1)2nnaa+=，4 分又123a=，11112a =，数列 11na 是以 12首项，12为公比的等比数列6 分（2）由（1）知1111112 22nnna=，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页）即 1112nna=+，2nnnnna=+9 分设23123222nT=+2nn+，则23112222nT=+1122nnnn+，由 得 2111222nT=+11111(1)1122112222212nnnnnnnnn+=，11222nnnnT=又123+(1)2n nn+=数列nna的
3、前n 项和 2(1)222nnnn nS+=+12 分18（本小题满分 12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品现以 x（单位：吨，100150 x）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润（1）将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于 57
4、 万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）需求量(x/t)00.0250.0200.0150.0101501401301201101000.0302020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 3 页（共10页）解:（1）当)130,100 x时，398.0)130(3.05.0=xxxT；1 分当150,130 x时，651305.0=T，2 分所以，=.150130,65,130100,398.0 xxxT3 分（2）根据频率分布直方图及（1）知，当100,130)x时，由0.83957Tx
5、=，得120130 x，4 分当130,150 x时，由6557T=，5 分所以，利润T 不少于57 万元当且仅当150120 x，于是由频率分布直方图可知市场需求量150,120 x的频率为(0.0300.0250.015)100.7+=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为0.7，7 分（3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.25 145 0.15126.5x=+=（吨）9 分由频率分布直方图易知，由于 x100,120)时，对应的频率为(0.01 0.02)100.30.5+=，而100,1
6、30)x时，对应的频率为10 分(0.01 0.020.3)100.60.5+=，因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间120,130)，于是估计中位数应为120(0.5 0.1 0.2)0.03 126.7+（吨）12 分19(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 SABCD中，SA 平面 ABCD，90ABCBAD=，1ABADSA=，2BC=，M 为 SB 的中点 （1）求证：/AM平面 SCD；（2）求点 B 到平面 SCD 的距离 ADBCMS2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 4 页（共10页）证明：（1）取 SC 的中点 N，连
7、结 MN 和 DN，M 为 SB 的中点，/MNBC 且12MNBC=，2 分90ABCBAD=，1AD=，2BC=，/ADBC 且12ADBC=，4 分/ADMN 且 ADMN=，四边形 AMND 为平行四边形，/AMDN，5 分 AM 平面 SCD，DN 平面 SCD，/AM平面 SCD 6 分（2）1ABSA=，M 为 SB 的中点，AMSB，8 分 SA 平面 ABCD，SABC，90ABCBAD=，BCAB，BC 平面 SAB，BCAM，AM 平面 SBC，由（1）可知/AMDN，DN 平面 SBC，DN 平面 SCD，平面 SCD 平面 SBC，10 分作 BESC交 SC 于 E
8、，则BE 平面 SCD，在直角三角形 SBC 中，有1122SB BCSC BE=，2 22 336SB BCBESC=，即点 B 到平面 SCD 距离为 2 33.12 分（三棱锥体积法参照给分）20(本小题满分 12 分)ADBCMSNE2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 5 页（共10页）已知椭圆22:14xCy+=，1F、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点.（1）求12F MF的最大值,并证明你的结论；（2）若 A、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为k，且11(,)23k ，求直线 BM 的斜率的取值范围.解
9、：（1）由椭圆的定义可知12|4MFMF+=，在12F MF中，由余弦定理，可得22212121212|cos2|MFMFF FF MFMFMF+=2212121212|)|2|2|MFMFF FMFMFMFMF+=(1212122|21|MFMFMFMFMFMF=2122112|2MFMF=+，4 分120F MF，12F MF的最大值为 23，此时12|MFMF=，即点 M 为椭圆C 的上顶点时，12F MF取最大值，其最大值为 23.5 分根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为 23.6 分（2）设直线 BM 的斜率为k，00(,)M xy，则0
10、02ykx=+，002ykx=，20204yk kx=，9 分又220014xy+=，220044xy=，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 6 页（共10页）14k k=，11(,)23k ，1324k，故直线 BM 的斜率的取值范围为 1 3(,)2 4.12 分21(本小题满分 12 分)已知函数()(1)exaf xx=+（e 为自然对数的底数），其中0a （1）在区间(,2a 上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 （2）若 函 数()f x的 两 个 两 个 极 值 点1212,)x x xx（，证 明：2121
11、ln()ln()212f xf xxxa+.解：（1）由条件可函数()f x 在(,0)上有意义，22()exxaxafxx+=，令()0fx=，得2142aaax+=，2242aaax+=，因为0a，所以10 x，20 x.所以当1(,)xx 时，()0fx，当1(,0)xx上()0fx，所以()f x 在1(,)x上是增函数，在1(,0)x是减函数.3 分 由()(1)eexxaxaf xxx+=+=可知，当 xa=时，()0f x=，当 xa 时，()0f x，当0ax 时，()0f x，因为22144022aaaaaaaxa+=，所以10 xa ，2020 年深圳市普通高中高三年级第二
12、次线上统一测试（文数）参考答案第 7 页（共10页）又函数在1(,0)x上是减函数，且102axa ，所以函数在区间(,2a 上的有最小值，其最小值为2()e2aaf=.6 分（2）由（1）可知，当0a 时函数()f x 存在两个极值点1x，2x，且1x，2x 是方程20 xaxa+=的两根，所以1212xxx xa+=，且121xx，11121()(1)e(1)exxaf xxx=+=，221()(1)exf xx=，所以22112ln()ln(1)eln(1)xf xxxx=+，11221ln()ln(1)eln(1)xf xxxx=+，所以21122112212112ln()ln()ln
13、(1)ln(1)ln(1)ln(1)=+11(1)f xf xxxxxxxxxxxxx+=（)-，又21122221112()2(1)(1)axxxx+=+=+，9 分 由（1）可知12110 xx，设11mx=，21nx=，则0mn，故要证2121ln()ln()212f xf xxxa+成立，只要证 lnln2mnmnmn+成立，下面证明不等式 lnln2mnmnmn+成立，构造函数2(1)()ln,(1)1th tttt=+则22(1)()0(1)th tt t=+，所以()h t 在(1,)t+上单调递增，()(1)0h th=，即2(1)ln1ttt+成立，令mtn=，即得不等式 l
14、nln2mnmnmn+，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 8 页（共10页）从而2121ln()ln()212f xf xxxa+成立.12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l：cossinxtyt=，（t 为参数，02），曲线1C：2cos4+2sinxy=，（为参数），1l 与1C 相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点 A的极坐标；（2）已知直线 2l：=6 R()与圆2C：24 3 cos20+=交于 B，C 两点，记 A
15、OB 的面积为1S，2COC 的面积为2S，求1221SSSS+的值.解：（1）（法一）由题意可知，1C 的直角坐标方程为22(4)4xy+=，将cossinxy=，代入得1C 的极坐标方程为28 sin120+=，2 分又 1l 的参数方程为cossinxtyt=，（t 为参数，02），得 1l 的极坐标方程为=R（），3 分将=代入得28 sin120+=，则2(8sin)4 120=，又02，解得=3，此时=2 3，所以点 A的极坐标为2 3 3（，），5 分（法二）由题意可知，1C 的直角坐标方程为22(4)4xy+=，将cossinxy=，代入，得1C 的极坐标方程为28 sin12
16、0+=，2 分因为 1l 与1C 相切于点 A，所以在 Rt 1OC A 中，有2211|2 3OAOCC A=，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 9 页（共10页）111|1sin|2C AAOCOC=，所以16AOC=，4 分由极坐标的几何意义，可得 A2 3 3（，）.5 分（2）由2C 的极坐标方程为24 3 cos20+=，可得2C 的直角坐标方程为22(2 3)5xy+=，所以圆心2(2 3,0)C，6 分设1(,)3B，2(,)3C 将=6代入24 3 cos20+=，得2620+=，所以126+=，122 =，7 分又因为11113=.si
17、n()2362AS=，222213=|.sin262SOC=8 分所以2212121212212112()2622162SSSS +=+=.10 分23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知()2f xxa=.（1）当1a=时，解不等式()21f xx+；（2）若存在实数(1,)a+，使得关于 x 的不等式2()+1f xxma 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当1a=时，即解不等式221xx+，（法一）当2x 时，原不等式等价于2 21xx+，所以3x ，所以不等式()21f xx+的解集为空集，2 分当2x 时，原不等式等价于221xx+，解得13x，4 分综上所述
18、，不等式()21f xx+的解集为1(,)3.5 分（法二）当12x 时，不等式221xx+显然成立；2 分当12x 时，原不等式等价于22(2)21xx+()，2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 10 页（共10页）即23830 xx+，解得1123x，4 分综上所述，不等式()21f xx+的解集为1(,)3.5 分（2）因为222()+2+2111f xxxaxaaaa=+，显然等号可取。6 分又(1,)a+，故原问题等价于关于 a 的不等式221ama+在(1,)+上有解，8 分又因为2222=2(1)22 2(1)26111aaaaaa+=，当且仅当2a=时取等号，所以m6，即(6,)m+.10 分
