1、2023-2024学年度高二上学期期中考试数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设.故选：D2. 复数是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可.【详解】因为是纯虚数，则，解得.故选：B.3. “”是“直线：与：平行”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的判定
2、，结合充要条件的定义，对选项进行验证.【详解】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立；直线：与：平行，有，解得或，其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直线：与：平行”的充要条件.故选：A.4. 已知角的终边过点.则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据角的终边过点，利用三角函数的定义得到，然后利用两角差的正弦公式求解.【详解】解：因为角的终边过点，所以，所以，故选：C5. 已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）A. 12B. 16C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义可得，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可知：，所以.故选：
3、C.6. 在等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 11【答案】A【解析】【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解.【详解】设，则，所以.故选：A7. 已知空间直线、和平面满足：，.若点，且点到直线、的距离相等，则点的轨迹是（ ）A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】C【解析】【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点的轨迹是双曲线.【详解】如图： 不妨设在平面内射影为，则与相交，与垂直，设直线与平面的距离为，则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则到距离为，到的距离为，从而到直线的距离为，所以，即，故轨迹为双曲线，故选：C.8. 在平面直角坐标系中，已知点.若
4、圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ）A. B. C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，设，其中且，直线的方程为，纵截距为，直线的方程为，纵截距为，依题意有，整理得，所以在圆上，圆心为，半径为.则圆与圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，当两圆外切或内切时：圆的圆心为，半径为，则或，前者无解，后者解得.当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，将代入，得. 综上所述，的值为或.故选：C【点睛】关键点睛：求直线方程
5、时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则曲线C是圆B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线D. 曲线C可以是抛物线【答案】AC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.【
6、详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，半径为的圆，所以A选项正确.B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.C选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.故选：AC10. 已知为数列前项和，则下列结论成立的有（ ）A. 若数列为等比数列，且，则数列为等差数列B. 若数列为等差数列，若，则C. 若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2D. 若数列满足，且，则该数列的前100项和【答案】ABC【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC，根
7、据所给数列表达式，找出规律求出即可.【详解】A选项：依题意，设等比数列的公比为，所以为常数，所以数列为等差数列，故A正确；B选项：数列为等差数列，设公差为，首项为，则，又，即，化简可得，则，所以，故B选项正确；C选项：等差数列的前10项中，偶数项的和为，奇数项的和为，又偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则，解得，所以，故C选项正确；D选项：因为，所以，因为，所以数列依次为：，所以数列从第项起，周期为，所以数列的前项的和为，故D错误；故选：ABC.11. 已知双曲线，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ）A. 双曲线C的实轴长为6B. 双曲线C的离心率C. 点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两
8、条渐近线的距离分别为、，则D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则【答案】BC【解析】【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，所以双曲线的实轴长为，故A错误；，所以，故B正确；设，则，故C正确；设、，则，两式作差得，所以，故D错误.故选：BC.12. 已知正方体棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）A. 正方体的内切球直径为4B. 正方体的外接球直径为C. 若正四面体可以放入正方体
9、内自由旋转，则a的最大值是D. 若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A、B，对于C，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球；对于D，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球.【详解】对于A，正方体的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；正四面体的棱长为a 因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，所以O在平面 BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，又因为在正四面体中是正三角形，所以是的中心，进而在正四面体中，有平面，所以球心O在高线上，同理：球
10、心O也在其它面的高线上，又正四面体中各面上的高都相等，所以由得，点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合记正四面体的高为，则.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，所以，因为平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，C正确；对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长
11、为a的正四面体的内切球半径，D正确.故选：ACD.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 与椭圆有相同焦点且实轴长4的双曲线的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线焦点位置及求解即可.【详解】由椭圆可知双曲线中，且焦点在轴，又，所以双曲线方程.故答案为：14. 已知事件与事件互斥，如果，那么_.【答案】#【解析】【分析】根据互斥得到，计算，得到答案.【详解】事件与事件互斥，则，故.故答案为：.15. 小明用数列记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记，当第k天没下过雨时，记，他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报
12、第k天有雨时，记，当预报第k天没有雨时，记记录完毕后，小明计算出，那么该月气象台预报准确的总天数为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，从而得到从而得到最终得结果.【详解】由题意可知，气象台预报准确时，不准确时，设其中有天准确，即等式左边有个，个，则，解得，所以准确天数为.故答案为：16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，且，若P是两条曲线的一个交点，则_.【答案】【解析】【分析】结合为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列和的关系，表示出和，然后结合，在用余弦定理表示即可.【详解】 不妨设椭圆方程为，设双曲线的方程为，设P是两条曲线第一
13、象限的一个交点，则有，所以，在中，又因为，则，即，即，所以，即.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知锐角的内角的对边分别为，且满足（1）求；（2）若面积为，求的周长【答案】（1） （2）6【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据面积公式，进而根据余弦定理可得，即可求解.【小问1详解】由和正弦定理得，由于,故，【小问2详解】，又故周长18. 已知的顶点，线段AB的垂直平分线的方程为（1）求直线BC的方程；（2）若的外接圆为圆M，过点作圆M的切线，求切线方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）先求得点坐
14、标，然后求得直线的方程.（2）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，根据点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】因为线段AB的垂直平分线的方程为，所以点A，B关于直线对称因为，所以又，所以直线BC的方程为【小问2详解】因为，所以外接圆的方程为，即所以圆M的圆心为，半径为当切线的斜率不存在时，满足题意当切线的斜率存在时，设切线方程为，即因为圆心M到切线的距离，解得，所以切线方程为，即综上所述，切线方程为或19. 设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的基
15、本量运算即得；（2）根据条件确定的取值，进而利用分组求和法即得.【小问1详解】设公比为，由，得，即，得，解得或（舍去），得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故数列的通项公式为.【小问2详解】由为数列在区间中的项的个数，可知，.当时，；当时，；当时，；当时，.数列前100项和为.20. 某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：50，60），60，70），70，80），90，100，得到如图所示的频率分布直方图，若成等差数列，且成绩在区间内的人数为120（1）求a，b，c的值；（2）估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组
16、中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）由成绩在区间90，100内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间50，60）内的学生A，B，其中3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率【答案】（1）， （2）中位数估计为73，平均数73.8 （3）【解析】【分析】（1）根据的人数先求出，再利用其成等差数列，以及所有小矩形面积为1得到方程，解出即可.（2）设估计中位数为t，列出方程，解出即可，再利用频率分布直方图求出平均值即可.（3）列出所有情况，找到满足题意得情况，即可得到概率.【小问1详解】依题意可得：又成等差数列，且，解得：小问2详解】估计中位数设为t，而的频率为0.41，的频
17、率为0.71,则，解得：，即中位数估计为73，估计平均数为：【小问3详解】5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号，从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，故满足条件的概率为.21. 如图，在三棱锥中，为棱的中点 （1）证明：平面平面；（2）若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小【答案】（1）证明见解析 （2）30【解析】【分析】
18、对于（1），通过题目条件，可以分别得到和长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到和，从而得到平面，从而得到平面平面；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知与平面所成角的正弦值为，同时点在棱上，所以设点的坐标，从而分别求出和平面的法向量，并得到点的坐标。因为要求二面角的大小，所以分别求平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值，从而得到二面角的大小。【小问1详解】连接，为棱的中点，且又，且则，则，平面，平面平面，而平面，平面平面【小问2详解】建立以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示， 则故 设，则设平面的法向量为，则令，可得，即设直线与平面所成角为，则，解得或
19、（舍去），则平面的法向量为易知平面的一个法向量为，设二面角为，二面角的大小为3022. 如图已知抛物线C的方程为，焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点P，已知，（1）求p的值；（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.【答案】22. 23. 存在，的范围是【解析】【分析】（1）根据题目信息可知在中，则根据定义可知，再根据可表示点，代入方程即可求解的值.（2）假设过的直线方程：，并与抛物线进行联立，求解出，.由于共线，则可知横坐标成比例，整理关于的表达式，通过的范围进行求解.【小问1详解】因为，则在中，又因为抛物线的定义可知，则，又因为，则可计算.代入抛物线方程得：，整理得，则或（舍）.【小问2详解】由（1）可知抛物线方程为：，设，斜率为k，过点的直线方程为：，则联立，整理得：，由韦达定理可得：，.所以；又因为，则，所以，令，则，所以，即.所以、同向，所以.整理得，解得：或.所以存在，使得.【点睛】方法点睛：圆锥曲线综合题目，只要出现直线与圆锥曲线相交，只需要联立方程，计算韦达定理，然后再分析题干信息联立求解即可.
