1、3.1导数的概念3.1.1平均变化率1.理解并会求具体函数的平均变化率.(重点)2.会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义.(难点)基础初探教材整理平均变化率阅读教材P67P68例1以上部分，完成下列问题.平均变化率1.定义：一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2.实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.3.意义：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢.1.判断正误：(1)f(x)x2，f(x)在1,1上的平均变化率为0.()(2)f(x)x2在1,0上的平均变化率小于其在0,1上的平均变化率，所以f(x)在1,0上不如在0,1上变化的快.()(3)平均变化率不能反映函数
2、值变化的快慢.()【解析】(1).f(x)在1,1上的平均变化率为0.(2).f(x)x2在1,0和0,1上的变化快慢是相同的.(3).平均变化率能反映函数值变化的快慢.【答案】(1)(2)(3)2.f(x)在1,2上的平均变化率为_.【解析】函数f(x)在1,2上的平均变化率为.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型变化率的概念及意义的应用2012年冬至2013年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图311所示，据图回答：图311(1)2012年11月到2
3、012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？(3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？【精彩点拨】(1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析.【自主解答】(1)由图形可知，在2012年11月2012年12月期间，小麦受旱面积变化不大.(2)由图形可知，在2013.12013.2间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快.(3)从2012.112013.2，小麦受旱面积平均变化率为，从2013.12013.2，小麦受旱面积平均变化率为yByC，显然yByC，所以，从2013.
4、12013.2期间小麦受旱面积平均变化率大.1.若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢.2.利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义.再练一题1.物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为ss(t).在运动的过程中测得了一些数据，如下表.t/s025101315s/m069203244物体在02 s和1013 s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？【解】应该用物体运动的平均速度刻画物体运动的快慢.在02 s这段时间内，物体的平均速度为：
5、3(m/s)；在1013 s这段时间内，物体的平均速度为：4(m/s).显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.求函数的平均变化率已知函数f(x)，(1)求f(x)在x0到x0x之间的平均变化率.(x00)；(2)求f(x)在2到2.1之间的平均变化率.【导学号：24830062】【精彩点拨】(1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x00”的条件.在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论.因此，本例只需直接套用公式就可以了；(2)利用(1)的结论计算.【自主解答】(1)f(x)在x0到x0x之间的平均变化率为.(2)把x02，x2.120.1代入(1)中得到的结论可
6、得：0.232.1.求平均变化率的步骤：(1)先求x2x1，再计算f(x2)f(x1)；(2)由定义得出.2.注意事项：计算时要对f(x2)f(x1)进行合理的变形，以便化简.再练一题2.求函数yx22x1在x2附近的平均变化率.【解】设自变量x在x2附近的变化量为x，则平均变化率为x2.探究共研型平均变化率的应用探究1平均变化率的定义式为，它刻画了函数f(x)在区间x1，x2内变化的快慢，表示的是函数f(x)在哪个区间上的平均变化率？【提示】 x0x，x0x探究2平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？【提示】不能说明.理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量x取值越小，越
7、能准确地体现函数的变化情况.在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化.如函数f(x)x2在2,2上的平均变化率为0，但f(x)的图象在2,2上先减后增.探究3平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？【提示】平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率.平均变化率的物理意义是变速运动的物体ss(t)在某一时间段内的平均速度.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能.【精彩点拨】计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能.【自主解答】甲车
8、速度的平均变化率为5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为4.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.再练一题3.人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1t
9、2这段时间内的平均变化率. 【导学号：24830063】【解】(1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为：4.05(m/s)；(2)在1t2这段时间内，高度h的平均变化率为8.2(m/s).构建体系1.函数yx2axb，当自变量由0变化到1时，函数值的变化量为_.【解析】函数值的变化量为f(01)f(0)(01)2a(01)b02a0b1a.【答案】1a2.在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及邻的一点(1.1,2.21)，则该曲线在1,1.1上的平均变化率为_.【解析】2.1【答案】2.13.如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2,2.1中相应的平均速度是_(m/s).【
10、解析】4.1(m/s).【答案】4.14.函数ysin x在上的平均变化率是_.【解析】函数在上的平均变化率是.【答案】5.物体的运动方程是s(s的单位：m；t的单位：s)，求物体在t1 s到t(1t)s这段时间内的平均速度.【解】物体在这段时间内的平均速度为，故物体在t1 s到t(1t)s这段时间内的平均速度为m/s.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十三)平均变化率(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.在函数变化率的定义中，关于自变量的增量x的说法：x0；x0；x0；x0.其中正确的是 _(填序号).【导学号：24830064】【解析】由
11、平均变化定义知x0.【答案】2.函数f(x)在x1到x2之间的平均变化率为_.【解析】.【答案】3.(2016徐州高二检测)函数y3x26在区间1,1x内的平均变化率是_.【解析】函数在1,1x内的平均变化率是63x.【答案】63x4.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均
12、变化率为_.【解析】0.002.【答案】0.0025.质点运动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度等于_.【解析】由平均速度表示式，函数平均变化率：6t.【答案】6t6.函数f(x)x3在区间(1,3)上的平均变化率为_.【解析】函数f(x)在(1,3)上的平均变化率为7.【答案】77.一棵树2015年1月1日高度为4.5 m,2016年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2015年高度的月平均变化率为_.【解析】0.04.【答案】0.048.设自变量x的增量为x，则函数ylog2x的增量为_. 【解析】函数ylog2x的增量为log2(xx)log2xlog2log2.【答案
13、】log2二、解答题9.过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率.【解】割线PQ的斜率k(x)23x3.设当x0.1的割线的斜率为k1，则k1(0.1)230.133.31.10.求函数yx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x的值为，哪一点附近平均变化率最大？【解】在x1附近的平均变化率为k12x；在x2时附近的平均变化率为k24x；在x3时附近的平均变化率为k36x；若x，则k12，k24，k36.由于k1k2k3；在x3附近的平均变化率最大.能力提升1.已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为3
14、0 km/h, B车向东行驶，速度为40 km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为_. 【导学号：24830065】【解析】设经过t h两车间的距离为s km，则s50t(km)，增加的速度为50(km/h).【答案】50 km/h2.函数yx2在x0到x0x(x0)之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是_. 【解析】k12x0x，k22x0x，又x0，k1k2.【答案】k1k23.在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度与起跳时间t的函数关系为h(t)cbtat2(a0，b0)，下列说法： ； ；0；运动员在0t这段时间内处于静止状态.其中
15、正确的是_.【解析】利用变化率的几何意义解决h(t)cbtat2(a0，b0)的对称轴为t，故hh(0)，则0.【答案】4.试比较正弦函数ysin x在x0和x附近的平均变化率哪一个大？【解】当自变量从0到x时，函数的平均变化率为k1；当自变量从变到x时，函数的平均变化率为k2.由于是在x0和x的附近的平均变化率，可知x较小，但x既可以为正，又可以为负.当x0时，k10，k20，此时有k1k2；当x0时，k1k2，x0，x，sin，从而有sin1，sin10，k1k20，即k1k2.综上可知，正弦函数ysin x在x0附近的平均变化率大于在x附近的平均变化率.3.1.2瞬时变化率导数1.理解导
16、数的概念和定义及导数的几何意义.(重点)2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度).(难点)基础初探教材整理1曲线上一点处的切线阅读教材P70P71例1以上部分，完成下列问题.曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线.函数f(x)x2在点(1,1)处切线的斜率是_.【解析】k2x，当x0时，k2，故所求的切线的斜率是2.【答案】2教材整理2瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P73P74例2
17、以上部分，完成下列问题.1.瞬时速度运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)s(t).2.瞬时加速度运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)v(t).一辆汽车运动的速度为v(t)t22，则汽车在t3秒时加速度为_. 【导学号：24830066】【解析】6t，当t0时，6，故汽车的加速度为6.【答案】6教材整理3导数阅读教材P75例3以上部分和P76练习以上部分，完成下列问题.1.导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0).
18、2.导函数若函数yf(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x).3.函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率.判断正误：(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关.()(2)在导数的定义中，x，y都不可能为零.()(3)在导数的定义中，0.()【解析】(1).x是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在xx0处的导数与它的正负无关.(2).y可以为0，如常数函数.(3).也可能是负数或0.【答案】(1)(2)(
19、3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求瞬时速度与瞬时加速度(1)一辆汽车按规律s2t23做直线运动，求这辆车在t2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m).(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s时的速度为v(t)t21，求汽车在t1 s时的加速度.【精彩点拨】(1)设时间变化量t求位移增量s求平均速度令t0结论.(2)设时间变化量t求速度增量v求平均加速度令t0结论【自主解答】(1)设这辆车在t2附近的时间变化量为t，则位移的增量s2(2t)23(2223)8t2(t)2，82t，当t
20、0时，8，所以这辆车在t2时的瞬时速度为8 m/s.(2)设这辆车在t1附近的时间变化量为t，则速度的增量v(1t)21(121)(t)22t，t2，当t0时，2，所以汽车在t1 s时的加速度为2.求瞬时加速度的步骤：(1)求平均加速度；(2)令t0，求瞬时加速度.再练一题1.质点M按运动方程s(t)2t23做直线运动(位移s单位：m，时间t单位：s)，则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t为_.【解析】设时刻t的值为t0，则ss(t0t)s(t0)2(t0t)232t34t0t2(t)2，4t02t，当t0时，4t0，即4t08，t02 s.【答案】2 s求函数在某一点处的导数求函数yx
21、在x1处的导数.【精彩点拨】方法一：先求y，再求出，令x0，可求f(1)，先求出f(x)，再求出f(x)在x1处的值.方法二：先求出，当x无限趋于0时，即可求出f(x)在x1处的值.【自主解答】方法一：y(1x)x1，当x0时，0，f(1)0.方法二：1，当x无限趋于0时，1无限趋近于1，即f(x)1，故f(1)0.函数yx在x1处的导数为10.由导数的定义知，求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求当x0时，的值，即f(x0).再练一题2.根据导数的定义求下列函数的导数：(1)求yx2在x1处的导数；(2)求
22、yx25在点P处的导数.【解】(1)y(1x)2122x(x)2，2x，当x无限趋近于0时，2x无限趋近于2，所以f(1)2.(2)y(2x)254x(x)2，4x，当x0时，4，故f(2).探究共研型导数的几何意义及应用探究1平均变化率的几何意义是什么？【提示】平均变化率的几何意义是过点P(x0，f(x0)和Q(x0x，f(x0x)割线的斜率探究2在探究1中，若让x0，割线PQ是如何变化的？【提示】当点Q沿着曲线无限接近点P，即x0时，割线PQ有一个极限位置PT，我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.探究3根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？【提示】函数yf(x)在xx0处的导数的几何意
23、义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率kf (x0).探究4我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.求双曲线y过点的切线方程.【精彩点拨】由导数的几何意义先求出斜率，再求方程. 【自主解答】，当x0时，即kf(2).所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y(x2)，即yx1.1.求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程.即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f(x0)，则点P处的切线方程为yf(x
24、0)f(x0)(xx0)；如果曲线yf(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为xx0.2.若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条.再练一题3.已知直线y3xa和曲线yx3相切，求实数a的值.【解】设切点为M(x0，y0)，则3x3x0(x)(x)2，当x无限趋近于0时，3x3x0(x)(x)2无限趋近于3x.由题意得，3x3，解得x01或x01.所以切点坐标为(1,1)或(1，1).将点(1,1)代入直线y3xa，可得a2；将点(1，1)代入直线y3xa，可得
25、a2.综上可知，a2或a2.构建体系1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2 (a，b为常数)，则f(x0)_. 【导学号：24830067】【解析】abx，当x0时，a，f(x0)a.【答案】a2.(2016榆林高二检测)已知曲线yx3，则以点P(2,4)为切点的切线方程是_.【解析】x2(x2)xx，当x0时，x2，所以f(x)x2，kf(2)4，切线方程为y44(x2)，即y4x4.【答案】y4x43.设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a_.【解析】3a3axa(x)2当x0时，3a，所以f(1)3a3，即a1.【答案】14.已知f(x)x32
26、x1，则f(1)_.【解析】yf(1x)f(1)(1x)3(1)2xx(x)23x32x，(x)23x32，当x0时，3，故f(1)3.【答案】35.以初速度v0 (v00)做竖直上抛运动的物体，t时刻的高度为s(t)v0tgt2，求物体在时刻t0时的瞬时速度.【解】sv0(t0t)g(t0t)2v0t0gt(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt，当t0时，v0gt0，物体在时刻t0时的瞬时速度为v0gt0.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十四)瞬时变化率导数(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.若f(x0)1，则当k0时，趋于常数_.
27、【解析】由题意，当k0时，1，所以.【答案】2.已知函数yf(x)在点(2,1)处的切线与直线xy20平行，则f(2)等于_.【导学号：24830068】【解析】由题意知k1，f(2)等于1.【答案】13.函数y3x2在x1处的导数为_.【解析】3.当x0时，3.【答案】34.函数y在xx0处的导数为_.【解析】y，4，当x0时，即函数y在xx0处的导数为.【答案】5.一辆汽车按规律s3t21做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t3 s时的瞬时速度为_.【解析】这辆汽车从3 s到(3t)s这段时间内的位移增量为s3(3t)21283(t)218t.3t18，当t0时，3t181
28、8.t3 s时瞬时速度为18 m/s.【答案】18 m/s6.如果某物体的运动的速度为v(t)2(1t2)，那么其在1.2 s末的加速度为_.【解析】4.82t，当t0时，4.8.【答案】4.87.(2016宜春高二检测)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_.【解析】y(1x)3(1x)332x3(x)2(x)3，则23x(x)2，当x0时，2，即k2.故切线方程为y32(x1)，即2xy10.【答案】2xy108.设曲线yx2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为_.【解析】设点P的坐标为(x0，y0)2x0x.当x0时，kf(x0)2x03.x0，将x0代入yx2得y0，P的坐标为
29、.【答案】二、解答题9.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s求：(1)物体在t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度.【导学号：24830069】【解】(1)物体在t3,5内的时间变化量为t532，物体在t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3,5上的平均速度为：24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t0时的瞬时速度.物体在t0附近的平均变化率为：3t18，物体在t0处的瞬时变化率为：li li (3t18)18，即物体的初速度为18 m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为函数在t1处的瞬时变化率.物
30、体在t1附近的平均变化率为：3t12.物体在t1处的瞬时变化率为li li (3t12)12，即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.10.求函数f(x)x在x处的导数.【解】1，当x0时得f(x0)1，f11.f(x)在x处的导数为.能力提升1.曲线y在点(1，1)处的切线方程为_.【解析】点(1,1)在曲线y上，先求yf(x)在x1处的导数，当x0时，2，故所求切线的斜率为k2.切线方程为y12(x1)，即y2x1.【答案】y2x12.已知曲线y上有一点A(1,3)，则曲线在点A处的切线的斜率为_.【导学号：24830070】【解析】，当x0时，得f(1)，即所求切线的斜率kf(1).【答
31、案】3.函数f(x)的图象如图312所示，试根据函数图象判断0，f(1)，f(3)，的大小关系为_.图312【解析】设x1，x3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示.则kAB，f(3)kBQ，f(1)kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQkABkAT，所以0f(3)f(1).【答案】0f(3)f(1)4.已知点P在曲线yx21上，若曲线yx21在点P处的切线与曲线y2x21相切，求点P的坐标.【解】设点P(x0，y0)，易知曲线yx21在点P处的切线的斜率存在，设为k，2x0x，当x0时，2x0，即k2x0，所以切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0x1x，由题意知此直线与曲线y2x21相切.由，得2x22x0x2x0，令4x8(2x)0，解得x0，此时y0，所以点P的坐标为或.
